精品解析：四川省南充市嘉陵第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

嘉陵一中高2024级高二上第一次月考 数学试卷 注意事项： 时间120分钟，满分150分. 所有答案直接答在答题卡对应区域. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则AB的中点M到点C的距离（ ） A. B. C. D. 5. 已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A. x＝，y＝1 B. x＝，y＝－4 C. x＝2，y＝－ D. x＝1，y＝－1 6. 在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二面角，、两点在棱上，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则二面角的大小是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 8. 如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分 9. 设样本空间含有等可能样本点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与为互斥事件 B. 事件与为对立事件 C. 事件两两相互独立 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B. 若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若的标准差为4，则的标准差是8 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则平面 C. 若，，则平面 D. 若，时，直线与平面所成的角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设异面直线的方向向量分别为，则异面直线所成角的大小为________． 13. 一个底面直径是的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了且无溢出，则这个球的表面积是________． 14. 点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分， 16、17题15分， 18、19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）已知向量与互相垂直，求的值； （2）若点在平面上，求的值． 16. 某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并且计算样本的平均数； （2）若该市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数； （3）若该地区市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值．（结果保留整数） 17. 如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线到平面的距离． 18. 如图甲，已知在长方形中，，，M为DC的中点．将沿折起，如图乙，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）若点E是线段上一动点，点E在何位置时，二面角的余弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉陵一中高2024级高二上第一次月考 数学试卷 注意事项： 时间120分钟，满分150分. 所有答案直接答在答题卡对应区域. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可. 【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为. 故选：A. 2. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出从4张卡片中不放回地随机抽取2张所有可能的组合的可能数，求出和为奇数的条件的组合数即可求解. 【详解】从4张卡片中不放回地随机抽取2张， 所有可能的组合有：，共种等可能的结果， 和为奇数的条件是一奇一偶， 符合条件的组合为：， 所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为. 故选：D. 3. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接计算直线方向向量和平面法向量的数量积可知. 【详解】由题知，当时，或. A选项：因为 B选项： C选项： D选项： 故选：C 4. 设，则AB的中点M到点C的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得点坐标，利用两点间距离公式计算得. 【详解】因为的中点， 所以 故选：C． 5. 已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A. x＝，y＝1 B. x＝，y＝－4 C. x＝2，y＝－ D. x＝1，y＝－1 【答案】B 【解析】 【分析】由题得a＋2b＝λ(2a－b)，即解方程组即得解. 【详解】由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)． ∵(a＋2b)∥(2a－b)， ∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)， ∴ 解得 故答案为B 【点睛】本题主要考查空间平行位置关系的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 6. 在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算． 【详解】连接， 在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角， 由已知，，， 由余弦定理得，， ， ∴． 故选：C． 7. 已知二面角，、两点在棱上，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则二面角的大小是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角． 【详解】由条件，知． ， ，即， 所以二面角的大小为 故选：C． 8. 如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，3，，根据空间向量垂直的坐标表示求得，继而得的最小值，连接BP，由线面角的定义得 就是与平面所成的角，故而得的最大值. 【详解】解：以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，， 设，3，，则，3，，，，， ，， ，， ， 连接BP，在正四棱柱中，面，所以 就是与平面所成的角，即 ， ，的最大值为． 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分 9. 设样本空间含有等可能样本点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与为互斥事件 B. 事件与为对立事件 C. 事件两两相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据对立事件的定义判断B；根据独立事件的定义判断C；选项D需验证三事件同时发生的概率是否等于各自概率的乘积. 【详解】因为，即件与能同时发生，不是互斥事件，A错； 因为且，即事件与不能同时发生且必有一个发生， 事件与为对立事件，B正确； ，， ，故独立； ，，，故独立； ；，故独立, 综上事件两两相互独立，C正确； 选项D：，故,,，选项D错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B. 若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若的标准差为4，则的标准差是8 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由百分位数的定义即可判断；对于B，由平均数公式列方程即可判断；对于C，由分层抽样的性质即可判断；对于D，由标准差的性质即可判断. 【详解】对于A，因为5个数据从小到大排列为1，3，5，6，8，且，所以第60百分位数是，则A错误. 对于B，一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，可知，解得，B错误. 对于C，因为在分层抽样中，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，所以C错误. 对于D，因为的标准差为4，所以它的方差为16， 而的方差为，所以它的标准差是8，故D正确. 故选：D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则平面 C. 若，，则平面 D. 若，时，直线与平面所成的角为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，得到，由，得到P点与C点重合，结合体积公式，可得判定A错误；求得平面的法向量，根据，可判定B正确；由，求得，可判定C正确；利用向量的夹角公式，求得，结合函数的单调性，可判定D正确. 【详解】连接，，，，，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，， 则，即， 对于A中，若，则，则P点与C点重合， 可得，所以A错误； 对于B中，若，则，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 由于，可得， 因为平面，所以平面，所以B正确； 对于C中，若，则，， 由于，所以平面，所以C正确； 对于D中，若时，可得，所以， 则， 设，，则，，， 则， 由于函数（）在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以，所以，，，，， 所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设异面直线的方向向量分别为，则异面直线所成角的大小为________． 【答案】##60° 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求解异面直线所成角的余弦值，即可得所成角大小. 【详解】因为异面直线的方向向量分别为， 所以，又 所以． 所以异面直线所成角的大小为． 故答案为：. 13. 一个底面直径是的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了且无溢出，则这个球的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】由上升的水的体积等于球的体积，利用圆柱、球的体积公式列方程求球体半径，进而求球体的表面积. 【详解】由题意，上升的水的体积即为球的体积，若球的半径为R，即，解得， 故这个球的表面积． 故答案为： 14. 点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，计算出正四面体内切球的半径，由此可求得，由空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当点为正四面体的顶点时，取得最大值，即可得解. 【详解】如下图所示： 正四面体的棱长为，其内切球球心为点，连接并延长交底面于点， 则为正的中心，且平面， 连接并延长交于点，则为的中点，且， ，， 平面，平面，，则， 的面积为， 正四面体的体积为， 设球的半径为，则， ，， ，， ， 当点位于正四面体的顶点时，取最大值， 因此，. 故答案为：. 【点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分， 16、17题15分， 18、19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）已知向量与互相垂直，求的值； （2）若点在平面上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，再根据向量垂直的坐标表示列式求解即可； （2）分析可知存在，使得成立，结合向量的坐标运算列式求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 则，， 可得． 又因为向量与互相垂直， 则，解得， 所以的值是． 【小问2详解】 因为点在平面上，则存在，使得成立． 又因为，即， 可得，解得， 所以的值为． 16. 某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并且计算样本的平均数； （2）若该市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数； （3）若该地区市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值．（结果保留整数） 【答案】（1）， 395（千瓦） （2）495万人 （3）（千瓦）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率之和为1求出的值，进而可求得样本的平均值. （2）由频率分布直方图求出用电量不低于400千瓦的频率，进而求得用电量不低于400千瓦的人数. （3）根据百分位数的公式求出85%百分位数，进而可求得的值. 【小问1详解】 由频率之和为1，可得， 解得， 样本的平均数为： （千瓦）. 【小问2详解】 由图可得，用电量不低于400千瓦的频率为， 故全市居民中月均用电量不低于400千瓦的人数为万人. 【小问3详解】 由图可得，前5组的频率之知为， 前6组的频率之和为， 设第85百分位数为，则， 故， 解得（千瓦）． 17. 如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为为等边三角形，且D是的中点， 所以，由正三棱柱的性质知，平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先证明，，从而知平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证； （3）先将问题转化为求点B到的距离，再利用等体积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知平面， 以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离， 由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而2， 4， 设点B到平面ADC1的距离为d， 因为， 所以，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 18. 如图甲，已知在长方形中，，，M为DC的中点．将沿折起，如图乙，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）若点E是线段上一动点，点E在何位置时，二面角的余弦值为． 【答案】（1） 证明：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∵且，，平面， ∴平面． （2）E为的靠近D点的五等分点 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质和矩形的性质证得线面垂直，再得线线垂直，最后又由线面垂直的判定定理得证； （2）利用点E是线段DB上的一动点，设出，再求两个平面的法向量，进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，，，M是的中点， ∴， 取的中点O，连接，则平面， 取的中点N，连接，则， 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， 设，， 因为平面的一个法向量， ，， 设平面的一个法向量为， 则，可得． 再由，则， ∴或（舍）， 所以E为的靠近D点的五等分点． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1） 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $