3.1：函数的概念及其表示【八大考点+十三大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1：函数的概念及其表示 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二　同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 知识点三　区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点四　函数的表示方法 知识点五　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【例题详解】 题型一、函数的定义 【例1】．（25-26高一上·陕西西安）下列对应关系能构成从集合到的函数的是（   ） A．，对应关系：“求平方” B．，对应关系： C．，对应关系： D．，对应关系： 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【跟踪训练2】．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 题型二、求函数的定义域 命题角度1　具体函数的定义域 【例2】．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 命题角度2　抽象函数的定义域 【例3】．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型三、函数值域 命题角度1　常见函数的值域 【例4】．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 【跟踪训练1】．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 【跟踪训练2】．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . 命题角度2　复杂函数的值域 【例5】．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【跟踪训练1】．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）求下列函数的值域： (1) (2) 题型四、同一个函数的判定 【例6】．（25-26高一上·福建莆田·阶段练习）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D．， 【跟踪训练2】．（24-25高一上·四川资阳·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五、求函数解析式 命题角度1　换元法 【例7】．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 命题角度2　配凑法 【例8】．（24-25高一上·浙江·期中）已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，且函数的定义域为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练2】．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 命题角度3　待定系数法 【例9】．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【跟踪训练2】．（22-23高三·全国·中职高考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 命题角度4　构造方程组法 【例10】．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 题型六、分段函数值求参数或者自变量 【例11】．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（2024·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 题型七、分段函数性质应用 【例12】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则（    ） A． B． C．1 D．4 【跟踪训练1】．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪训练2】．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八、函数的综合问题 【例13】．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 【跟踪训练2】．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3），求； （4）已知函数求． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·甘肃天水·阶段练习）下面各组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（   ） A．， B．与 C．与 D．， 8．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列四组函数：①，；②，； ③，；④，；其中表示同一函数的可以是（    ） A．② B．③ C．① D．④ 10．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域为 D．函数在上的值域为 11．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 12．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 13．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．的解集为 三、填空题 14．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ． 15．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为 16．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）若设函数，若，则 . 17．（25-26高一上·全国·单元测试）一次函数满足：，则的解析式可以是 ．（写出满足条件的一个解析式即可） 18．（2025·安徽合肥·模拟预测）高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.若，则实数的取值范围是 . 四、解答题 19．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求m的值； (3)求解集． 20．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段练习）（1）已知，求的解析式； （2）已知是二次函数，且，，求的解析式； （3）已知函数满足，求的解析式. 21．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 22．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 23．（25-26高一上·甘肃天水·阶段练习）已知函数 (1)求； (2)若，求的值； (3)画出函数的图像. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1：函数的概念及其表示 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二　同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 知识点三　区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点四　函数的表示方法 知识点五　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【例题详解】 题型一、函数的定义 【例1】．（25-26高一上·陕西西安）下列对应关系能构成从集合到的函数的是（   ） A．，对应关系：“求平方” B．，对应关系： C．，对应关系： D．，对应关系： 【答案】C 【分析】根据函数的概念进行判断即可. 【详解】对A：因为，，即集合中存在元素，按对应法则：“求平方”，集合中无元素与之对应，所以该对应关系不能构成从集合到的函数，所以A不合题意； 对B：同理，集合中存在元素，按对应法则：，集合中无元素与之对应，所以该对应关系不能构成从集合到的函数，所以B不合题意； 对C：对，且唯一存在，故对应关系：能构成从集合到的函数，所以C满足题意； 对D：因为集合不是数集，所以从到不能构成函数关系，所以D不合题意. 故选：C 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 题型二、求函数的定义域 命题角度1　具体函数的定义域 【例2】．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，进而可求函数的定义域. 【详解】若函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质建立不等式，进而求解定义域即可. 【详解】因为函数有意义，所以， 解得，故C正确. 故选：C 【跟踪训练2】．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整理可得，根据根式的性质运算求解即可. 【详解】因为， 令，可得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 命题角度2　抽象函数的定义域 【例3】．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意有，解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得， 故的定义域为． 故选：B． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【详解】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C 题型三、函数值域 命题角度1　常见函数的值域 【例4】．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求，结合函数的定义域，求函数的最值，即可求解. 【详解】函数的定义域满足，得， ，当，得，， 所以，且，所以， 所以，，所以. 故答案为： 【跟踪训练2】．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 命题角度2　复杂函数的值域 【例5】．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 【跟踪训练1】．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【详解】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）求下列函数的值域： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由基本不等式求出即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）， 当且仅当时取等号， 所以函数的值域为， （2）设，则， 所以， 所以值域为. 题型四、同一个函数的判定 【例6】．（25-26高一上·福建莆田·阶段练习）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项中两个函数是否为同一函数即可. 【详解】A：的定义域为R，的定义域为，不是同一函数； B：的定义域为R，的定义域为，不是同一函数； C：的定义域为，的定义域为，不是同一函数； D：的定义域均为R，且对应法则相同，为同一函数. 故选：D 【跟踪训练1】．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】判断定义域及对应关系是否相同即可得. 【详解】对A：定义域为，定义域为，故A错误； 对B：令，解得，所以定义域为 令，解得或，则定义域为，故B错误； 对C：定义域为，定义域为，故C错误； 对D：，，故D正确. 故选：D. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·四川资阳·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相等，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，两个函数的定义域不相同， 故不是同一个函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 与的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相等， 故不是同一个函数，D错误， 故选：B 题型五、求函数解析式 命题角度1　换元法 【例7】．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元法求解析式. 【详解】设，则，， 所以， 所以， 故选：B. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据换元法，求函数解析式即可. 【详解】令，则，且，代入原式得， 所以函数解析式为． 故选：C. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 命题角度2　配凑法 【例8】．（24-25高一上·浙江·期中）已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用整体代换化求出函数解析式. 【详解】依题意，，则， 所以的解析式为. 故选：D 【跟踪训练1】．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，且函数的定义域为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据配凑法求出的解析式，并求出定义域判断得解. 【详解】由，则， 又函数的定义域为，即， ， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简得，由，得，即可得的解析式. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以的解析式为：. 故选：B. 命题角度3　待定系数法 【例9】．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】设，利用待定系数法法求解. 【详解】设，则由，得， 即，则,得， 则，所以． 故选：B 【跟踪训练2】．（22-23高三·全国·中职高考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 命题角度4　构造方程组法 【例10】．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别令联立方程组，求得答案. 【详解】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 【跟踪训练2】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 题型六、分段函数值求参数或者自变量 【例11】．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 【跟踪训练1】．（2024·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况解方程即可求解. 【详解】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数列出关于实数的方程，解之即可求得的值. 【详解】， 则，解得． 故选：A 题型七、分段函数性质应用 【例12】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的等式，即可解得实数的值 【详解】当时，，当时，， 因为，所以，即，所以， 所以，即，解得． 故选： 【跟踪训练1】．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先解关于的方程得或，再结合函数图象，即可判断. 【详解】由方程可解得或，结合函数的图象，可得方程的解有6个. 故选：B. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出分段函数，分类解不等式即可． 【详解】由题意，， 当时，不等式，即，解得，又，则； 当时，不等式，即，解得或，又，则； 当时，不等式，即，解得，又，则； 综上，实数的取值范围是． 故选：D． 【跟踪训练3】．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的值域为，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意知当时，， 故要使函数的值域为， 需满足，解得， 故的取值范围是， 故选：D 题型八、函数的综合问题 【例13】．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用代入法求解析式即可； （2）解法一利用配凑法，解法二利用换元法求解析式； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）用代入法，因为， 所以； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 【答案】(1)1 (2)或2 (3) 【分析】（1）由分段函数解析式先求，再求， （2）分，两种情况，由结合分段函数解析式列方程求即可， （3）分，两种情况，由结合分段函数解析式列不等式求其解集. 【详解】（1）因为，， 所以，因为， 所以， （2）当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故， 综上，的值为或2 （3）当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3），求； （4）已知函数求． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）令，表示出，代入化简，最后对应即可得到答案 （2）分别将与代入解析式，解出与即可得到答案 （3）方法一：配凑法，，代入原式，再用代替即可得到答案 方法二：换元法：令，，得，化简得到答案 （4）讨论，的的取值范围，得到对应表达式，代入即可得到答案 【详解】解（1）令，又， 所以， 所以，故． （2）由题可得，与联立，所以，则，故． （3）方法一：配凑法．因为， 所以． 方法二：换元法．令，，则，则，所以． （4）①当时，，此时， ②当时，，此时， ③当时，，， 综上所述， 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则当时，，故A错误； 对于B，若，则当时，，当时，，故B正确； 对于C，若，则当时，无意义，故C错误； 对于D，若，则当时，，故D错误； 故选：B. 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定函数有意义，列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数有意义，得，解得或， 所以所求定义域为. 故选：B 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抽象函数的意义求出函数的定义域，进而求出目标函数的定义域. 【详解】由函数的定义域为，得当时，， 因此在函数中，由函数有意义，得， 解得，所以的定义域为. 故选：D 4．（25-26高一上·甘肃天水·阶段练习）下面各组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案. 【详解】对于选项A：因为的定义域为R，的定义域为， 即函数定义域不相同，所以函数不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：和的定义域均为R， 且，即函数的对应关系相同， 所以函数是同一个函数，故B正确； 对于选项C：的定义域为，的定义域为R， 即函数定义域不相同，所以函数不是同一个函数，故C错误； 对于选项D：的定义域为，的定义域为R， 所以函数不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 5．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数，分，，分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式． 【详解】因为， 当时，，不合题意； 当时，， 不等式可得，解得，所以； 当时，， 所以不等式等价于，即得解得， 所以. 综上可得. 故选：A 6．（25-26高一上·江西·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，求函数解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 7．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（   ） A．， B．与 C．与 D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件结合同一函数的意义逐一分析即可判断各选项． 【详解】对于A，函数定义域是，定义域是，故A错误； 对于B，函数定义域是，定义域是，故B错误； 对于C，函数定义域，定义域是，与的对应法则相同，故C正确； 对于D，由，解得，则函数定义域是， 又，解得或，则定义域是，故D错误． 故选：C． 8．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论自变量a的范围，选择正确的解析式带入，并解不等式求a范围. 【详解】， 若，则，即， 解得，所以； 若，则， 即，解得，所以； 综上，实数的取值范围为． 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列四组函数：①，；②，； ③，；④，；其中表示同一函数的可以是（    ） A．② B．③ C．① D．④ 【答案】AB 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：AB. 10．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域为 D．函数在上的值域为 【答案】AC 【分析】根据抽象函数定义域与函数括号内的范围一致即可判断A；对函数进行分离常数的变形即可判断B；根据具体函数的定义域可判断C；根据二次函数在闭区间上的值域可判断D. 【详解】对于A，若函数的定义域为，对于函数， 则有，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，，由于， 所以，故B错误； 对于C，要使函数有意义，则有且， 所以函数的定义域为，故C正确； 对于D，，，， 所以函数在上的值域为，故D错误. 故选：AC 11．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【分析】通过函数定义域及对应关系逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，错误； 对于B，的定义域为， 的定义域为，同一函数，正确； 对于C，和，对应关系不一样，不是同一函数，错误； 对于D，与的定义域都是，对应关系一样，同一函数，正确； 故选：BD 12．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 【答案】AD 【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 因为，所以，故B不正确； 对于C，设，则， 所以，解得或， 所以或，故C不正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①+②，得， 所以，故D正确. 故选：AD. 13．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．的解集为 【答案】AD 【分析】对于AB：直接代入运算即可判断；对于CD：分和两种情况，结合题意解方程或不等式即可判断. 【详解】因为， 对于选项AB：，，故A正确，B错误； 对于选项C：当时，，解得； 当时，，解得； 所以的解集为，故C错误； 对于选项D：当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的解集为，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 14．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为，偶次方根的被开方数大于等于求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为 【答案】 【分析】先求函数的定义域，再求所给的复合函数的定义域. 【详解】因为在上单调递减， 且当时，；当时，， 所以，即函数的定义域为. 由. 故答案为： 16．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）若设函数，若，则 . 【答案】3 【分析】利用分段函数的性质并结合题意建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，解得. 故答案为：3 17．（25-26高一上·全国·单元测试）一次函数满足：，则的解析式可以是 ．（写出满足条件的一个解析式即可） 【答案】（或） 【分析】利用待定系数法可求得函数解析式. 【详解】设， 则， 所以，解得或，即或． 故答案为：（或）. 18．（2025·安徽合肥·模拟预测）高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用高斯函数的定义，结合给定的和列出不等式组求解. 【详解】由，得，又， 则，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 19．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求m的值； (3)求解集． 【答案】(1)，； (2)或1或； (3). 【分析】（1）根据给定分段函数，判断代入计算即得. （2）根据给定分段函数，分类讨论求得值. （3）根据给定分段函数，分类讨论求得不等式的解集. 【详解】（1）由，得，. （2）当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得或，则， 所以的值为或1或. （3）当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则； 当时，，即，解得，则， 所以不等式的解集为． 20．（25-26高一上·甘肃甘南·阶段练习）（1）已知，求的解析式； （2）已知是二次函数，且，，求的解析式； （3）已知函数满足，求的解析式. 【答案】（1），. （2），. （3），. 【分析】分别采用换元法、待定系数法、解方程组法求解. 【详解】（1）（换元法）令，得， 代入得，又，所以， 故的解析式是，. （2）（待定系数法）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以 解得. 所以，. （3）（解方程组法）由，① 得，② ①②， 得. 即. 故的解析式是，. 21．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 22．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】根据求函数解析式的三种方法：待定系数法，配凑法，解方程组法，分别求解（1）（2），（3）小题. 【详解】（1） （待定系数法）∵是一次函数，可设， 由题可知：，即， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）(配凑法)， 又， 当且仅当即时等号成立. 设则，∴， ∴函数的解析式为. （3）(解方程组法)∵，① ∴，② 由得，∴. ∴函数的解析式为. 23．（25-26高一上·甘肃天水·阶段练习）已知函数 (1)求； (2)若，求的值； (3)画出函数的图像. 【答案】(1)1 (2)或 (3)函数图象见详解 【分析】（1）先求，再求，最后求； （2）根据，，分类求解即可； （3）根据题中分段函数解析式作图，注意端点. 【详解】（1）由题意知，，则， 所以. （2）因为，则有： 当时，，解得，不满足舍去； 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得或舍去，即； 综上，当时，或. （3）函数的图象如图所示：    1 学科网（北京）股份有限公司 $