精品解析：江苏省镇江市丹徒区高资中学集团五校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学课堂练习卷 考试时间100分钟 试卷满分120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 直径是弦，弦是直径 C. 半圆是轴对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 4. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 5. 如图，是的直径，，点C是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 7. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 8. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与y轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若方程 的一个根为，则另一个根为______． 12. 如图，的弦、半径延长交于点，，若，则_________ ． 13. 如果恰好只有一个实数 a 是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0 的根，则 k 的值__________． 14. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是__．= 15. 如图，的半径为，，则弦的长为_____． 16. 在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为________． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 解下列方程 （1）； （2）． 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 19. 如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 20. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 21. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？ 22. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5∶24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 23. 如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过6秒后，BP=_________cm，BQ=_______cm； (2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ (3)经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？ 24. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学课堂练习卷 考试时间100分钟 试卷满分120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意； C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意； D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程求得，然后根据即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， 则， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 直径是弦，弦是直径 C. 半圆是轴对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断． 【详解】解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选∶C 4. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 根据的半径和点到圆心的距离的大小关系判断即可． 【详解】解：根据题意可得：的半径为，点到圆心的距离为， ， ， 点P在圆内， 故选：A． 5. 如图，是的直径，，点C是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据平角求角度数是解题的关键．利用圆心角、弧、弦的关系，结合直径所对圆心角为平角的性质来求解的度数． 【详解】解：， 是的直径， ， ， 点C是的中点， ， ，且， ， ． 故选：B． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 7. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 8. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 【详解】解：整理一元二次方程， 可得：， 即长为，宽为的长方形的面积为， 构造边长为的正方形， 则正方形的面积是， 这个正方形的面积又是个长为、宽为的长方形的面积之和再加上中间的边长为的小正方形的面积， 即， ， 解得：， 能正确说明方程解法的构图，如下图所示， 故选：B． 9. 如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作， 点的坐标为， ，， ， 点，点关于原点对称， ， ， ， ， 当最大时最大， 当点、、共线时有最大值， 的半径为， 的最大值是， 的最大值是． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与y轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形中位线的性质得到当为直径（过圆心M）时，最大；然后延长与圆交于点，连接；再由圆周角定理可得，然后由垂径定理得到、求解、，最后求出线段的中点坐标即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，点M坐标为，点A坐标为， ∴，， ∵点D是的中点， ∴且， ∴最大时，即当为直径（过圆心M）时，最大； 如图：延长与圆交于点，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， ∵的中点，， ∴的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线、勾股定理、线段的中点等知识，将求线段最大时D的坐标转换成求最大时点D的坐标是解答本题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若方程 的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∵， ∴， ∴， ∴另一个根为， 故答案为：． 12. 如图，的弦、半径延长交于点，，若，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线OB，根据OA＝OB＝BD＝半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可求解． 【详解】连接OB， ∵BD＝OA，OA＝OB ∴△AOB和△BOD为等腰三角形， 设∠D＝x°，则∠OBA＝2x°， ∵OB＝OA， ∴∠A＝2x°， 在△AOB中，2x＋2x＋（105−x）＝180， 解得：x＝25， 即∠D＝25°． 故答案是：． 【点睛】此题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角的性质三角形内角和定理，难易程度适中． 13. 如果恰好只有一个实数 a 是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0 的根，则 k 的值__________． 【答案】±3 或﹣5 【解析】 【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案． 【详解】当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根， 则k2-9=0， 解得k=±3， 当原方程是一元二次方程时， △=b2-4ac=0， 即：4（k+1）2-4（k2-9）=0 解得：k=-5． 故答案为±3或-5． 【点睛】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题． 14. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是__．= 【答案】10 【解析】 【分析】连接OC，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接OC， ∵CD⊥AB，垂足为D，CD=4，OD=3， AB=2OC=10 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 15. 如图，的半径为，，则弦的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用半径相等可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质易得． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，根据题意得到为等边三角形是解题的关键． 16. 在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2＋PG2＝2PN2＋2FN2即可求出结论． 【详解】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值． ∵DE＝4，四边形DEFG为矩形， ∴GF＝DE，MN＝EF， ∴MP＝FN＝DE＝2， ∴NP＝MN−MP＝EF−MP＝1， ∴PF2＋PG2＝2PN2＋2FN2＝2×12＋2×22＝10． 故答案为10． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． （1）利用配方法计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， ，或， ，． 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ，． 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 19. 如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 【答案】证明：连接， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】连接，根据平行线的性质得出，，再根据等边对等角得出，然后根据等量代换得出，最后根据弧与圆心角关系即可得证． 【详解】略 20. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 21. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？ 【答案】5米． 【解析】 【分析】设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，根据题意列出一元二次方程，然后解方程结合实际意义即可求出结论． 【详解】解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米， 依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45， 整理，得：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5． 当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去； 当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意． 答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 22. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5∶24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 【答案】（1）CD=24m；（2）2小时 【解析】 【分析】（1）在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的长，2ED等于弦CD的长； （2）延长OE交圆O于点F求得EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，然后利用（小时），所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满． 【详解】（1）∵直径AB=26m， ∴OD=， ∵OE⊥CD， ∴， ∵OE：CD=5：24， ∴OE：ED=5：12， ∴设OE=5x，ED=12x， ∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132， 解得x=1， ∴CD=2DE=2×12×1=24m； （2）由（1）得OE=1×5=5m， 延长OE交圆O于点F， ∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m， ∴（小时），即经过2小时桥洞会刚刚被灌满． 23. 如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过6秒后，BP=_________cm，BQ=_______cm； (2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ (3)经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？ 【答案】（1）BP=6cm．BQ=12cm，（2）6秒或秒（3）2秒 【解析】 【分析】（1）根据点P以每秒钟1cm的速度移动，点Q以每秒钟2cm的速度移动，可得经过6秒后，BQ=12cm，BP=6cm； （2）分∠PQB=90°和∠QPB=90°两种情况讨论即可； （3）作QD⊥AB于D，利用等边三角形的性质和勾股定理可得DQ=x，然后利用三角形的面积公式得出关于x的方程，然后解方程并检验即可. 【详解】解：（1）由题意，得 AP=6cm，BQ=12cm， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=12cm， ∴BP=12﹣6=6cm． （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°， 当∠PQB=90°时， ∴∠BPQ=30°， ∴BP=2BQ． ∵BP=12﹣x，BQ=2x， ∴12﹣x=2×2x， 解得x=， 当∠QPB=90°时， ∴∠PQB=30°， ∴BQ=2PB， ∴2x=2（12﹣x）， 解得x=6． 答：6秒或秒时，△BPQ是直角三角形； （3）作QD⊥AB于D， ∴∠QDB=90°， ∴∠DQB=30°， ∴DB=BQ=x， 在Rt△DBQ中，由勾股定理，得 DQ=x， ∴=10， 解得x1=10，x2=2， ∵x=10时，2x＞12，故舍去， ∴x=2． 答：经过2秒△BPQ的面积等于10cm2． 考点：1.等边三角形的性质2.勾股定理3.一元二次方程. 24. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】（1）①②或3 （2）该方程的“关爱码”为或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； 【小问3详解】 解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $