专题24.5 点与圆的位置关系（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题24.5 点与圆的位置关系 教学目标 1. 掌握点与圆的位置关系，能够熟练判断点与圆的位置的位置关系以及根据关系求值。 2. 掌握确定圆的条件有哪些方法，能够熟练的根据各种条件作图。 3. 掌握三角形的外接圆与外心的性质，能够熟练的用其进行线段和角度的计算。 4. 掌握反证法，并能够在相关的题目中熟练的应用反证法证明。 教学重难点 1. 重点 （1） 点与圆的位置关系； （2） 三角形的外接圆与外心。 2. 难点 （1）三角形的外接圆的应用； 知识点01 点与圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图： （1）如图1：d＞r点在 。 （2）如图2：d r点在圆上。 （3）如图3：d＜r点在 。 【即学即练1】 1．如图，⊙O中，弦AB的长为8，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝22.5°，⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【即学即练2】 2．点P在半径为10cm的⊙O内，则PO的长度不可能是（　　） A．8cm B．9cm C．7cm D．11cm 知识点02 确定圆的条件 1. 确定圆的条件： ①由不在 上的三点可以确定唯一的圆。圆心的位置在三点连线段的 的交点处。 ②确定 与 能确定唯一的圆。 ③已知圆的 能确定唯一的圆。 【即学即练1】 3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【即学即练2】 4．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心 知识点03 三角形的外接圆与外心 1. 三角形的外接圆： 如图：若三角形的三个顶点都在 ，则此时三角形是圆的 ，圆是三角形的 。 2. 三角形的外心： 三角形外接圆的 即是三角形的外心。是三角形三条边的 的交点。所以到三角形三个顶点的距离 。 特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。 【即学即练1】 5．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BCD＝35°，则∠ABD等于（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【即学即练2】 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝120°，弦BD平分∠ABC并交AC于点E，弦AC，连接DA，DC，则⊙O的半径是（　　） A．2 B． C． D． 知识点04 反证法 1. 反证法的一般步骤： ①先假设命题的结论不成立； ②由假设出发，经过逻辑推理，得出与基本事实、定理，定义或已知条件矛盾的结论； ③由矛盾断定假设结论不成立，从而得到原命题成立，这种方法叫做 。 【即学即练1】 7．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A+∠B 证明：假设　 　 ． 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴　 　 ＝180°﹣∠ACB． ∵∠ACD+　 　 ＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣　 　 ． ∴∠ACD＝　 　 ． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B． 题型01 判断点与圆的位置关系 【典例1】已知⊙O的半径为2cm，，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【变式1】⊙O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或外 【变式2】已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（　　） A．一定在⊙O的内部 B．一定在⊙O的外部 C．一定在⊙O上 D．不能确定 【变式3】已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离d恰好是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O的内部 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O的外部 D．点P在⊙O的内部或点P在⊙O的外部 题型02 根据点与圆的位置关系求值 【典例1】已知⊙O的直径为6，点P在⊙O内，则线段OP的长度可以是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1】如图，一组同心圆的圆心为O，半径分别为3cm，5cm，以O为坐标原点建立直角坐标系，点P要求在小圆外，大圆内，则点P可能的坐标为（　　） A．（3.5，5） B．（0，3） C．（3，4） D．（﹣1，﹣4） 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（　　） A．2.5＜r≤4 B．2.5＜r＜4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r＜4 题型03 确定圆的条件与作图 【典例1】如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E在直线AB外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为 　 　 ； （2）求该圆的半径． 【变式3】将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R． 题型04 利用外接圆与外心求角度 【典例1】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABC＝48°，点D在BAC上，则∠D为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【变式1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连接BD，CD，若∠D＝70°，则∠ABC的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式2】若等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为（　　） A．65° B．25° C．65°或 25° D．65°或 30° 【变式3】已知△ABC的边，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数为（　　） A．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120° 题型05 利用外接圆与外心求线段 【典例1】如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，连接OB，OC．若OB＝2，则BC的长为（　　） A． B．2 C． D． 【变式1】如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径，若∠ABC＝30°，AC＝3，则BC的长为（　　） A．4 B． C． D． 【变式2】如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，D为上一点，连接AD，CD．若∠ACD＝75°，∠BAD＝30°，则弦AB的长为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【变式3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝4，EG＝2，则AB的长为（　　） A． B． C．8 D． 题型06 反证法的简单应用 【典例1】用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（　　） A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C 【变式1】用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中（　　） A．没有一个内角为钝角 B．三个内角都是锐角 C．至少有一个内角为钝 D．至少有两个内角为钝角 【变式2】用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角． 已知：在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B，∠C必为锐角． 【变式3】如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，连接BD、CE，BD、CE相交于点O．用反证法证明：BD和CE不可能互相平分． 1．已知点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm，则线段OA的长度可能是（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．7cm 2．三角形的外心是（　　） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 3．“已知a2＝b2，a＞0，b＞0，求证：a＝b”．若用反证法证明，则应假设（　　） A．a＝b B．a≠b C．a2＝b2 D．a2≠b2 4．如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（　　） A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，如果⊙A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（　　） A．点D、E均在圆A内 B．点D在圆A外，点E在圆A内 C．点D、E均在圆A外 D．点D在圆A内，点E在圆A外 6．如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（　　） A．经过点A，B，C，只能作一个圆 B．经过点A，B，D，只能作一个圆 C．经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆 D．经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆 7．如图，将⊙O的内接三角形ABC绕点B顺时针旋转30°后得到△A′B′C′，其中点C′恰好落在⊙O上，则∠A的度数是（　　） A．100 B．105° C．110° D．115° 8．如图，等边三角形ABC的三个顶点均在⊙O上，BC＝3，BD为⊙O的直径，则BD的长为（　　） A．4 B． C． D．3.5 9．⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，圆心O到底边BC的距离为2cm，⊙O的半径为6cm，则腰AB的长为（　　） A． B． C．或 D．或 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，小亮和小明只用无刻度的直尺，分别画出了图①和图②中∠P的平分线．图①中小亮的画法是：连接AP，则AP即为∠P的平分线；图②中小明的画法是：连接AO并延长；交⊙O于点D，连接PD，则PD即为∠P的平分线．对于以上二人的做法，说法正确的说（　　） A．小亮的做法正确，小明的做法不正确 B．小亮和小明的做法都不正确 C．小亮和小明的做法都正确 D．小明的做法正确，小亮的做法不正确 11．已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为 　 　 ． 12．若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是　 　 ． 13．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝　 　 ． 14．如图，在△ABC中，AB＝10，DE⊥AB于D，若△ABC的外心O在线段DE上，∠BOC＝120°，则AE＝　 　 ． 15．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为 　 ． 16．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）． 17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长． 18．如图，在△ABC中，AB、BC、AC均不相等，点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．求证：（1）四边形EFCD是平行四边形． （2）用反证法证明：线段EC与FD不垂直． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC的中点，现在以D为圆心，以DC为半径作⊙D，求： （1）BC＝8时，点A与⊙D的位置关系； （2）BC＝6时，点A与⊙D的位置关系； （3）BC＝5时，点A与⊙D的位置关系． 20．如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块．A，E，B三点在一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝60°，BE＝AD． （1）求证：△ADE≌△BEC； （2）若且E点在弧CD所在的圆上，在劣弧CD上找一点P，使得四边形CPDE的周长最大，并求出周长的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.5 点与圆的位置关系 教学目标 1. 掌握点与圆的位置关系，能够熟练判断点与圆的位置的位置关系以及根据关系求值。 2. 掌握确定圆的条件有哪些方法，能够熟练的根据各种条件作图。 3. 掌握三角形的外接圆与外心的性质，能够熟练的用其进行线段和角度的计算。 4. 掌握反证法，并能够在相关的题目中熟练的应用反证法证明。 教学重难点 1. 重点 （1） 点与圆的位置关系； （2） 三角形的外接圆与外心。 2. 难点 （1）三角形的外接圆的应用； 知识点01 点与圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图： （1）如图1：d＞r点在 圆外 。 （2）如图2：d ＝ r点在圆上。 （3）如图3：d＜r点在 圆内 。 【即学即练1】 1．如图，⊙O中，弦AB的长为8，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝22.5°，⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：设AB，OC交于点D， ∵OC⊥AB， ∴， ∵∠ABC＝22.5°， ∴∠AOC＝45°， ∴， ∵， ∴OA＞OP， ∴点P在⊙O内； 故选：B． 【即学即练2】 2．点P在半径为10cm的⊙O内，则PO的长度不可能是（　　） A．8cm B．9cm C．7cm D．11cm 【答案】D 【解答】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为10cm， ∴OP＜10cm， 故选：D． 知识点02 确定圆的条件 1. 确定圆的条件： ①由不在 同一直线 上的三点可以确定唯一的圆。圆心的位置在三点连线段的 垂直平分线 的交点处。 ②确定 圆心 与 半径 能确定唯一的圆。 ③已知圆的 直径 能确定唯一的圆。 【即学即练1】 3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【答案】A 【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【即学即练2】 4．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心 【答案】B 【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴B选项正确， 故选：B． 知识点03 三角形的外接圆与外心 1. 三角形的外接圆： 如图：若三角形的三个顶点都在 圆上 ，则此时三角形是圆的 内接三角形 ，圆是三角形的 外接圆 。 2. 三角形的外心： 三角形外接圆的 圆心 即是三角形的外心。是三角形三条边的 垂直平分线 的交点。所以到三角形三个顶点的距离 相等 。 特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。 【即学即练1】 5．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BCD＝35°，则∠ABD等于（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠BCD＝35°， ∴∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝35°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣35°＝55°， 故选：C． 【即学即练2】 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝120°，弦BD平分∠ABC并交AC于点E，弦AC，连接DA，DC，则⊙O的半径是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图，连接DO并延长，交AC于H， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣120°＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴AD＝CD， ∴△ADC为等边三角形，DH⊥AC， ∴AHAC， 由勾股定理得：DH3， 设⊙O的半径为r，则OH＝3﹣r， 在Rt△AOH中，OA2＝AH2+OH2，即r2＝（）2+（3﹣r）2， 解得：r＝2，即⊙O的半径为2， 故选：A． 知识点04 反证法 1. 反证法的一般步骤： ①先假设命题的结论不成立； ②由假设出发，经过逻辑推理，得出与基本事实、定理，定义或已知条件矛盾的结论； ③由矛盾断定假设结论不成立，从而得到原命题成立，这种方法叫做 反证法 。 【即学即练1】 7．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A+∠B 证明：假设　∠ACD≠∠A+∠B　 ． 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴　∠A+∠B　 ＝180°﹣∠ACB． ∵∠ACD+　∠ACB　 ＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣　∠ACB　 ． ∴∠ACD＝　∠A+∠B　 ． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B． 【答案】∠ACD≠∠A+∠B；∠A+∠B；∠ACB；∠ACB；∠A+∠B． 【解答】反证法的第一步是假设结论不成立，因此假设∠ACD≠∠A+∠B． 根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠ACB＝180°，变形得∠A+∠B＝180°﹣∠ACB． 由于∠ACD是△ABC的外角，与∠ACB组成平角，故∠ACD+∠ACB＝180°，因此∠ACD＝180°﹣∠ACB． 由上述两步可知∠ACD＝∠A+∠B，这与假设∠ACD≠∠A+∠B矛盾． 因此假设不成立，原命题∠ACD＝∠A+∠B成立， 故答案为：∠ACD≠∠A+∠B；∠A+∠B；∠ACB；∠ACB；∠A+∠B． 题型01 判断点与圆的位置关系 【典例1】已知⊙O的半径为2cm，，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：由题意可知：2， ∴⊙O的半径＞OP， ∴点P在⊙O内， 故选：A． 【变式1】⊙O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或外 【答案】B 【解答】解：∵点P的坐标为（3，4）， ∴由勾股定理得，点P到圆心O的距离5， ∴点P在⊙O上，故选B． 【变式2】已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（　　） A．一定在⊙O的内部 B．一定在⊙O的外部 C．一定在⊙O上 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：r10＝5， d＝8＞r， 点P一定在⊙O的外部． 故选：B． 【变式3】已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离d恰好是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O的内部 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O的外部 D．点P在⊙O的内部或点P在⊙O的外部 【答案】D 【解答】解：解一元二次方程x2﹣6x+8＝0得：x＝2或x＝4， ∴点P到圆心O的距离d＝2或4， ∵⊙O的半径r＝3， ∴d＜r或d＞r， ∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O的内部或点P在⊙O的外部． 故选：D． 题型02 根据点与圆的位置关系求值 【典例1】已知⊙O的直径为6，点P在⊙O内，则线段OP的长度可以是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解答】解：∵⊙O的直径为6， ∴⊙O的半径6＝3， ∵点P在⊙O内， ∴OP＜3， ∴线段OP的长度可以是2． 故选：D． 【变式1】如图，一组同心圆的圆心为O，半径分别为3cm，5cm，以O为坐标原点建立直角坐标系，点P要求在小圆外，大圆内，则点P可能的坐标为（　　） A．（3.5，5） B．（0，3） C．（3，4） D．（﹣1，﹣4） 【答案】D 【解答】解：A、由勾股定理得到OP5，因此P在大圆外，故A不符合题意； B、P在小圆上，故B不符合题意； C、由勾股定理得到OP5，因此P在大圆上，故C不符合题意； D、由勾股定理得到PO，因此3＜PO＜5，得到P在小圆外，大圆内，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（　　） A．2.5＜r≤4 B．2.5＜r＜4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r＜4 【答案】A 【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4， ∴， ∵D为AB的中点， ∴． 由图可知，当⊙A的半径时，点D在⊙A上， 当⊙A的半径r＝AC＝4时，点C在⊙A上，点D在圆内， 当⊙A的半径r＝AB＝5时，点B在⊙A上，点C、D在圆内， 当⊙A的半径满足时，点D在⊙A内， 当⊙A的半径满足4＜r≤5时，点C、D在⊙A内， 当⊙A的半径满足r＞5时，点B、C、D在⊙A内， ∴若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是． 故选：A． 题型03 确定圆的条件与作图 【典例1】如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E在直线AB外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：根据在平面内，不在同一直线上三个点确定一个圆可得： 点E在直线AB外，则点E、A、B；点E、A、C；点E、A、D；点E、B、C；点E、B、D；点E、C、D；不在同一直线上，可以画圆， 即能画圆的个数是6个 故选：D． 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【解答】解：根据定点和定长与圆的关系，逐项分析如下： A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、原说法正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为 　（2，1）　 ； （2）求该圆的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示，连接BC，作弦AB和BC的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心， 故答案为：（2，1）； （2）连接OA，设BC的中点为D， ∵AD＝1，OD＝2， ∴OA， 【变式3】将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心； （2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D． ∵BC＝16cm， ∴BD＝8cm， ∵AB＝10cm， ∴AD＝6cm， 设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm， ∴R2＝82+（R﹣6）2， 解得：Rcm， ∴圆片的半径R为cm． 题型04 利用外接圆与外心求角度 【典例1】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABC＝48°，点D在BAC上，则∠D为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【答案】A 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝48°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝42°， ∴∠D＝∠CAB＝42°， 故选：A． 【变式1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连接BD，CD，若∠D＝70°，则∠ABC的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠D＝70°， ∴∠D＝∠A＝70°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝20°， 故选：B． 【变式2】若等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为（　　） A．65° B．25° C．65°或 25° D．65°或 30° 【答案】C 【解答】解：（1）圆心O在△ABC外部， 在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD． ∴∠BDC∠BOC＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°； ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°； （2）圆心O在△ABC内部．∠BAC∠BOC＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°． 综上所述，△ABC底角的度数为65°或 25°， 故选：C． 【变式3】已知△ABC的边，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数为（　　） A．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120° 【答案】C 【解答】解：连接OB、OC， ∵BC＝2，⊙O的半径长为2， ∴OB＝OC＝2， ∵OB2+OC2＝22+22＝8，BC28， ∴OB2+OC2＝BC2， ∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°， 如图1，顶点A与圆心O在直线BC的同侧，则∠A∠BOC＝45°； 如图2，顶点A与圆心O在直线BC的异侧，在⊙O上取一点D，使点D与圆心O在直线BC的同侧，连接BD、CD， ∵∠A+∠D＝180°，且∠D∠BOC＝45°， ∴∠A＝180°﹣∠D＝180°﹣45°＝135°， 综上所述，∠A的度数为45°或135°， 故选：C． 题型05 利用外接圆与外心求线段 【典例1】如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，连接OB，OC．若OB＝2，则BC的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵∠A＝45°， ∴∠BOC＝2∠A＝90°（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）， ∵OB＝OC＝2， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径，若∠ABC＝30°，AC＝3，则BC的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接AD，则∠ADC＝∠ABC＝30°， ∵CD是⊙O的直径，AC＝3， ∴∠CAD＝∠CBD＝90°， ∴CD＝2AC＝6， ∵点B是的中点， ∴， ∴BC＝BD， ∵CDBC＝6， ∴BC＝3， 故选：C． 【变式2】如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，D为上一点，连接AD，CD．若∠ACD＝75°，∠BAD＝30°，则弦AB的长为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【答案】B 【解答】解：连接OA，OB， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BCD＝30°， ∵∠ACD＝75°， ∴∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∵⊙O的半径为2， ∴OA＝OB＝2， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝4，EG＝2，则AB的长为（　　） A． B． C．8 D． 【答案】B 【解答】解：作BM⊥AC于点M， 在△AEB和△DEC中， ， ∴△AEB≌△DEC（ASA）， ∴EB＝EC， 又∵BC＝CE， ∴BE＝CE＝BC， ∴∠GEF＝60°，BC＝EC， ∵OF⊥AC ∴∠EGF＝30°， ∵EG＝2，∠EGF＝30°， ∴， 又∵AE＝ED＝4，OF⊥AC ∴CF＝AF＝AE+EF＝5， ∴AC＝2AF＝10，EC＝EF+CF＝6， ∴BC＝EC＝6， ∴∠MBC＝30°， ∴CM＝3，， ∴AM＝AC﹣CM＝7， ∴． 故选：B． 题型06 反证法的简单应用 【典例1】用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（　　） A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C 【答案】B 【解答】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C时，首先应假设∠B＝∠C， 故选：B． 【变式1】用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中（　　） A．没有一个内角为钝角 B．三个内角都是锐角 C．至少有一个内角为钝 D．至少有两个内角为钝角 【答案】D 【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设， ∴证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个内角为钝角． 故选：D． 【变式2】用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角． 已知：在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B，∠C必为锐角． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：假设∠B，∠C都不是锐角，即∠B，∠C为直角或钝角， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 当∠B、∠C都是直角时，∠B+∠C＝180°， 这与三角形内角和定理相矛盾， 当∠B、∠C都是钝角时，∠B+∠C＞180°， 这与三角形内角和定理相矛盾， 综上所述，假设不成立， ∴∠B，∠C必为锐角． 【变式3】如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，连接BD、CE，BD、CE相交于点O．用反证法证明：BD和CE不可能互相平分． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：连接DE．假设BD和CE互相平分． 根据平行四边形的性质可得：四边形EBCD是平行四边形， ∴BE∥CD． ∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上， ∴AB与AC不可能平行，与已知矛盾， 所以假设BD和CE互相平分不成立， ∴线段BD和CE不可能互相平分． 1．已知点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm，则线段OA的长度可能是（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．7cm 【答案】A 【解答】解：∵点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm， ∴线段OA的长度＜5cm． 故选：A． 2．三角形的外心是（　　） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 3．“已知a2＝b2，a＞0，b＞0，求证：a＝b”．若用反证法证明，则应假设（　　） A．a＝b B．a≠b C．a2＝b2 D．a2≠b2 【答案】B 【解答】解：用反证法证明命题“a2＝b2，a＞0，b＞0，求证：a＝b”， 应假设a≠b， 故选：B． 4．如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（　　） A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C 【答案】D 【解答】解：∵AB＝300m，BC＝400m，AC＝500m， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC＝90°， ∵点D是斜边AC的中点， ∴AD＝CD＝250m，BDAC＝250m， ∵250＜300， ∴点A、B、C都在圆内， ∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C． 故选：D． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，如果⊙A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（　　） A．点D、E均在圆A内 B．点D在圆A外，点E在圆A内 C．点D、E均在圆A外 D．点D在圆A内，点E在圆A外 【答案】D 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵CD、CE分别是斜边AB上的高和中线， ∴， ∴3×4＝5CD， 解得：， ∴， ∵⊙A是以点A为圆心，半径长为2的圆， ∴AE＞2，AD＜2， ∴点D在圆A内、点E在圆A外， 故选：D． 6．如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（　　） A．经过点A，B，C，只能作一个圆 B．经过点A，B，D，只能作一个圆 C．经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆 D．经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【解答】解：A、经过点A，B，C，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点A，B，D，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点A，以AD的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点A，B，以AD的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 7．如图，将⊙O的内接三角形ABC绕点B顺时针旋转30°后得到△A′B′C′，其中点C′恰好落在⊙O上，则∠A的度数是（　　） A．100 B．105° C．110° D．115° 【答案】B 【解答】解：如图，连接CC′， 由旋转的性质得到∠CBC′＝30°，BC＝BC′， ∴， ∵四边形ABC′C是圆内接四边形， ∴∠A+∠CC′B＝180°， ∴∠A＝180°﹣75°＝105°， 故选：B． 8．如图，等边三角形ABC的三个顶点均在⊙O上，BC＝3，BD为⊙O的直径，则BD的长为（　　） A．4 B． C． D．3.5 【答案】C 【解答】解：连接CD， ∵△ABC是等边三角形，BC＝3， ∴∠ABC＝60°（等边三角形的每个外角等于60°）， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°，AC⊥BD， ∴∠CBD＝∠ABD＝30°， ∴CDBD， ∴BD2＝BC2+CD2， ∴， 故选：C． 9．⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，圆心O到底边BC的距离为2cm，⊙O的半径为6cm，则腰AB的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解答】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论， 如图一，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形， 连接OA，OB， ∵OD＝2cm，OB＝6cm， ∴AD＝8cm， ∴BD4（cm）， ∵OD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴AB4（cm）； 如图二，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形， 和图一解法一样，只是AD＝6﹣2＝4（cm）， ∴AB4（cm）， 综上可得腰长AB＝4cm或4cm． 故选：D． 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，小亮和小明只用无刻度的直尺，分别画出了图①和图②中∠P的平分线．图①中小亮的画法是：连接AP，则AP即为∠P的平分线；图②中小明的画法是：连接AO并延长；交⊙O于点D，连接PD，则PD即为∠P的平分线．对于以上二人的做法，说法正确的说（　　） A．小亮的做法正确，小明的做法不正确 B．小亮和小明的做法都不正确 C．小亮和小明的做法都正确 D．小明的做法正确，小亮的做法不正确 【答案】C 【解答】解：如图①，AB＝AC，连接AP， ∴， ∴∠BPA＝∠CPA， ∴AP即为∠P的平分线， 故小亮的做法正确； 如图②，AD为直径，连接AO并延长，交⊙O于点D，连接PD， ∴AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD，， ∵， ∴∠BPD＝∠CPD， ∴PD即为∠P的平分线， 故小明的做法正确， 综上所述，小亮和小明的做法都正确， 故选：C． 11．已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为 　2或3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝5+1＝6，因而半径是3； 当点P在圆外时，直径＝5﹣1＝4，因而半径是2． 所以⊙O的半径为2或3． 故答案为：2或3． 12．若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 则， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝x， 当点C（m，3）在直线AB上时，m＝3， 则当m＝3时，点A，B，C不能确定一个圆， 故答案为：3． 13．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝　100°　 ． 【答案】100°． 【解答】解：∵四边形ABDC内接圆⊙O，∠ADE＝65°， ∵∠ACB＝65°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∵∠BAC与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角， ∴∠BOC＝2∠BAC＝100°． 14．如图，在△ABC中，AB＝10，DE⊥AB于D，若△ABC的外心O在线段DE上，∠BOC＝120°，则AE＝　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：∵点O为△ABC的外心， ∴∠A∠BOC120°＝60°， ∵OE⊥AB于D， ∴AD＝BDAB＝5， 在Rt△ADE中，∠A＝60°， 则AE10， 故答案为：10． 15．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，取OA是中点T，连接CT，DT，OP，OC，过点C作CH⊥AB于H． ∵OB＝OC，∠OBC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∵CH⊥OB， ∴OH＝HB，CHOH， ∵AT＝TO，AD＝DP， ∴DTOP， 在Rt△CTH中，∵TH＝OT+OH＝1，CH， ∴CT， ∴CD≥CT﹣DT， ∴CD， ∴CD的最小值为． 故答案为：． 16．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理， 垂直平分弦的直线一定过圆心， 所以作出两弦的垂直平分线即可． 17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长． 【答案】（1）见详解；（2）4． 【解答】（1）证明：∵半径 OD⊥AC， ∴弧AD＝弧CD，AE＝CE， ∴∠ABC＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC， （2）解：如图，连接AD， ∵OD⊥AC，AC＝8， ∴AE， 设圆O的半径为R，则OE＝R﹣2， 在Rt△AEO中，由勾股定理得： （R﹣2）2+42＝R2， 解得R＝5， ∴AB＝10， 在Rt△ADE中，由勾股定理得： AD2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，由勾股定理得： BD4． 18．如图，在△ABC中，AB、BC、AC均不相等，点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．求证：（1）四边形EFCD是平行四边形． （2）用反证法证明：线段EC与FD不垂直． 【答案】（1）证明见解答； （2）假设线段EC与FD垂直．证明过程见解答． 【解答】证明：（1）∵点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点， ∴DE和EF都是△ABC的中位线． ∴ED∥BC，EF∥AC． ∴ED∥FC，EF∥DC． ∴四边形EFCD是平行四边形． （2）假设线段EC与FD垂直． 由（1）知，四边形EFCD是平行四边形，则平行四边形EFCD是菱形． ∴EF＝DE． 由（1）知，DE和EF都是△ABC的中位线， ∴DEBC，EFAC． ∴BC＝AC． ∴这与BC、AC均不相等相矛盾． ∴该假设不成立． ∴线段EC与FD不垂直． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC的中点，现在以D为圆心，以DC为半径作⊙D，求： （1）BC＝8时，点A与⊙D的位置关系； （2）BC＝6时，点A与⊙D的位置关系； （3）BC＝5时，点A与⊙D的位置关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AD， （1）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是BC的中点， ∴CD＝4， ∴AD＝3， ∵4＞3， ∴点A在⊙D内； （2）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是BC的中点， ∴CD＝3， ∴AD＝4， ∵4＞3， ∴点A在⊙D外； （1）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝5，点D是BC的中点， ∴CD， ∴AD， ∵， ∴点A在⊙D上． 20．如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块．A，E，B三点在一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝60°，BE＝AD． （1）求证：△ADE≌△BEC； （2）若且E点在弧CD所在的圆上，在劣弧CD上找一点P，使得四边形CPDE的周长最大，并求出周长的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵∠A＝∠DEC＝60°， ∴在△ADE中，∠ADE+∠AED＝120°，∠BEC+∠AED＝120°， ∴∠ADE＝∠BEC， ∵∠A＝∠B＝60°，BE＝AD， ∴△ADE≌△BEC（ASA）； （2）解：由（1）知，△ADE≌△BEC， ∴DE＝EC， ∵C四边形CPDE＝CP+PD+DE+EC＝CP+PD+2DE， 连接CD，过点E作EF⊥CD于点F，EF交于点P'，即为所求点P， ∵E点在所在的圆上， ∴EP'是直径，CD是弦， ∴∠EDP'＝∠ECP'＝90°， ∵DE＝EC，∠DEC＝60°，EF⊥CD， ∴∠DEP'＝∠CEP＝30°， ∴DP'＝CP'， 在Rt△EDP'中， 设DP'＝x，则EP′＝2x， 由勾股定理得， 解得，x＝1， ∴DP'＝CP'＝1， 最大值为， 综上所述，周长最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $