精品解析：山西省太原市第十二中学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

太原十二中高三年级第一次月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则集合（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，解得，则，而， 所以. 故选：C 2. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C. 3. 在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，由可得，确定是等边三角形. 【详解】由得， 所以，又，所以. 由，根据正弦定理可得， 又，， 所以，又，所以， 由正弦定理可得.因为，所以是等边三角形. 故选：D. 4. 设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求导判断函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解. 【详解】由求导得：， 所以在上是增函数， 又因为， 所以是奇函数， 则， 根据在上是增函数， 所以， 故选：C 5. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角函数的定义，得到，再化简原式为，代入计算，即可求解. 【详解】由点在角的终边上，可得， 则． 故选：A. 6. 设函数，对都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可得函数图象的对称中心，结合余弦曲线对称中心的性质求解即可. 【详解】由题意都有，可知函数的图象的对称中心为， 由函数可得， 解得，又， ，. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. C. 或-2 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】把所给条件进行平方并除以“1”，再把“1”化为“”，分子分母同时除以，可得关于的方程，先求出，再代入二倍角公式求出. 【详解】由题意， 可得， 解得或， 代入得到， 故选：B. 8. 若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当，根据对数函数性质得出函数单调性和最大值，当，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于的不等式①并得出在上的最小值，再利用时的最小值不小于时的最大值，列出关于的不等式②，合并求出m的取值范围. 【详解】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数， 在上的最大值为. 若，，求导得， 要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得， 因为，则，所以， 若在上单调递增，则②，解得， 所以. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知实数，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A；利用基本不等式可逐项判断BCD. 【详解】对于选项A：当时，则不成立，故A选项错误； 对于选项B：， 当且仅当时等号成立，即，故B选项正确； 对于选项C：， 当且仅当，即时等号成立，则，故C选项错误； 对于选项D：， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 于是，即，故D选项正确. 故选：BD 10. 已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据是幂函数可求m为2或，再根据在上单调递增可得m为2，根据即可求出a，b的关系，从而得到答案． 【详解】∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 当且仅当 D. 轴是曲线的一条切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可判断A选项，再结合导数可判断函数单调性，进而可判断最值与切线情况，即可判断BCD选项. 【详解】 A选项：由已知函数为上的奇函数，且当时，， 所以当时，，则， 所以，A选项正确； B选项：易知函数， 当时，，则， 设，则， 可知当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 结合奇函数性质可知，函数在和上单调递减，在和上单调递增，B选项错误； C选项：由函数单调性与奇偶性可知，当时，，当时，， 所以当时，，C选项错误； D选项：由函数单调性与奇偶性可知函数图像如图所示， 可知当时，函数取得极值，此时切线方程为，即为轴，D选项正确； 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，即可由同角关系可得，进而由正弦定理即可求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理，； 因为，所以， 在中，由正弦定理， 所以，解得， 故答案为：. 13. 已知，，，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，并求出的取值范围，由此可求得的值. 【详解】且，所以，， 因为，所以，， 由二倍角的正切公式可得， 所以，， 因此，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，由成立，当，转化为不等式在上恒成立，令，由在上递增，由在上恒成立求解. 【详解】由题意得，当 ，不等式在上恒成立， 当，不等式在上恒成立， 所以不等式在上恒成立， 令，则不等式在上恒成立， 因为，所以在上递增， 所以在上恒成立，显然，不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 当时，，所以，则， 所以 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，求出角； （2）根据已知条件求出的值，最后利用面积公式求出三角形面积. 【小问1详解】 （方法一）由及正弦定理， 得. 又，得， 即. 因为，所以. （方法二）由及正弦定理， 得. 又，得， 即， 因为，所以，故， 所以，故，即. 【小问2详解】 由（1）得. 由的周长为，得. 由， 所以，即， 故， 所以. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解. 【小问1详解】 依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 . 17. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角C； （2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数有界性运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 化简得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. 【小问2详解】 因为，，由正弦定理得， 则，， 可得， 因为，则， 可得，所以. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求函数的零点个数. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在上单调递增. 当时，在上单调递增. （3）两个零点 【解析】 【分析】（1）先求函数在该点的函数值和导数值，再利用导数的几何意义，即可求切线方程. （2）对函数求导，解出临界点，再根据参数的取值分类讨论其单调性，即可得解. （3）将零点问题转化为函数与直线的交点个数问题，结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的最小值以及函数在区间端点（极限情况）的函数值，即可判断交点个数，从而得到零点个数. 【小问1详解】 由已知，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由已知，且. 令，解得. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. 【小问3详解】 要求函数的零点个数，即求函数与直线的交点个数. 由（2）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 若，则在上单调递减，在上单调递增. 所以，又，所以， 又当和时，， 所以函数与直线有两个交点，故函数有两个零点. 19. 已知函数， （1）若，讨论在的单调性； （2）若，函数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） （3）证明：原式即证． 由（2）可知，当时，，即时，， 则．令，则． 则，，， 各式相加得． 所以当时，成立． 【解析】 【分析】（1）求导函数研究函数的单调性； （2）构造函数，多次求导连锁反应研究导函数的单调性，进而分类讨论探究函数的极值点与单调性，通过函数值范围判断不等式是否恒成立即可； （3）由（2）问中当时，不等式恒成立结论，赋值、累加法证明不等式. 【小问1详解】 因为， 所以， 在上，，在上，, 所以，函数在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 不等式可化为：，设， 令， 则，令， 则，再令， 则，所以在单调递增，则， 即，所以在单调递增， 所以，， 则的值域为． ①当时，即时，，即， 则在单调递增，所以恒成立，符合题意． ②当时，即时，， 若取时，， 所以存在，使， 则当时，，即， 则函数在上单调递减，此时， 所以当时，，与原题矛盾，不符合题意． 综上所述，的取值范围是． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数取值范围问题 对参数分类讨论研究函数单调性、极值等问题的方法，是我们在解决含参不等式恒成立问题的一般性方法.如果函数结构式不是很复杂，可以通过求导得到函数的极值点（导函数零点）与单调性的情况，再对极值点直接讨论，如果无法求出极值点（导函数零点），可以通过多次求导、或利用零点存在性定理虚设零点进行分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原十二中高三年级第一次月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则集合（　　） A. B. C. D. 2. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 4. 设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 5. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，对都有，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. 或-2 D. 或 8. 若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知实数，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 当且仅当 D. 轴是曲线的一条切线 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 13. 已知，，，，则的值为______. 14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 17. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求函数的零点个数. 19. 已知函数， （1）若，讨论在的单调性； （2）若，函数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $