专题05 第25章锐角的三角比（章末复习压轴60题）（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第25章 锐角的三角比 章末复习压轴60题 【压轴要点归纳】 压轴题常考题型总结： 类型1：几何背景下的辅助线构造与求值. 1.典型情境：斜三角形问题；多边形（梯形、矩形、菱形、正方形）中的角度问题； 图形的折叠（翻折）问题。 2.解题关键： ①精准识别目标角；灵活作高（解斜三角形：通常向所求角对边做高；梯形：常作双高形成矩形加两个直角三角形；不规则图形：尝试划分成基本图形。） ②利用公共量列方程： 在构造出的多个有公共边（尤其是公共高）的Rt△中，用不同的三角比关系建立关于公共量的方程。 ③特殊角（30°、45°、60°）的记忆与应用： 若所求角或相关角是特殊角，其sin, cos, tan值可直接使用，大大简化计算。若需设未知数，也容易解。 类型2.实际应用背景下的模型建立（测高、坡度、航海、方向角） 1.典型情境：测量（测高/测宽）问题； 仰角或/俯角问题；坡度/坡比问题；航海/方向角问题。 2.解题关键： ①准确的几何建模： 完全读懂题目描述的物理情境，准确地画出示意图（水平线、被测物体、视线、垂直高度、水平距离），标出所有已知角和距离（特别是多个测点的情况）。 ②识别并构造多个直角三角形： 通常需要构造不止一个Rt△。 ③寻找公共边： 图中一般都有明显的公共边（如待求物体的高度H）贯穿多个Rt△。 ④定义与方程（核心）： 在每个构造好的Rt△中对目标角用tan, sin, cos定义式，将目标H用其他边长表示出来，利用公共量（主要是H）建立等式（方程）。这是解决此类问题的灵魂步骤。 ⑤牢记坡度与正切的关系（i = tanθ）。 类型3：网格或坐标系中的三角比应用 1.典型情境：在方格纸（网格）或平面直角坐标系中，给出若干点（顶点），求某些线段的长度或某个角的三角比值；要求使用无刻度直尺完成作图（如作一个给定三角比值的角）。 2.解题关键： ①坐标计算： 利用点坐标计算向量或线段长度（勾股定理）。 ②构造Rt△： 如果需要求角，一定要在网格或坐标系中构造一个包含目标角的直角三角形。 ③利用网格特性： 借助网格线的平行、垂直特性构造相似三角形或找到直角三角形。 ④理解比值： 对于求比值的问题（如 tan∠ABC），不必求出角度，直接在构造的Rt△中用定义计算对边/邻边。 ⑤无刻度直尺作图： 通常利用网格点构造相似（位似）或利用特殊角的三角比关系（如 tan45°=1 即构造等腰直角三角形；sin30°=1/2 即构造含30°的Rt△的一半）。 类型5：动态几何问题中的三角比关系 1.典型情境：动点问题；折叠（翻折）的瞬间或特定位置下的角度关系。 2.解题关键： ①抓特殊位置或临界状态： 问题常常要求动点在特定位置（如中点、端点、垂直处）时的情况。 ②分析不变量： 在运动或折叠过程中，找到始终不变的线段或角度关系。 ③构造Rt△： 无论点怎么动，求某个角的三角比，最终还是需要构造一个包含该角的Rt△（可能需要辅助线）。 ④用变量关系表达： 设定关键变量（如某条动态线段的长度x），用x表示出Rt△中的相关边，再用三角比定义式表示出目标比值，最终结果可能是一个关于x的表达式或者是一个常数。如果是求特定点，通常通过方程求解特定值x对应的位置。 ⑤结合函数思想： 最终目标比值可能是关于x的函数表达式。 压轴题的突破要点 1.稳扎稳打： 掌握基础定义（sinA = BC/AC，不是所有边随便比！）、特殊角的值（30°、45°、60°必须烂熟于心）、基本性质（互余角、sinA = cosB 当 A + B = 90°）。 2.勤动手： 看到锐角三角比问题，立刻考虑是否需要构造Rt△！ 大胆做辅助线（尤其高线）。 3.找等量： 多个Rt△ + 公共边/公共关系 = 方程。这是解决绝大多数压轴题的核心钥匙！ 4.会画图： 对应用题和复杂几何题，准确画图是理解题意、找到思路的前提。 5.细审题： 弄懂每一个条件（明确哪个角？sin/cos/tan？涉及哪些线段？），警惕题目中隐含的等量关系（如折叠的对称性、特殊角的隐含信息）。 6.重模型： 熟悉常见模型（如“双测仪”测高模型）有助于快速识别解题思路。 【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题 1．已知锐角A的正切值为，那么（  ） A． B． C． D． 2．如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 3．如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图1，在等边中，点P以每秒1厘米的速度从点A出发，沿折线运动，到点C停止．过点P作，垂足为D，的长度y（cm）与点P的运动时间的函数图象如图2所示，当点P运动秒时，的长是（  ） A． B． C． D． 5．如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（　　） A． B． C． D． 7．如图，直线，直线分别与、相交于点、，与之间的距离为8，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．那么的长是（    ） A．6 B．6.4 C．8 D．10 8．我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”．设等腰△的特征值是，下列命题中假命题是（    ） A．如果，那么△是直角三角形 B．如果，那么△有一内角为 C．如果△是直角三角形，那么 D．如果△有一内角为，那么 9．在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在△中，于点，于点，为边的中点，连接、、，则下列结论：①；②；③；④若°，则△为等边三角形；⑤若°，则．正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．如图，菱形的边长为2，，E是边的中点，F是边上的一个动点，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D． 13．如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④中正确的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图所示，在矩形中， 点 E 为 边上一点，连接，过点 B 作的垂线，交于点F，平移线段得线段，且恰过的中点O，连接，已知 且 则的长为（   ） A．3 B．8 C．4 D．6 15．在四边形中，，，，，（如图）．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（  ） A． B． C． D． 16．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连交于点，连接，若．则下列结论：①；②；③；④；⑤点到的距离为．其中正确结论个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 17．，则 18．在中，，，为钝角．在延长线上取一点O，．绕点O顺时针旋转，点A、B、C分别对应点D、E、F，点C在射线上．若旋转角恰好为，那么的长为 ． 19．如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为 （精确到米，参考数据：，，） ． 20．如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为 ． 21．如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，．将沿折叠得到，交于点G．若，则 ． 22．如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是 米． 23．洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，在一条直线上，，其相关数据为，，则的长是 ． （结果精确到，参考数据：）． 24．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管与支架所在直线相交于水箱横断面的圆心，支架与水平面垂直，，，另一根辅助支架，．求水箱半径的长度 ．（结果精确到，参考数据：，） 25．如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D，则 °，的长为 ． 26．如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知 ，，，，自行车的坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子的半径等于，则坐垫到地面的距离为 ．（结果精确到，已知，，） 27．在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是 ． 28．如图，矩形的两边分别在轴和轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，反比例函数经过点，若的对应点恰好落在对角线的中点，，则的值为 ． 29．如图1，是一幅椅子和花架相互转化的实物图．放置在水平地面上的椅子示意图如图2所示，在矩形中，点在上，点，在上，是的中点，隔板，分别交于点，，现将该椅子的左边部分绕着点顺时针旋转得到一个花架，如图3所示，此时点落在地面上的点处，点，的对应点分别为点，，已知，，，则点离地面的距离是 ；若点，，在同一直线上，，则隔板的长是 ． 30．如图，已知中，，，正方形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上，如果，那么的值是 ． 31．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 32．如图，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点落在平行四边形内的点处，且，如果，，的正弦值为，那么的长为 ． 33．过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在中，，，，点、分别在边、上，如果线段是的“重似线段”，那么 ． 34．如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 35．如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 36．如图，在矩形纸片中，，，点E是边上的点，连接，将沿翻折，使点B落在处；点F是边上的点，连接，将沿翻折，使点C恰好落在线段上，记作点，连接．如果，那么 ． 37．如图，矩形的长，将矩形对折，折痕为，展开后，再将折到的位置，使点C刚好落在线段的中点F处，则折痕 ． 38．如图，在中，，，，于点，点是线段上一动点，以为直角边作，且，连接，则当时，的长为 ；点在运动过程中，的最小值为 ． 39．如图， 在等腰 中，，若点 D是边上一点， E是的中点，C关于直线 对称的点为，交于点 F． （1）若，则 度（用含的代数式表示）； （2）若，则 ． 40．如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么的度数是 ． 41．如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 42．如图，在矩形 中，点，分别在边，上，与关于直线 对称，过点作于点，交于点，交于点，若，则的长为 ． 三、解答题 43．①存在数字，使得，则称为虚数 ②若（、为实数），则称为复数 (1)判断：___________复数，___________复数，0___________复数 (2)化简： (3)在复数范围内解方程：． 44．三角铁（如图1）是一种金属乐器，用三角铁棒击打三角铁，可以发出美妙的声响．已知有一个三角铁，如图2，经测量，，的面积为30平方寸． (1)求的周长． (2)如图3，将三角铁的边水平悬挂，在点B处固定三角铁棒，棒头为小球D，取一根和棒同样型号的三角铁棒，摘下棒头，使棒杆刚好卡在A处和小球D间，且棒自然下垂．求棒的长． 45．某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 46．图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． (1)求：展板最低点B到地面的距离； (2)如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 47．超能市新闻速递：昨日一辆机长80米的客机（编号）在起飞过程中偏离航道，即将撞上正对的一个摩天大楼．据超能航空的斐德文机长回忆技术细节，他当时操纵飞机先朝北偏西方向急升达到最高点，再朝南偏西方向急降，机尾擦到大楼楼顶处着火．之后飞机进行了迫降，无乘客伤亡，有惊无险．斐德文机长获得“荣誉机长”称号． 如图是某人用数学模型粗略还原的新闻中的场景，是垂直于水平地面的大楼，是平行于水平地面的飞机（C是机头），机头仪器显示B点的仰角为．根据现场照片，机尾着火时，机头和紧急操作之前的位置处于同一高度． (1)根据所给信息在图中作图（不用写答句）． ①用虚线作出机头的粗略移动轨迹（标出必要的角度）； ②设飞机急降结束时机头、机尾的位置分别为，用实线作出线段，表示紧急操作结束时的飞机位置． (2) 如图，此人根据事发现场侧面照推算出，求机头移动轨迹长（取1.73）． 48．如图所示，O为原点，在中，，点，将绕着点O顺时针旋转，点B的对应点D恰好落在反比例函数在第一象限的图象上，点A落在点C处，连接交于点E，    (1)求k的值 (2)试判断点E是否在上述反比例函数图象上？请说明理由． (3)过C作轴，在y轴上是否有一点Q，使得与相似，若有，请直接写出点Q坐标． 49．如图，C是线段上一点，分别以为边在线段同侧作正方形和矩形，点F在上，连接，和交于点M，． (1)求证：矩形是正方形． (2)若、的余切值为，求的长． 50．如图，在平行四边形中，， ，垂足为点E（点E在边上），F为边的中点，连接，． (1)如图1，当点E是边的中点时，求线段的长； (2)如图2，设，的面积等于y，求y与x的函数解析式，并写出函数定义域； (3)当时，与的度数满足数量关系∶，其中，求k的值． 51．在矩形中，点E在边上，将线段绕点E顺时针旋转，点A的对应点F恰好落在上． (1)如图1，求证：； (2)连接，作的平分线交于点P，交于点M． ①如图2，判断点P是否为线段的中点，并说明理由； ②如图3，连接交于点N，若，求的长． 52．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 53．已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点． (1)如图，当为锐角时， ⅰ）求证：；ⅱ）如果，求的正切值； (2)如果，，下列求的面积的算式_________； ①； ②； A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都是错的 (3)根据（1）、（2）小题，提出一个问题并解答（可以增加已知条件）． 54．如图，在梯形中，，，，，，点为射线上任意一点，过点作，与射线相交于点．连接，与直线相交于点，设， (1)求梯形的面积； (2)当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)若，求线段的长． 55．在中，，，，点在上，现有两个动点分别从点和点同时出发，其中点以的速度沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，谁先到达终点，运动随之停止，过点作交于点，联结．设动点运动时间为秒． (1)当点从点运动到点的过程中，设的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围： (2)在运动过程中，若，求的值； (3)当为何值时，为直角三角形． 56．如图，在中 ， ，正方形的顶点、在线段上，在边上．在边上取一点，使 ． (1)若点为的重心，直接写出点和射线的位置关系，并求的长； (2)如图1，若为正三角形，且 ，求正方形的边长； (3)连接，若和全等，求的长． 57．在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 58．已知矩形中，，，是上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与射线相交于点F． (1)如图1，当在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于，设，，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)①如图2，直线与边交于点，若与相似，求的正切值； ②如图3，当直线与的延长线相交于点时，若，求的长． 59．在锐角三角形中，，点分别是边，上一动点，连接交直线于点． (1)如图，若，且，求的度数． (2)如图，若，且，在平面内，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． (3)若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点是的中点，点是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点运动过程中，当，且时，请直接写出的值． 60．数学综合与实践课上，如图1老师发给每个小组一张矩形纸片、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作：、、的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）和一块橡皮． 实践任务：仅利用提供的工具将矩形纸片三等分，使原纸片的宽作为等分后纸片的一边． 对核心任务进行数学抽象：如图2，已知矩形，利用含的直角三角板和无刻度的直尺，在上确定点P，使． 下表是某组同学展示完成实践任务的操作步骤： 操作步骤 图示 第一步： 如图3所示，分别以点D，点C为顶点，，为边作的角与交于点E、F，连接，，交于点G，过点G作于点M，并延长交于点N． 第二步： 如图4所示，擦除第一步中的线段，，，，点E，F，G，仅保留，连接，交于点O，过点O作于点P，并延长交于点Q． (1)在图3中，证明：点M为的中点； (2)在图4中，证明：； (3)请你再设计一种作图方案（仅利用提供的工具），在图5画出满足条件的点P，写出作法，并验证作图的正确性． 学科网（北京）股份有限公司1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第25章锐角的三角比章末复习压轴60题 【压轴要点归纳】 压轴题常考题型总结： 类型1：几何背景下的辅助线构造与求值. 1.典型情境：斜三角形问题；多边形（梯形、矩形、菱形、正方形）中的角度问题；图形的折叠（翻折） 问题。 2.解题关键： ①精准识别目标角；灵活作高（解斜三角形：通常向所求角对边做高；梯形：常作双高形成矩形加两个直 角三角形；不规则图形：尝试划分成基本图形。) ②利用公共量列方程：在构造出的多个有公共边（尤其是公共高）的Rt△中，用不同的三角比关系建立关 于公共量的方程。 ③特殊角(30°、45°、60°)的记忆与应用若所求角或相关角是特殊角，其sin,cos,tan值可直接使用，大 大简化计算。若需设未知数，也容易解。 类型2.实际应用背景下的模型建立（测高、坡度、航海、方向角） 1.典型情境：测量（测高/测宽）问题；仰角或/俯角问题；坡度/坡比问题；航海/方向角问题。 2.解题关键： ①准确的几何建模：完全读懂题目描述的物理情境，准确地画出示意图（水平线、被测物体、视线、垂直 高度、水平距离)，标出所有已知角和距离（特别是多个测点的情况）。 ②识别并构造多个直角三角形：通常需要构造不止一个Rt△。 ③寻找公共边：图中一般都有明显的公共边（如待求物体的高度H)贯穿多个Rt△。 ④定义与方程（核心）：在每个构造好的Rt△中对目标角用tan,sin,cos定义式，将目标H用其他边长表 示出来，利用公共量（主要是H)建立等式（方程）。这是解决此类问题的灵魂步骤。 ⑤牢记坡度与正切的关系（i=tan0)。 类型3：网格或坐标系中的三角比应用 1.典型情境：在方格纸（网格）或平面直角坐标系中，给出若干点（顶点），求某些线段的长度或某个角的 三角比值；要求使用无刻度直尺完成作图（如作一个给定三角比值的角）。 1/100 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.解题关键： ①坐标计算：利用点坐标计算向量或线段长度（勾股定理）。 ②构造Rt△：如果需要求角，一定要在网格或坐标系中构造一个包含目标角的直角三角形。 ③利用网格特性：借助网格线的平行、垂直特性构造相似三角形或找到直角三角形。 ④理解比值：对于求比值的问题（如tanABC),不必求出角度，直接在构造的Rt△中用定义计算对边/邻 边。 ⑤无刻度直尺作图：通常利用网格点构造相似（位似）或利用特殊角的三角比关系（如ta45°=1即构造等 腰直角三角形；sin30°=1/2即构造含30°的Rt△的一半)。 类型5：动态几何问题中的三角比关系 1.典型情境：动点问题；折叠（翻折）的瞬间或特定位置下的角度关系。 2.解题关键： ①抓特殊位置或临界状态：问题常常要求动点在特定位置（如中点、端点、垂直处）时的情况。 ②分析不变量：在运动或折叠过程中，找到始终不变的线段或角度关系。 ③构造Rt△：无论点怎么动，求某个角的三角比，最终还是需要构造一个包含该角的Rt△（可能需要辅助 线)。 ④用变量关系表达设定关键变量（如某条动态线段的长度x),用x表示出Rt△中的相关边，再用三角比 定义式表示出目标比值，最终结果可能是一个关于x的表达式或者是一个常数。如果是求特定点，通常通 过方程求解特定值x对应的位置。 ⑤结合函数思想：最终目标比值可能是关于×的函数表达式。 压轴题的突破要点 1.稳扎稳打：掌握基础定义(sinA=BC/AC,不是所有边随便比：)、特殊角的值(30°、45°、60°必须烂熟 于心)、基本性质（互余角、sinA=cosB当A+B=90°）. 2勤动手：看到锐角三角比问题，立刻考虑是否需要构造Rt△！大胆做辅助线（尤其高线）。 3.找等量：多个Rt△+公共边公共关系=方程。这是解决绝大多数压轴题的核心钥匙： 4会画图：对应用题和复杂几何题，准确画图是理解题意、找到思路的前提。 5细审题弄懂每一个条件（明确哪个角？sin/cos/tan?涉及哪些线段？），警惕题月中隐含的等量关系（如 折叠的对称性、特殊角的隐含信息)。 6.重模型：熟悉常见模型（如“双测仪”测高模型）有助于快速识别解题思路。 2/100 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题 1.已知锐角A的正切值为号，那么《) A.sinA-cosA>0 B.tanA-cotA>0C.0°<∠A<30°D.30°<∠A<45° 【答案】D 【解析】解：an30=号tan45°=1， 30°<∠A<45°，故D正确，C错误； 设锐角A的对边为3a,邻边为2a,则斜边为/(W3a)2+(2a)2=V7a, Sin4-cosA三号-=2之0，故A不正确 7 、anA-cotA受石=哈之0故B不正确， 6 故选D. 2,如图，在观测站0处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方 向42海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是() 北 西 一东 南 5 600 A.(23+2)海里B.2V6海里 C.(3+1)海里 D.4海里 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一一方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的 关键，作BD⊥OC于D,则船A离灯塔B的最近距离是BD的长.作AE⊥OB于E.解直角△ABE,求出 AE=BE=号AB=4.解直角△A0B,求出0B=m0E=45,那么0B=0E+BE=43+4.再解直角 AE △B0D,得出BD=0B=23+2. 【解析】解：如图，作BD⊥OC于D,则船A离灯塔B的最近距离是BD的长.作AE⊥OB于E. 3/100 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 北 西一 一东 南 60° ∠BAD=90°-15°=75°，∠A0B=90°-60°=30°. 在直角△ABE中， ∠AEB=90°，∠ABE=∠BAD-∠A0B=75°-30°=45°， .∠ABE=∠BAE=45 ..AE BE AE2+BE2=AB2=(42)2,AB=4W2, .AE BE =4. 在直角△AOE中， ∠AE0=90°，∠A0E=30°， OF=-AE 4 tan240E=5=4V5. ·0B=0E+BE=4W3+4. 在直角△BOD中， ∠0DB=90°，∠BOD=30°， ÷BD=0B=23+2. 故选：A. 3,如图，矩形0ABC的顶点0(0,0)，AC=8,B0与x轴负半轴的夹角为60°，若矩形绕点O顺时针旋转，每 秒旋转60°，则第2025秒时，矩形的对角线交点D的坐标为() A.(-2,23) B.(-4,0) C.(4,0) D.(2,-23) 4/100 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】D 【解析】解：设D(m,n), 由题意可得：AC=OB=8,AD=CD,OD=BD, 0D=4, ~矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°， 6次一个循环，2025÷6=3373， 第2025秒B0与起始位置夹角为3×60°=180°， ~B0与x轴负半轴夹角为60°， ÷B0与x轴正半轴夹角为60°， =cos60,=sin60, m 解得m=2,n=-2y3, 因为点D在第四象限，故D(2,-2V3), 故选：D. 4,如图1，在等边△ABC中，点P以每秒1厘米的速度从点A出发，沿折线AB-BC运动，到点C停止.过 点P作PD⊥AC,垂足为D,PD的长度y(cm)与点P的运动时间的函数图象如图2所示，当点P运动5.5 秒时，PD的长是() B v(cm) 4 D x(秒) 图1 图2 A空 B.53 4 C.2V3 D.33 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、等边三角形的性质、三角函数的运用；熟练掌握等边三角形的 性质，并能进行推理计算是解决问题的关键 由题意和等边三角形的性质得出AB=BC=4cm,∠C=60°，再由三角函数即可求出PD的长， 【解析】解：根据题意得，AB=4×1=4(cm), ~△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=4cm,∠C=60°， 5/100 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当点P运动5.5秒时，如图所示： B D C 则BP=5.5-4=1.5(cm), ∴PC=BC-BP=2.5cm, PD=PC·sin60°=2.5x5=53 2 4(cm): 故选：B 5,如图所示为一张矩形纸片ABCD,E为AD的中点，点F在边BC上，把该纸片沿EF折叠，点A,B的对应 点分别为G,,GB与BC交于点O,HG的延长线过点C.若5-号则sn∠BCH的值是（) G H A日 7 C.25 D. 4 【答案】A 【解析】解：如图，连接CE, E D G H ~四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，点F在边BC上， ∠A=∠B=∠D=90°，AB=CD,AE=DE, 由折叠的性质得：HG=AB,GE=AE,HF=BF,∠H=∠B=90°，∠EGH=∠A=90°， .GE DE,HG=CD, HG的延长线过点C, ∠EGC=90°， 6/100 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△CGE和Rt△CDE中， (CE=CE GE=DE' Rt△CGE≌Rt△CDE(HL), ..CG=CD, .CG=HG, 又∠H=∠EGC=90°， ..0G WI HF, △COG-△CFH, CO CGCG CG 1 CH CG+HG-2CG=7 设C0=3a(a>0),则CF=6a, BF 2 c0=3 .BF 2a, ..HF 2a, HF 2a1 在Rt△CFH中，sin/BCH=CP=6a=3 故选：A, 6.己知直线！1‖L2Ⅱl3,且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45的直角三角板按图示放置，使 其三个顶点分别在三条平行线上，则sina的值是（) A.售 C.25 1 5 D.2 【答案】A 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形全等的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练运用相关 知识是解题的关键， 过点A作AD⊥L3于D,过点B作BE⊥l3于E,根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE,然后利用“角角边"证 明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AD,然后利用勾股定理列式求出BC,然后 利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解 【解析】解：过点A作AD⊥3于D,过点B作BE⊥L3于E,如图： 7/100 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E C 设l1,l2,l3间的距离为h, .BE =h,AD=2h AD Ll3,BE L l3, ÷∠ADC=∠BEC=90°， ∠CAD+∠ACD=90°， ∠BCE+∠ACD=90°， ·∠CAD=∠BCE, ~在等腰直角△ABC中，AC=BC, 在△ACD和△CBE中， LADC=∠BEC ∠CAD=LBCE, AC=BC △ACD≌△CBE(AAS), :.CE=AD=2h, 在Rt△BCE中，BC=VBE2+CE2=Vh2+(2h)2=5h, ∴.sina= 故选：A. 7.如图，直线4NIPQ,直线AB分别与MN、PQ相交于点A、B,MW与PQ之间的距离为8，sinzMAB=4小 明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点B为圆心，以任意长为半径作弧交AB于点C,交BQ于点D;②分 别以C、D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在LABQ内交于点E;③作射线BE交MN于点F.那么AF 的长是() A C PB D A.6 B.6.4 C.8 D.10 8/100 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】D 【解析】解：由基本作图知BF是∠ABQ的平分线， ∴∠ABF=∠QBF, MN II PQ, ·∠AFB=∠QBF, ·∠ABF=∠AFB ..AB=AF, 过点B作BH⊥MN于H,则BH=8, A F M- P /B :sin2MAB=6=专 BH 4 ∴.AB=10, AF=10. 故选：D, 8.我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”，设等腰△ABC的特征值是k, 下列命题中假命题是() A.如果k=二，那么△ABC是直角三角形 2 B.如果k=点，那么△ABC有一内角为30 C.如果△ABC是直角三角形，那么k= 2 D.如果△MBC有一内角为30P,那么k=号 【答案】D 【解析】解：A选项：当k=时，可设腰长为2，则底长为2， (2)2+(2)2=22, ·△ABC是直角三角形是直角三角形， 故 9/100 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A选项正确，不符合题意； B选项：如下图所示，过A作AD⊥BC于点D, A B D “=号 ·设AB=V3,则BC=3, AD⊥BC,且AB=AC, BD=8G- ..cosB =BD=5 AB 2 ∠B=30°， 故B选项正确，不符合题意； C选项：如下图所示，AB=AC,∠A=90°， ∠B=∠C=45°， ÷sin45°=42=2， AC 2 故C选项正确，不符合题意； D选项：当这个角底角为30时，由选项B可知，此时k= 当顶角为30时， 如下图所示，AB=AC,∠A=30°， 过C作CG⊥AB于点G, 10/100