精品解析：江苏省镇江中学，镇江第一中学等校2025-2026学年高二上学期第一次（10月）月考数学试卷

2025年镇江一中和镇中高二上数学第一次月考卷 1. 若直线的倾斜角为，则（ ）． A. 0 B. C. D. 不存在 2. 数列满足，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. －1 3. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列4个条件：①a1=1；②a4=4； ③S3=9；④S5=25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A. B. C. D. 5. 小金是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读莫言的两本著作——《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（ ） A. 第23天 B. 第24天 C. 第25天 D. 第26天 6. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 8. 设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 下列四个选项中说法正确的是（ ） A. “”是“成等比数列”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角为 C. 过两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10. 已知数列为等比数列，则（ ） A. 数列，，成等比数列 B. 数列，，成等比数列 C. 数列，，成等比数列 D. 数列，，成等比数列 11. 设是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 12. 已知直线，，则“”是“”的_________. 13. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________ 14. 已知直线与相交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的工线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，…，记点的横坐标构成数列，给出下列四个结论： ①点； ②数列单调递减； ③； ④数列的前项和满足：. 其中所有正确结论的序号是__________. 15. 已知各项均为正数的等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和． 16. 已知在中，点，角的角平分线为边上的中线所在直线为． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线方程． 17. 已知直线． （1）求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； （2）是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 18. 已知等差数列的公差为2，且成等比数列． （1）求数列的前项和； （2）若数列的首项，求数列的通项公式． 19. 已知数列的前项和为，，是与的等差中项. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）设，若数列是递增数列，求的取值范围； （3）设，且数列的前项和为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年镇江一中和镇中高二上数学第一次月考卷 1. 若直线的倾斜角为，则（ ）． A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 2. 数列满足，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式，写出数列的前几项，判断数列的周期，即可求解. 【详解】由条件可知，，，则， 则，，，所以数列是周期为3的数列，由前3项可知，的最大值为2. 故选：B 3. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列4个条件：①a1=1；②a4=4； ③S3=9；④S5=25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式及求和公式的基本量计算，对比即可得出结果. 【详解】设等差数列{an}的公差为， ，，，即， 即. 当，时，①③④均成立，②不成立. 故选：B 4. 两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为a，-b，直线的横、纵截距分别为b，-a，逐项根据截距的正负判断即可. 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为a，-b，直线的横、纵截距分别为b，-a， 选项A，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，可得直线的横截距均为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误. 故选：A. 5. 小金是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读莫言的两本著作——《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（ ） A. 第23天 B. 第24天 C. 第25天 D. 第26天 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，小金第n天的阅读时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为15，公差为10，进而通过等差数列的前n项求和公式建立不等式，解得答案即可. 【详解】根据题意，小金第n天的阅读时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为15，公差为10，则，整理得. 设，易知f（n）为递增数列，因为，所以他恰好读完这两本书的时间为第24天. 故选：B. 6. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 7. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 8. 设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得直线的斜率为，且恒过定点，求得，结合题意，求得或，即可求解. 【详解】由直线，可得， 可得直线的斜率为，且恒过定点，则， 如图所示，要使得直线与线段有交点，则或， 可得或，即实数的取值范围为. 故选：A. 9. 下列四个选项中说法正确的是（ ） A. “”是“成等比数列”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角为 C. 过两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等比数列定义和推出关系可知A正确；根据直线斜率和倾斜角关系可知B正确；根据两点式方程的特征可知C错误；分别讨论直线过原点与不过原点的情况，知D错误. 【详解】对于A，当时，成等比数列，充分性成立； 当成等比数列时，，解得：，必要性不成立； “”是“成等比数列”的充分不必要条件，A正确； 对于B，由知直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，，B正确； 对于C，当直线平行于坐标轴时，无法用表示，C错误； 对于D，若直线过坐标原点，则直线方程为； 若直线不过坐标原点，可设其方程为，，； 综上所述：直线的方程为或，D错误. 故选：AB. 10. 已知数列为等比数列，则（ ） A. 数列，，成等比数列 B. 数列，，成等比数列 C. 数列，，成等比数列 D. 数列，，成等比数列 【答案】BD 【解析】 【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项. 【详解】设等比数列的公比为， A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误； B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确． C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误； D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确. 故选：BD 11. 设是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设的公差为，根据公差的正负不确定可判断A；根据等差数列单调性可判断B，根据等差中项、基本不等式可判断C；利用等差数列通项公式可判断D. 【详解】设的公差为， 对于A，， 因为公差的正负不确定，所以的正负不确定，故A错误； 对于B，因为， 即异号， 当时，由等差数列的单调性可知，即， 当时，由等差数列的单调性可知，即， B正确， 对于C，，所以， 又，故不存在使原式取等情况，，故C正确； 对于D， ，D错误； 故选：BC. 12. 已知直线，，则“”是“”的_________. 【答案】充要条件 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列式求解即可. 【详解】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，两直线重合，不符合题意； 当时，直线：与：，符合题意， 综上， . 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要条件. 13. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________ 【答案】10 【解析】 【分析】 设等比数列项数为项，公比为，由题意可求出，结合等比数列的性质和前项和公式可知，进而可求出项数. 【详解】设等比数列项数为项，公比为，则，， 由， 解得，因为是公比为的等比数列，则 ， 即，解得， 故答案为:10. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 14. 已知直线与相交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的工线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，…，记点的横坐标构成数列，给出下列四个结论： ①点； ②数列单调递减； ③； ④数列的前项和满足：. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由题设在直线上，在直线上，设，依据题设各点的关系推得，并构造等比数列，进而求得，最后依次判断各项正误. 【详解】由题设，，故①对； 设，则，进而有，即， 所以，故是以1为首项，为公比的等比数列，则， 对于，，易知数列单调递增，②错； 由两直线交点和，则，③对； 由，故，所以，④错； 故答案为：①③ 15. 已知各项均为正数的等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和． 【答案】（1） （2）3181． 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为q，然后根据题意列出等式，进行联立即可得到，，即可求解； （2）先得到的前50项是由的前5项与的前45项组成，然后利用分组求和法即可求解 【小问1详解】 设等比数列的公比为q，由题意得， 因为等比数列中，，所以，又，解得， 所以，即的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 因为，， 所以的前50项是由的前5项与的前45项组成， 记的前50项的和为，则 ． 所以的前50项的和为3181． 16. 已知在中，点，角的角平分线为边上的中线所在直线为． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将中点代入直线方程即可求出值，则得到答案； （2）首先得到，计算出直线的方程，将其与直线方程联立即可求出的坐标，则得到的方程. 【小问1详解】 设，由题意知，的中点在直线上， 则有，点坐标为. 【小问2详解】 由题意知关于的对称点在直线上， 则有边所在直线方程为，即. 联立方程有，解得， 又，则，则所在直线方程为， 即所在直线方程为. 17. 已知直线． （1）求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； （2）是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证法一：由，得． 当，即时，直线恒过定点． 法二：由，得， 表示过点的点斜式，即直线恒过定点． （2）存在，，面积取得最小值8. 【解析】 【分析】（1）法一：直线化为，即可求定点；法二：直线化为点斜式确定定点； （2）根据直线与坐标轴交点特征求参数范围，应用三角形面积公式得到关于参数m的表达式，进而求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在实数，由（1）知：直线恒过第一象限的点． 所以与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交． ． 因为，所以． 当，即时，的面积取得最小值8． 18. 已知等差数列的公差为2，且成等比数列． （1）求数列的前项和； （2）若数列的首项，求数列的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，即可进行基本量的计算求解； （2）对数列进行迭代相减，再累加计算，即可求得数列的通项公式. 【小问1详解】 因为成等比数列，所以， 又等差数列的公差为， 所以 可解得， 所以数列的前项和； 【小问2详解】 ①， 当时，，可得， 可得②， 由②式减①式，得， 所以 ， 且符合上式，所以. 19. 已知数列的前项和为，，是与的等差中项. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）设，若数列是递增数列，求的取值范围； （3）设，且数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） 是与的等差中项， ①， 于是有②， ①②，即， ， 又，，， ，， ，即有， 又，， 是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. （2） （3） ，， 即， 当时， . ，， 当时，，综上所述，. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再根据，作差得到，即可得到，再由，即可得证，从而求出的通项公式； （2）由（1）可知，即可得到，依题意可得，即可得到，再分为奇数、偶数两种情况讨论，参变分离，分别求出参数的取值范围，即可得解； （3）首先证明，即可证明当时，，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， ，， 所以， 是递增数列，，， 当是奇数时，，即恒成立， 数列单调递增，， 当是偶数时，，即恒成立 数列单调递减，， 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $