专题05 第26章 二次函数（章末复习易错60题）（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第26章 二次函数 章末复习易错60题 【易错要点归纳】 一、对定义与基础概念的理解不到位 1.“形如”的理解与范围： ①易错点： 死记硬背 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的形式，忽略“形如”二字的含义。 ②解析： 要理解这个标准形式指的是，可以通过移项等手段化简成这种结构的式子才是二次函数。例如 y = (x-1)(x+2) 展开后就是 y = x² + x - 2，所以它是二次函数。 ③注意： 明确二次函数的本质特征是自变量的最高次数为2。 2.二次函数与二次方程的混淆： ①易错点： 看到 y = ax² + bx + c 就想去解方程 ax² + bx + c = 0。 ②解析： 二次函数表示的是变量 y 和 x 之间的对应关系，其本身是一个表达式（值可以变化）。而二次方程是让函数值 y=0 时得到的关于 x 的一个等式（通常是求根）。 ③注意： 区分“函数表达式”（描述关系）和“方程”（等号关系求根）。 3.忽视自变量的定义域： ①易错点： 默认定义域总是全体实数 R。 ②解析： 在解决实际问题（如面积、利润、轨迹问题）时，自变量 x 往往有特定的取值范围（定义域）。例如，边长大于0、利润为非负数等。在计算函数值、最值、画图时，必须考虑定义域的限制。 ③注意： 实际问题必须关注 x 的实际意义。 二、图像（抛物线）的性质 1.顶点坐标公式记错： ①易错点： 顶点坐标 (h, k) 的公式混淆：h = , k = 。 ②易混点： 记成 x = b/(2a)（忘了负号），或混淆 h 和 k 对应的公式部分（特别是分母）。 ③注意： 必须熟练记忆：(h, k) = ( ,)。可通过配方 y = a(x - h)² + k 来理解。 2.开口方向与 a 的关系： ①易错点： 开口向上还是向下由 b 或 c 决定。 ②注意： 仅由 a 决定！a > 0，开口向上；a < 0，开口向下。 3.对称轴公式记错或理解错误： ①易错点： 把 x = 记成 x = 或 x =（遗漏负号）；不理解对称轴的意义。 ②注意： 对称轴是直线 x = h =。它是抛物线关于这条竖直线对称。在画图或比较函数值大小时极其重要。 4.最值类型判断错误： ①易错点： 忽视开口方向，看到顶点就想当然地认为是最小值点或最大值点。 ②注意： 在顶点处取到：a > 0：开口向上 → 最小值（在定义域内顶点处取得，最小值为 k）；a < 0：开口向下 → 最大值（在定义域内顶点处取得，最大值为 k）。 ③注意： 开口方向和顶点决定最值。 5.函数图像与系数 a, b, c 的关系： ①易错点： 死记硬背图像特征，不理解其几何意义。符号判断错误（如下）：a > 0 → 开口向上,| a < 0 → 开口向下;c 的大小：代表函数图像与 y 轴交点的纵坐标值。c > 0 → 交点在 x 轴上方 | c < 0 → 交点在 x 轴下方 | c = 0 → 过原点;b 的大小：单独看 b 不容易看出图像特征。更需结合 a 通过 对称轴公式 x = 和顶点位置 来判断。b = 0 时，对称轴是 y 轴;对称轴位置：a, b 共同决定对称轴位置 x =。例如，a, b 同号时，对称轴在 y 轴左侧；异号时在 y 轴右侧（口诀“左同右异”需谨慎使用，容易记错）。 ②注意： 结合点代入法+对称轴位置分析，理解符号的几何意义，而不是孤立看某个系数。 6.图像平移规律（水平平移方向混淆）： ①易错点： 对于 y = a(x - h)² + k，向右平移记成 (x + h)²，向左平移记成 (x - h)²。 ②注意： “左加右减”！（只针对自变量 x 和 h）:从 y = ax² 平移到 y = a(x - h)² + k;h > 0：向右平移 |h| 个单位（x - 正数 对应右移）;h < 0：向左平移 |h| 个单位（x - 负数 等价于 x + |h|）;向上平移 |k| 个单位 (k > 0) / 向下平移 |k| 个单位 (k < 0)（在函数值 y 上加 / 减）。 ③注意： 理解平移是对变量 x, y 的操作。 三、函数值与大小比较 自变量离对称轴距离与函数值的关系混淆（a > 0 与 a < 0）： ①易错点： 认为离对称轴越远，函数值越大（忽略了开口方向）。 ②注意： 先看开口方向 a：当a > 0时，开口向上 → 离对称轴越远，函数值越大；当a < 0时，开口向下 → 离对称轴越远，函数值越小。 ③注意： 比较对称轴到两点横坐标的距离 |x₁ - h| 和 |x₂ - h|，并结合 a 的符号判断大小。 四、与一元二次方程的联系 1.函数零点（根）与图像交点概念混淆： ①易错点： 分不清“函数的零点”、“方程的根”、“图像与x轴的交点横坐标”。 ②注意：方程 ax² + bx + c = 0 的根就是对应二次函数 y = ax² + bx + c 的零点；零点的几何意义是函数图像与 x 轴交点的横坐标值（(x, 0)）。 ③注意： 零点是一个数（根），对应一个点（交点）的横坐标。 2..二次方程的根与函数图像位置的关系混淆： ①易错点： 仅根据根的情况判断 a, b, c 的正负，或仅根据图像位置判断根的个数，忽略内在联系。 ②注意： 图像与 x 轴的交点个数由判别式 Δ = b² - 4ac 决定：Δ > 0：图像与 x 轴有两个交点 → 方程有两个不等实根；Δ = 0：图像与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴上） → 方程有两个相等实根（一个根）；Δ < 0：图像与 x 轴没有交点 → 方程没有实根。 ③注意： 理解判别式 Δ 同时决定方程根的个数和图像与 x 轴的交点个数。 五、实际问题应用（建模） 1.实际问题中变量和关系识别错误： ①易错点： 找不准哪个是因变量 y，哪个是自变量 x；不能从题目条件中正确列出 y 关于 x 的二次函数关系式。 ②注意： 仔细审题，明确问题中变化的量和需要求的量（通常为因变量 y）。 常见模型：面积问题、利润最大问题、图形运动轨迹问题（抛物线）等。 2.忽视定义域（自变量取值范围）： ①易错点： 求出二次函数的顶点和最值（如最大值 y = 50）后，不考虑顶点横坐标 x 是否在实际定义域内。 ②注意： 实际问题的最值往往在顶点或定义域的端点上取得！ 求出顶点和最值后，必须检查顶点横坐标 x = 是否在 x 的实际意义允许的取值范围内。若不在，则需分析定义域端点的函数值大小来确定最值。 3.利润最大化问题中忽略成本/售价的初始条件： ①易错点： 设提价或降价金额为 x 元时，错误计算调整后的售价、销量，进而错误列出利润关于 x 的函数关系式。 ②注意： 清晰定义变量： 设什么为 x？（如涨价 x 元 或 降价 x 元 或 涨百分之 x 或 销售数量 x 件）。准确表达调整后的售价和销量： 每涨价（或降价）1 元 → 售价变多少？ → 销量减少（或增加）多少？ 最终利润 y = (单件售价 - 单件成本) × 销售数量。 六、应对策略与技巧 1.夯实基础定义： 透彻理解二次函数的定义、核心是自变量最高次数为2。 2.理解符号几何意义： 重点突破图像特征与系数 a, b, c 的符号关系，理解每个符号代表的图像特征（开口方向决定 a，与 y 轴交点决定 c，对称轴位置由 a, b 共同决定）。 3.死记重要公式： 确保顶点坐标公式和对称轴公式记忆准确无误。 4.重视数形结合： 多做练习，将代数式、方程、不等式的问题与图像特征建立联系，养成画示意图的习惯。 5.明确定义域限制： 解答实际问题，特别是在求最值时，时刻关注自变量 x 的实际取值范围。 6.区分注意概念： 明确函数零点（=方程根=图像与 x 轴交点横坐标），区分顶点式中的顶点和其他已知点。 7.反思总结错题： 对练习中出现的错误，认真分析原因并归类，避免重复犯错。 通过重点关注以上易错点并进行针对性的练习和理解，相信能更好地掌握沪教版（五四制）初中二次函数的内容。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题 1．下列函数中y随x的增大而减小的有（   ）个 ①  ②  ③  ④ A．0 B．1 C．2 D．3 2．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 3．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 4．抛物线过三点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．若将二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，那么所得这个函数解析式为（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，点，均在该二次函数图象上．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． ①该二次函数的最小值为；                ②当时，随的增大而减小； ③该抛物线的顶点坐标为；        ④两点之间的距离是4 以上说法中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 9．在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（    ） A．， B．， C．， D．， 10．如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 11．如图1，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为．类似地，如图2是函数和函数的图象，由图象可知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 12．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽为． ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为； ②若水面由位置l下降，水面宽度为； ③若水面由位置l下降，水面宽度增加． 以上结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 14．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 15．定义：若x，y满足且，，且（t为常数），则称点为“和谐点”，若有一个函数满足，其上存在“和谐点”，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点，，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形G关于点P的T型三角形．若是抛物线的T型点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（ ） A． B．5或 C． D．或3 二、填空题 19．二次函数图像上的最低点的纵坐标为 ． 20．如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 21．已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 22．如果点是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是 ．（填“”，“”或“”） 23．已知二次函数、且有、则、按从大到小的顺序排列为 ． 24．已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 25．已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 26．若拋物线在直线右侧部分是下降的，则的取值范围是 ． 27．沿着x轴正方向看，抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，则b的值为 ． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则的长为 ． 29．设抛物线（其中、、是常数，且）的顶点为，如果是抛物线上一点，将绕点旋转后，点的对应点也在抛物线上，这时可以用的长表示该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”是 ． 30．如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 31．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m． 32．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有 ． 33．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为 34．对于任意二次函数，它的“子函数”形如，若一个二次函数的“子函数”过点，则当两函数的函数值相等时，对应的x的值为 ． 35．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点、，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形关于点的型三角形．若是抛物线的型点，则的取值范围是 ． 三、解答题 36．已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 37．已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 38．如图，小明在距篮筐处跳起投篮，篮球的运动路径为抛物线，球在小明头顶上方处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，并且球被投中．以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求球离地面的高度和距原点的水平距离之间的函数解析式； (2)已知小刚跳离地面时，最高能摸到，则当小明按照如图所示的起跳投篮出手时，小刚在小明的右边且与小明的距离在什么范围内能在空中截住球？ 39．掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 40．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）． (1)求a的值和抛物线的对称轴； (2)已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计） 41．如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 (1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； (3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 42．已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 43．某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 44．已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 45．函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 46．某景区购进、两种纪念品共300件，购进种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件． ①购进4件种纪念品和2件种纪念品需花费36元；购进2件种纪念品和3件种纪念品需花费22元． ②种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，种纪念品的进货价每个降低0.1元． 经销售发现：，两种纪念品的总售价为元，购进种纪念品的件数为件，与之间存在一次函数的关系，如表： 种件数 0 20 50 100 200 总售价 1500 1600 1750 2000 2500 (1)求与的函数关系； (2)设销售，两种商品所获利总利润为元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由． 47．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 48．如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． (1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． (2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 49．葫芦岛是中国东北地区重要的水果生产基地，以绥中白梨、兴城苹果、建昌核桃等水果闻名．其中，绥中白梨因独特风味被列为国家地理标志产品．某果园今年种植的绥中白梨喜获丰收，采摘上市后16天内全部售罄．该果园的果农对销售情况进行统计后发现，在白梨上市第x天时，日销售量P（单位：公斤）与销售天数x之间的函数关系为：，白梨的单价y（单位：元）与销售天数x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y与x的函数解析式； (2)设日销售额为W元，当时，求W的最大值． 50．已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 51．已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 52．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ (3)当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？ 53．我们定义：如果一条抛物线的顶点P绕着它的对称轴上的另一个点Q逆时针旋转，顶点P的对应点也在这条抛物线上，那么称线段的长为该抛物线的开口半径，点Q为该抛物线的开口中心． (1)已知一条抛物线的开口向上，开口半径为1，开口中心为，求这条抛物线的表达式； (2)已知抛物线顶点为点A，与y轴交于点B，开口中心点C． ①求它的开口半径； ②求的余弦值． 54．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 55．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移使之经过点，平移后的抛物线交轴于点． (1)求的正切值； (2)点在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，联结、，求的面积； (3)点在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结、，当时，求点的坐标． 56．如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求和的值； (2)求抛物线的对称轴； (3)结合图象直接写出满足的的取值范围． 57．如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 58．如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 59．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 60．已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 学科网（北京）股份有限公司1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数 章末复习易错60题 【易错要点归纳】 一、对定义与基础概念的理解不到位 1.“形如”的理解与范围： ①易错点： 死记硬背 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的形式，忽略“形如”二字的含义。 ②解析： 要理解这个标准形式指的是，可以通过移项等手段化简成这种结构的式子才是二次函数。例如 y = (x-1)(x+2) 展开后就是 y = x² + x - 2，所以它是二次函数。 ③注意： 明确二次函数的本质特征是自变量的最高次数为2。 2.二次函数与二次方程的混淆： ①易错点： 看到 y = ax² + bx + c 就想去解方程 ax² + bx + c = 0。 ②解析： 二次函数表示的是变量 y 和 x 之间的对应关系，其本身是一个表达式（值可以变化）。而二次方程是让函数值 y=0 时得到的关于 x 的一个等式（通常是求根）。 ③注意： 区分“函数表达式”（描述关系）和“方程”（等号关系求根）。 3.忽视自变量的定义域： ①易错点： 默认定义域总是全体实数 R。 ②解析： 在解决实际问题（如面积、利润、轨迹问题）时，自变量 x 往往有特定的取值范围（定义域）。例如，边长大于0、利润为非负数等。在计算函数值、最值、画图时，必须考虑定义域的限制。 ③注意： 实际问题必须关注 x 的实际意义。 二、图像（抛物线）的性质 1.顶点坐标公式记错： ①易错点： 顶点坐标 (h, k) 的公式混淆：h = -b/(2a), k =。 ②易混点： 记成 x = b/(2a)（忘了负号），或混淆 h 和 k 对应的公式部分（特别是分母）。 ③注意： 必须熟练记忆：(h, k) = ( , )。可通过配方 y = a(x - h)² + k 来理解。 2.开口方向与 a 的关系： ①易错点： 开口向上还是向下由 b 或 c 决定。 ②注意： 仅由 a 决定！a > 0，开口向上；a < 0，开口向下。 3.对称轴公式记错或理解错误： ①易错点： 把 x = 记成 x = 或 x =（遗漏负号）；不理解对称轴的意义。 ②注意： 对称轴是直线 x = h =。它是抛物线关于这条竖直线对称。在画图或比较函数值大小时极其重要。 4.最值类型判断错误： ①易错点： 忽视开口方向，看到顶点就想当然地认为是最小值点或最大值点。 ②注意： 在顶点处取到：a > 0：开口向上 → 最小值（在定义域内顶点处取得，最小值为 k）；a < 0：开口向下 → 最大值（在定义域内顶点处取得，最大值为 k）。 ③注意： 开口方向和顶点决定最值。 5.函数图像与系数 a, b, c 的关系： ①易错点： 死记硬背图像特征，不理解其几何意义。符号判断错误（如下）：a > 0 → 开口向上,| a < 0 → 开口向下;c 的大小：代表函数图像与 y 轴交点的纵坐标值。c > 0 → 交点在 x 轴上方 | c < 0 → 交点在 x 轴下方 | c = 0 → 过原点;b 的大小：单独看 b 不容易看出图像特征。更需结合 a 通过 对称轴公式 x = 和顶点位置 来判断。b = 0 时，对称轴是 y 轴;对称轴位置：a, b 共同决定对称轴位置 x =。例如，a, b 同号时，对称轴在 y 轴左侧；异号时在 y 轴右侧（口诀“左同右异”需谨慎使用，容易记错）。 ②注意： 结合点代入法+对称轴位置分析，理解符号的几何意义，而不是孤立看某个系数。 6.图像平移规律（水平平移方向混淆）： ①易错点： 对于 y = a(x - h)² + k，向右平移记成 (x + h)²，向左平移记成 (x - h)²。 ②注意： “左加右减”！（只针对自变量 x 和 h）:从 y = ax² 平移到 y = a(x - h)² + k;h > 0：向右平移 |h| 个单位（x - 正数 对应右移）;h < 0：向左平移 |h| 个单位（x - 负数 等价于 x + |h|）;向上平移 |k| 个单位 (k > 0) / 向下平移 |k| 个单位 (k < 0)（在函数值 y 上加 / 减）。 ③注意： 理解平移是对变量 x, y 的操作。 三、函数值与大小比较 自变量离对称轴距离与函数值的关系混淆（a > 0 与 a < 0）： ①易错点： 认为离对称轴越远，函数值越大（忽略了开口方向）。 ②注意： 先看开口方向 a：当a > 0时，开口向上 → 离对称轴越远，函数值越大；当a < 0时，开口向下 → 离对称轴越远，函数值越小。 ③注意： 比较对称轴到两点横坐标的距离 |x₁ - h| 和 |x₂ - h|，并结合 a 的符号判断大小。 四、与一元二次方程的联系 1.函数零点（根）与图像交点概念混淆： ①易错点： 分不清“函数的零点”、“方程的根”、“图像与x轴的交点横坐标”。 ②注意：方程 ax² + bx + c = 0 的根就是对应二次函数 y = ax² + bx + c 的零点；零点的几何意义是函数图像与 x 轴交点的横坐标值（(x, 0)）。 ③注意： 零点是一个数（根），对应一个点（交点）的横坐标。 2..二次方程的根与函数图像位置的关系混淆： ①易错点： 仅根据根的情况判断 a, b, c 的正负，或仅根据图像位置判断根的个数，忽略内在联系。 ②注意： 图像与 x 轴的交点个数由判别式 Δ = b² - 4ac 决定：Δ > 0：图像与 x 轴有两个交点 → 方程有两个不等实根；Δ = 0：图像与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴上） → 方程有两个相等实根（一个根）；Δ < 0：图像与 x 轴没有交点 → 方程没有实根。 ③注意： 理解判别式 Δ 同时决定方程根的个数和图像与 x 轴的交点个数。 五、实际问题应用（建模） 1.实际问题中变量和关系识别错误： ①易错点： 找不准哪个是因变量 y，哪个是自变量 x；不能从题目条件中正确列出 y 关于 x 的二次函数关系式。 ②注意： 仔细审题，明确问题中变化的量和需要求的量（通常为因变量 y）。 常见模型：面积问题、利润最大问题、图形运动轨迹问题（抛物线）等。 2.忽视定义域（自变量取值范围）： ①易错点： 求出二次函数的顶点和最值（如最大值 y = 50）后，不考虑顶点横坐标 x 是否在实际定义域内。 ②注意： 实际问题的最值往往在顶点或定义域的端点上取得！ 求出顶点和最值后，必须检查顶点横坐标 x = 是否在 x 的实际意义允许的取值范围内。若不在，则需分析定义域端点的函数值大小来确定最值。 3.利润最大化问题中忽略成本/售价的初始条件： ①易错点： 设提价或降价金额为 x 元时，错误计算调整后的售价、销量，进而错误列出利润关于 x 的函数关系式。 ②注意： 清晰定义变量： 设什么为 x？（如涨价 x 元 或 降价 x 元 或 涨百分之 x 或 销售数量 x 件）。准确表达调整后的售价和销量： 每涨价（或降价）1 元 → 售价变多少？ → 销量减少（或增加）多少？ 最终利润 y = (单件售价 - 单件成本) × 销售数量。 六、应对策略与技巧 1.夯实基础定义： 透彻理解二次函数的定义、核心是自变量最高次数为2。 2.理解符号几何意义： 重点突破图像特征与系数 a, b, c 的符号关系，理解每个符号代表的图像特征（开口方向决定 a，与 y 轴交点决定 c，对称轴位置由 a, b 共同决定）。 3.死记重要公式： 确保顶点坐标公式和对称轴公式记忆准确无误。 4.重视数形结合： 多做练习，将代数式、方程、不等式的问题与图像特征建立联系，养成画示意图的习惯。 5.明确定义域限制： 解答实际问题，特别是在求最值时，时刻关注自变量 x 的实际取值范围。 6.区分注意概念： 明确函数零点（=方程根=图像与 x 轴交点横坐标），区分顶点式中的顶点和其他已知点。 7.反思总结错题： 对练习中出现的错误，认真分析原因并归类，避免重复犯错。 通过重点关注以上易错点并进行针对性的练习和理解，相信能更好地掌握沪教版（五四制）初中二次函数的内容。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题 1．下列函数中y随x的增大而减小的有（   ）个 ①  ②  ③  ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题注意．根据各个函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题． 【详解】解∶ ①在中y随x的增大而减小，故符合题意； ②在中，在每一个象限内，y随x的增大而增大，故不符合题意； ③在 中y随x的增大而减小，故符合题意； ④在中，当时，y随x的增大而减小，则当时，y随x的增大而减小，故符合题意； 故符合题意的有①③④， 故选：D． 2．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象及其性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 3．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴的交点问题，先得出，再结合二次函数的图象与轴有交点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 故选：D． 4．抛物线过三点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小． 利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，开口向上， ∴点离对称轴越远，纵坐标越大． 计算各点横坐标到对称轴的距离： 时，距离为， 时，距离为， 时，距离为， 距离由大到小为， ∴对应纵坐标． 故选A． 5．若将二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，那么所得这个函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减，左加右减”的规律可知， 将抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是． 故选：A． 6．已知二次函数，点，均在该二次函数图象上．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出该二次函数的图象与轴的交点分别，，从而得出该二次函数图象的对称轴为直线，根据对称性得出关于直线的对称点为，根据二次函数性质，求出结果即可． 【详解】解：当时，， 解得：或， 该二次函数的图象与轴的交点分别为，， 该二次函数图象的对称轴为直线， 该二次函数的图象开口向上， 当时，的值随的值增大而减小， 关于直线的对称点为， 时，． 故选：B． 7．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】依次对每个命题，依据相关数学定义、性质判断正误，统计正确命题个数．本题主要考查二元二次方程的解、四边形面积与对角线的关系、必然事件与不可能事件的判定、二次函数的定义，熟练掌握这些概念和性质是解题的注意． 【详解】解：∵， ∴或，即时可取任意实数，时可取任意实数 方程有无数组解，故①正确，符合题意； 对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，菱形是对角线互相垂直的平行四边形，但仅面积满足此条件的四边形，对角线不一定互相平分，不一定是菱形（如对角线互相垂直的梯形），故②错误，不符合题意． 直线无限延伸，无长度，不存在中点，“任意作一条直线，并作出它的中点”是不可能事件，故③错误，不符合题意． 形如（）的函数才是二次函数，当时是一次函数，故④错误，不符合题意． 综上，只有①正确，共个， 故选：． 8．已知二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． ①该二次函数的最小值为；                ②当时，随的增大而减小； ③该抛物线的顶点坐标为；        ④两点之间的距离是4 以上说法中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，抛物线与轴皎点问题，理解二次的图象和性质是解答注意． 先求出二次函数解析式，再变形为顶点式，求出二次函数的最小值来判断①，根据抛物线开口方向和对称轴来判定②，根据顶点坐标来判断③，令时，求出的坐标，进而求出两点之间的距离即可求解④． 【详解】解：将和代入抛物线解析式得 ， 解得， 抛物线解析式为， 二次函数的最小值是，故①正确， ， 抛物线开口向上． 抛物线的对称轴为， 当，随的增大而减小，故②正确； 顶点坐标是，故③错误． 令时，， 解得，， ， 两点之间的距离是，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故选：C． 9．在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，分别得出两个函数的开口方向和对称轴，再结合抛物线与关于直线对称，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， ∵ ∴函数与x轴的交点坐标为 ∴开口方向向上，对称轴为直线， 抛物线与关于直线对称， 两个抛物线的对称轴相同， 即 ∴ 解得， 观察四个选项，唯有D选项符合题意， 故选：D． 10．如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数综合，掌握一次函数和二次函数的图象及性质是解题的注意． 根据题意分析出的正负，然后根据当时，，求出的正负，即可得出答案． 【详解】解：由二次函数图像可知，对称轴， ∴， ∵抛物线（m为常数）与x轴交于点， ∴点B的横坐标大于-1，小于0； ∵点关于对称， ∴点A的横坐标大于-2，小于-1． ∵当时，， ∴． 即． ∴一次函数图像经过一、二、四象限． ∴C符合题意．． 故选C． 11．如图1，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为．类似地，如图2是函数和函数的图象，由图象可知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在二次函数的图象下方或二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得不等式的解集为或， 故选：D． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴该图象经过点；故①正确； 由图象可知：， ∵对称轴为， ∴， ∴；故②④错误； ∵图象经过点； ∴，故③正确； 故选B． 13．如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽为． ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为； ②若水面由位置l下降，水面宽度为； ③若水面由位置l下降，水面宽度增加． 以上结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的注意是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设二次函数关系式为，把点代入得：， ∴该二次函数的解析式为；故①正确； ②根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：， 解得：， 此时水面宽为；故②错误； ③根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：， 解得：， ∴水面宽度为， ∴水面宽度增加；故③正确； 综上所述：正确的个数有①③两个； 故选B． 14．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的注意． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 15．定义：若x，y满足且，，且（t为常数），则称点为“和谐点”，若有一个函数满足，其上存在“和谐点”，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，函数图象上点的坐标特征和二次函数的增减性，根据题意得出 ，①②得，由，得出，整理得，由且，得出． 【详解】解：∵双曲线存在“和谐点”， ∴， ①②得， ， ， ， 整理得， ，且， ， 故选：D． 16．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的注意； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 17．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点，，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形G关于点P的T型三角形．若是抛物线的T型点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是对称轴为轴的抛物线，顶点为，根据新定义可知：与抛物线的两点能组成等边三角形，即直线与抛物线的交点，其交点就是等边三角形的另两点、，根据题意得，，，利用三角函数求出点的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，当抛物线与直线有交点时，才有是抛物线的型点，因此列方程，有解时才有结论得出，即，解不等式即可． 【详解】 解：如图，是抛物线的型点， ， ， ， ，， 通过的直线的解析式为：， ， 当有解时，才有是抛物线的型点， 即， ， 当时，是抛物线的型点， 故选：C． 18．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（ ） A． B．5或 C． D．或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、一次函数与轴交点问题，读懂轴点函数的定义是解题的注意．根据题意，用表示出点、的坐标，代入，解出即可得到答案． 【详解】解：函数（为常数，）的图象与轴交于点 其轴点函数与轴的两个交点为、 或 解得：或 故选：D． 二、填空题 19．二次函数图像上的最低点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题的注意是正确得出二次函数顶点式．直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 二次函数图象上的最低点的纵坐标为：． 故答案为：． 20．如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行解即可．熟练掌握平移规则，是解题的注意． 【详解】解：由题意，平移后所得新抛物线的表达式是：； 故答案为：． 21．已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点满足其解析式． 先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为和时的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 22．如果点是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性以及增减性，即可得到m与n的大小关系． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线， 所以点关于对称轴的对称点为， 因为开口向下， 所以当时，随的增大而减小，而， 所以，即， 故答案为：． 23．已知二次函数、且有、则、按从大到小的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，， ∴当时，值最小． 当 时，； 当 时，， ∴． 故答案为：． 24．已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ∴， ∴ 故答案为：． 25．已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 26．若拋物线在直线右侧部分是下降的，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了本题考二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的注意．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定的取值范围即可． 【详解】解：∵拋物线，对称轴为直线，在直线右侧部分是下降的， ∴该函数的开口向下， ， 故答案为：． 27．沿着x轴正方向看，抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，可得出对称轴为直线，然后根据对称轴公式求解即可． 【详解】解：∵沿着x轴正方向看，抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故答案为：． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，中点坐标公式；由题意得点A的坐标，设，利用对称关系求得点C的坐标；利用抛物线的对称性即可求得结果． 【详解】解：，则，对称轴为直线； 由题意设，则； ∵轴， ∴点C，点D关于抛物线的对称轴对称， ∴． 故答案为：4． 29．设抛物线（其中、、是常数，且）的顶点为，如果是抛物线上一点，将绕点旋转后，点的对应点也在抛物线上，这时可以用的长表示该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，旋转的性质，根据题意先求得的坐标，进而根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，再求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解： ∴ ∵将绕点旋转后，点的对应点也在抛物线上， 设点的对应点为，如图， ∴ ∴是等腰直角三角形，， ∵顶点为，等腰直角三角形和抛物线都是轴对称图形，对称轴为直线 ∴轴， 又∵ ∴所在直线与直线平行， 设解析式为，代入， ∴， 解得： ∴解析式为， 联立 解得：或 ∴ ∴ 故答案为：． 30．如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数、一次函数，以及直线与函数相切知识的综合运用，结合平移的知识推出抛物线解析式，结合函数图象得到当直线与只有一个交点时的值，即可求解． 【详解】解：抛物线与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：、， ∵抛物线从：平移得到抛物线， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得或（舍去）， ∴抛物线解析式为， 如图， ∵直线过点， ∴当直线与只有一个交点时，k值最大， 联立与直线的表达式可得：， 整理得， ∴，， ∴， 解得：， ∵唯一交点横坐标， ∴，解得， ∴由图可得当时，直线与抛物线在范围内有交点， ∴k的最大值是． 故答案为：． 31．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m． 【答案】6． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意将问题转化为是解题的注意． 根据题意得到，解方程即可得到结论． 【详解】解：， 当时，即， 解得，（不合题意，舍去）， 该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离米． 故答案为：6． 32．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的注意． 根据二次函数图象的性质，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知，开口向上， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴负半轴， ，故①正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为， 将该点坐标代入解析式可得：，故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即， ∴无论取何值时，总是大于或等于 即，故③正确，符合题意； 根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大，故④正确，符合题意． 故答案为：①②③④． 33．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的注意． 根据题意得抛物线过点，设抛物线解析式为，代入得，求出，得到抛物线的解析式为，令，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得抛物线过点， 设抛物线解析式为， ， ， 抛物线的解析式为， ， 令， 解得， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为： ． 34．对于任意二次函数，它的“子函数”形如，若一个二次函数的“子函数”过点，则当两函数的函数值相等时，对应的x的值为 ． 【答案】1或2 【分析】本题主要考查二次函数与其一次子函数的关系，以及方程求解能力。注意在于理解“子函数”的定义，并利用已知条件建立方程，进而求解两函数的交点横坐标． 【详解】解：因为“子函数”过点， 所以，则， 当两函数的函数值相等时， 即， 把代入得， 即， 再移项得， 解得或． 故答案为：1或2． 35．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点、，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形关于点的型三角形．若是抛物线的型点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】是对称轴为轴的抛物线，顶点为，根据新定义可知：与抛物线的两点能组成等边三角形，即直线与抛物线的交点，其交点就是等边三角形的另两点、，根据题意得，，，利用三角函数求出点的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，当抛物线与直线有交点时，才有是抛物线的型点，因此列方程，有解时才有结论得出，即，解不等式即可． 【详解】解：如图， 是抛物线的型点， ， ， ， 直线的解析式为：， ， 当有解时，才有是抛物线的型点， 即，解得， 当时，是抛物线的型点， 故答案为：． 【点睛】本题是新定义的阅读理解问题，有一定的难度，考查了学生分析问题、解决问题的能力，还考查了二次函数图象上点的坐标特征及等边三角形的性质，锐角三角函数，一元二次方程根的判别式、求一次函数的解析式等知识，熟练掌握三线合一的性质，注意线段的长与点的坐标的关系；当两函数的图象有交点时，两函数解析式组成方程组，有交点就是方程组有解． 三、解答题 36．已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点式，顶点坐标；对称轴为直线 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的注意是熟练掌握待定系数法，正确求出函数解析式． （1）将两点坐标代入解析式，解得的值，求出二次函数的解析式即可； （2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，得出顶点坐标和对称轴即可． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∴顶点式为：，顶点坐标为；对称轴为直线． 37．已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了求二次函数的最值，求抛物线的对称轴，根据二次函数的性质求字母参数的范围，解题注意是掌握二次函数的性质的进行求解． （1）先抛物线L经过点，得到关于待定系数的关系式，再结合系数满足等式，求出的值； （2）①先求出点的坐标，再求出抛物线的对称轴，根据，求得的取值范围． ②先根据抛物线的顶点纵标为，得出，根据，得到，再根据，得到，从而可用表示出，然后可得当时，取最小值，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）∵抛物线L经过点， ∴当时，， ， ， ． （2）①∵， ∴， ∴抛物线经过， 抛物线经过， ∴抛物线的对称轴为． ． 的取值范围为． ②． ． ． 由①知， ∴当时，取最小值． 的最小值为． 38．如图，小明在距篮筐处跳起投篮，篮球的运动路径为抛物线，球在小明头顶上方处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，并且球被投中．以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求球离地面的高度和距原点的水平距离之间的函数解析式； (2)已知小刚跳离地面时，最高能摸到，则当小明按照如图所示的起跳投篮出手时，小刚在小明的右边且与小明的距离在什么范围内能在空中截住球？ 【答案】(1) (2)小刚在小明的右边且与小明的距离在米之内能在空中截住球 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的注意． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在距离篮筐水平距离为处达到最大高度， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线的解析为，把代入得， ， 解得． ∴函数解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴小刚在小明的右边且与小明的距离在米之内能在空中截住球． 39．掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 【答案】(1) (2)前移动 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的注意． （1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可； （2）求出时，即可解得． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为． 故可设抛物线的解析式为， 又抛物线过， ， ， 解析式为； （2）当时， 即 （舍），， ， 应将布幔向前移动． 40．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）． (1)求a的值和抛物线的对称轴； (2)已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计） 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：根据题意可得， 把代入到中得，解得． ∴抛物线的函数关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：令，得，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵， ∴， 即自动检票通道的总宽度为． 41．如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 (1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； (3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 【答案】(1) (2)小球飞行高度能达到，此时秒． (3)当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是． 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的注意是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求解； （3）将解析式配方成顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设关于的二次函数关系式为， 将代入得 ∴， 解得：． ∴关于的二次函数关系式为． （2）当，， 解得：，（舍去）． ∴小球飞行高度能达到，此时秒． （3）解： ∵ ∴当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是． 42．已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 43．某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【答案】(1)100 (2) (3)从开始销售的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用． （1）当时，设y与的函数关系式为，图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后将求得y的值，然后依据利润售价成本求解即可； （2）当时，设y与的函数关系式为．图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后结合（1）中的关系式可得到y与的关系式； （3）抛物线的顶点坐标为，设商品的成本与时间的关系式为，然后可求得的解析式，然后由得到与的函数关系式，最后，依据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得：，， ， 当时，， ． 故答案为：100； （2）解：由（1）知，当时， 当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得，， 与的关系式为． 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：设商品的成本与时间的关系式为． 将代入得：， ， ， 当时，取最大值为100， 元． 答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元． 44．已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，①当时，二次函数有最小值；②当时，二次函数有最大值 (3) 【详解】（1）解：二次函数（为常数，）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：把点代入二次函数， 得：， 解得， ∴二次函数的表达式为：， ①当时，二次函数有最小值； ②当时，二次函数有最大值． （3）解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴， 化简得：， ∴． 45．函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的注意． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 46．某景区购进、两种纪念品共300件，购进种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件． ①购进4件种纪念品和2件种纪念品需花费36元；购进2件种纪念品和3件种纪念品需花费22元． ②种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，种纪念品的进货价每个降低0.1元． 经销售发现：，两种纪念品的总售价为元，购进种纪念品的件数为件，与之间存在一次函数的关系，如表： 种件数 0 20 50 100 200 总售价 1500 1600 1750 2000 2500 (1)求与的函数关系； (2)设销售，两种商品所获利总利润为元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)总利润能达到1050元，购进A，B两种纪念品各150件 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、二次函数的应用，找到等量关系是解答本题的注意． （1）根据题意利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程组解出A商品的进货单价为8元，B商品的进货单价为2元，求出总利润为元，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系为， 根据表格可得：， 解得， 与的函数关系为； （2）解：能达到，方案如下：设A商品的进货单价为元，B商品的进货单价为元， 根题意可得：， 解得：， ， ，抛物线开口向上， ， 当时，有最大值，最大值刚好为元， 购进A，B两种纪念品各150件，总利润能达到1050元． 47．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)能， (3)时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的注意是理解题意； （1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解； （2）由题意易得，然后进行求解方程即可； （3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：，整理得：， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，围成的菜地面积为81平方米． （3）解：∵墙的最大可用长度为15米， ∴，即， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为105， ∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 48．如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． (1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． (2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的注意是： （1）根据线段的和差关系求出，过A作于H，证明四边形是矩形，得出，，求出，根据等角对等边得出，再根据线段的和差关系求出，最后根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵新建墙总长15m，的长为， ∴的长为， 过A作于H， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知： ∵ 抛物线开口向下 抛物线的对称轴为 ∴ 当时，储料场的面积最大． 49．葫芦岛是中国东北地区重要的水果生产基地，以绥中白梨、兴城苹果、建昌核桃等水果闻名．其中，绥中白梨因独特风味被列为国家地理标志产品．某果园今年种植的绥中白梨喜获丰收，采摘上市后16天内全部售罄．该果园的果农对销售情况进行统计后发现，在白梨上市第x天时，日销售量P（单位：公斤）与销售天数x之间的函数关系为：，白梨的单价y（单位：元）与销售天数x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y与x的函数解析式； (2)设日销售额为W元，当时，求W的最大值． 【答案】(1) (2)2860元 【分析】（1）依据题意，显然当时，，当时，用待定系数法求解析式； （2）依据题意，分当时和当时两种情形进行计算可以得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是注意． 【详解】（1）当时，， 当时，设y关于x的函数解析式为 将，代入，得：， 解得 关于x的函数解析式为 综上所述，y关于x的函数解析式为 （2）当时， ， 此时w的最大值为2560元． 当时， ，抛物线开口向下，对称轴为的直线 ， 当时，w随x的增大而增大． 当时，w取得最大值，最大值为． ， 当时，w的最大值为2860元． 50．已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，则当和时，函数值相等，从而确定m的值； （2）设顶点式，然后把代入求出a即可； （3）先确定抛物线和直线的交点坐标为，，然后利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， ∵时，， ∴； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式可设为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （3）解：联立， 解得：或， ∴抛物线和直线的交点坐标为，， 如图，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上面， ∴关于x的不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了待定系数法求二次函数解析式． 51．已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的注意； （1）根据二次函数与x轴的交点问题可进行求解； （2）把点代入二次函数解析式得出c的值，进而求解方程即可； （3）由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，开口向下，然后根据开口向下，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：把点代入二次函数得：， ∴， ∴一元二次方程为， 解得：； （3）解：由可知：开口向下，对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，函数取得最大值，当时，函数有最小值， ∴， ∴． 52．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ (3)当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？ 【答案】(1)，； (2)当，时面积等于； (3)当x为时，矩形的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的注意． （1）根据矩形的性质，得出，根据面积公式列式计算，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，因为，则函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，∵，且篱笆长为以及宽建造一扇门， ∴， ∴， ∵墙的长度不超过44， ∴， 即； （2）解：依题意，， ，（舍） 当，时面积等于； （3）解：∵， ∴函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值， 则在取值范围之内， 把代入，解得， 答：当x为时，最大值为． 53．我们定义：如果一条抛物线的顶点P绕着它的对称轴上的另一个点Q逆时针旋转，顶点P的对应点也在这条抛物线上，那么称线段的长为该抛物线的开口半径，点Q为该抛物线的开口中心． (1)已知一条抛物线的开口向上，开口半径为1，开口中心为，求这条抛物线的表达式； (2)已知抛物线顶点为点A，与y轴交于点B，开口中心点C． ①求它的开口半径； ②求的余弦值． 【答案】(1)； (2)①4；② 【分析】本题考查了旋转的性质，二次函数的图象与性质，解直角三角形等知识，解题的注意是： （1）根据新定义可求抛物线的对称轴为直线，，设抛物线的表达式为，根据旋转得出，，分P在Q上方和P在Q下方讨论即可； （2）①求出顶点，对称轴为直线，，设开口中心点C的坐标为，则，则可求，代入，求出或，即可求解； ②由①可得，过B作于D，则，，根据勾股定理求出，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解∶∵开口中心为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的表达式为， ∴， ∵开口半径为1， ∴， ∵顶点P绕着点逆时针旋转得到点 ， ∴，， ∴当P在Q上方时，， ∵抛物线的开口向上， ∴点P是抛物线的最低点， ∴，不符合题意，舍去； 当P在Q下方时，，， ∴ 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①∵， ∴，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设开口中心点C的坐标为，点A绕点C逆时针旋转后的对应点为， ∴， ∴， ∴， 代入，得， ∴， ∴或， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴开口半径为4； ②∵， ∴， ∴， 过B作于D， ∴，， ∴， ∴． 54．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)2 (3)平移后新抛物线的表达式为或． 【分析】此题考查二次函数的图象及性质， （1）先对含x的项提取系数a，在括号里配方，最后整理即可得到二次函数的顶点坐标； （2）先由抛物线与x轴交于点A、B，求出A、B的坐标，再由对称性得到M、N的坐标，即可算出线段的长； （3）先根据求出a的值，再根据求出顶点E，即可求出平移后新抛物线的表达式． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵，令得， 解得， ∴； ∵抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为 当时，， 解得， ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴，得， ∴或， ∵ ∴或， ∴平移后新抛物线的表达式为或． 55．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移使之经过点，平移后的抛物线交轴于点． (1)求的正切值； (2)点在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，联结、，求的面积； (3)点在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结、，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移得到，用待定系数法解答即可； （2）求出，用待定系数法求出直线的解析式为，设直线与轴交于点E，则点E的坐标为，进一步根据即可求出答案； （3）设对称轴交线段与点N，交轴于点F，证明，得到，即,证明，设点D的坐标为，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：设平移后的抛物线为，把代入得到， ， 解得， ∴平移后的抛物线为， 如图， 把代入得到，解得， ∴， 在中， （2）把代入得到，解得（不合题意，舍去）， ∴ 如图， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 设直线与轴交于点E，则点E的坐标为 ∴ （3）如图，设对称轴交线段与点N，交轴于点F， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即, ∵ ∵ ∴， ∴， 设点D的坐标为， ∵，即 解得（负值已舍去） ∴ 56．如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求和的值； (2)求抛物线的对称轴； (3)结合图象直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象交点，求抛物线的对称轴，图象解不等式等； （1）将点和代入一次函数解析式，即可求解； （2）将点、的坐标代入二次函数的解析式，由，即可求解； （3）根据图象求解即可； 掌握抛物线的对称轴公式，能根据图形解不等式是解题的注意． 【详解】（1）解：∵抛物线和直线相交于点和， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：∵点和在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 抛物线的对称轴为：直线； （3）解：由图象得： 当时，． 57．如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【答案】(1)球的高度是米 (2)得分100分 (3)的绝对值变小，可以不变（答案不唯一），作图见解析，验证见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的注意． （1）直接令求解即可； （2）令，解一元二次方程求出方程的根即可判断得分； （3）的绝对值变小，可以不变，假设落地距离为米，保持，再计算说理，即可作图． 【详解】（1）解：当时，， ∴小普把球脱手时，球的高度是米； （2）解：当时，， 整理得， 解得，（舍）， ∵铅球扔出10米的得分为100分， ∴小普得分100分； （3）解：变小，可以不变（答案不唯一）， 假设落地距离为米，保持， 将代入， 则， 解得，此时 作图如图： 58．如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)面积有最大值为，此时点； (3)或或． 【详解】（1）解：由得，， ∴点的坐标分别为，， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， ∵点的坐标分别为，， ∴将点的坐标代入一次函数表达式得， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴点， 同理可得：直线的表达式为， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ∴面积= ， ∵， ∴当时，面积有最大值为，， 此时点； （3）解：由（）得，直线的表达式为，点，直线的表达式为， ∵为等腰三角形， ∴或或， 设， （）当时，， 解得，（舍去）， ∴； 当时，点在线段的中垂线上， ∴； 当时，由， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点坐标为或或． 59．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【答案】(1) (2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 60．已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【答案】(1) (2)见解答 (3)①④ 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的注意． （1）由待定系数法求出函数表达式； （2）取点描点连线绘制函数图象即可； （3）根据函数图象和性质逐次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， （3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 学科网（北京）股份有限公司1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $