专题06 第25章锐角的三角比（章末复习易错60题）（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第25章 锐角的三角比 章末复习易错60题 【易错要点归纳】 1.定义理解不透：正弦（sin） = ；余弦（cos） = ；正切（tan） = 易错点： 混淆邻边与斜边（如把cos记成邻边/对边）；忽略前提：必须在直角三角形中才能使用；.符号记忆混乱，如记错“正切是正余弦之比”（正确：tanα = sinα/cosα）。 2.特殊角混淆： 如sin30°=1/2（非），cos60°=1/2（非）；tan45°=1（非或）。 3.角度范围限制，仅适用于锐角 ：三角比定义限定在 0° < α < 90°。 易错点： 误用于直角（如sin90°无定义）；解题时忽略题目隐含的锐角条件（如三角形内角）。 4.求值计算错误，数值转换混淆，常见于同角（余角）之中： 互余角关系： sin(90°-α) = cosα ；cos(90°-α) = sinα，易错点：混淆互余与互补（如sin(90°-α) ≠ sinα）。 同角恒等式： sin²α + cos²α = 1 ；tanα = sinα / cosα，易错点：已知sinα求cosα时，漏掉开平方的正负号（锐角下只取正）。 5.特殊角数值遗忘：如混淆30°和60°的数值（如将sin60°误记为1/2）；忘记化简（常误写为1/3或）。 6.几何应用陷阱：①找错边角关系：在复杂图形中（如含高线、中线的三角形）；混淆不同直角三角形的边（如将△ABC的高当作△ABD的斜边）。 ②策略：明确目标角所在的直角三角形，标注三条边。 7.比例与函数值混淆，如如已知sinA=3/5，求tanA时：步骤：先由sinA=对边/斜边=3/5，设对边=3k，斜边=5k → 勾股定理求邻边=4k → tanA=3/4。 易错点：直接写tanA=3/5（混淆正切与正弦）；未设参数k导致比例错误。 8.俯角与仰角辨识： 俯角：视线向下与水平线夹角； 仰角：视线向上与水平线夹角。 易错点：画图时颠倒俯仰角位置（如将楼顶俯角误标为仰角）。 9.术语理解偏差：“坡度i=1:√3” → tanα=1/√3 → α=30°（非60°）：“方向角”以正北为基准，与象限结合时易混淆角度。 10.实战建议： 每道题先确定目标角所在的直角三角形；求值前先判断是否锐角；含参数的问题必验边角关系是否矛盾；特殊角以外的计算用字母k设比例防错。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一．单选题 1．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C三点都在格点上，（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．连接，先根据勾股定理可得三边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据正弦的定义即可得结论． 【解析】解：连接， ， ， ， ， 故选：C． 3．求满足下列条件的锐角α． (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： 锐角 （2）解： 4．下列命题是真命题的有（    ） ①三角形中一个角的对边与邻边的比叫做这个角的余弦；②相似三角形的面积之比等于相似比；③两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；④等角的同名三角函数值相等 A．②③ B．①④ C．①② D．③④ 【答案】D 【解析】解：①在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个角的余弦，原命题是假命题； ②相似三角形的面积之比等于相似比的平方，原命题是假命题； ③两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，是真命题； ④等角的同名三角函数值相等，是真命题．故选：D． 5．如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，到达点D位置，过点D作交于点H，， 则， ∴， ∴， 则小球下降的高度是， 故选：A． 6．如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：过点C作轴于D， ∵点， ∴菱形的边长为6， ∵在菱形中，， ∴， 在中，，， 则， ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为，故选：D． 7．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， 设， ∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选A． 8．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又 ， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 9．如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵点为等边的边的中点， ，，， 在中，， ， ∵绕点逆时针旋转后得到， ， 故选：． 10．如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，延长交于， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米， 延长交于，过作于，交于， ∵， ∴， 在中，米，， ∴米，（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， 故选：． 11．如图，在中，， D， E分别为边上一点，且满足．连接，将沿翻折，点B的对应点F 恰好落在边上，则的长度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】解：如图，过作于 ，，， 同理： 由对折可得： 故选：A 12．规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，向量可以用点P的坐标表示为：，已知如果，那么互相垂直，下列四组向量，不互相垂直的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A.∵， ∴该选项两个向量互相垂直； B. ， ∴该选项两个向量互相垂直； C. ， ∴该选项两个向量互相垂直； D. ∵， ∴该选项两个向量不是互相垂直； 故选：D． 13．小明对正方形展开了研究，他得出的结论中，正确的有（   ）个 探究正方形内和正方形边上的特殊点 结论1 在正方形内部有一点P，使得，连接，那么的面积可以表示为． 结论2 在正方形内部有一点P，使得，，那么． 结论3 在正方形的边、上分别有两点M、N，若，，那么． 结论4 在正方形的边、上分别有两点M、N，若和对角线平行，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】解：作于， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，，即， ， ， ， ， ， 故A正确； ， 在线段的垂直平分线上， ， 在线段的垂直平分线上，即点在经过、中点的直线上， 如图所示， ，当时，是等边三角形，此时，那么，B 选项不正确； 连接，作于， ，，正方形中，，， ，， ，， 设， 则，， ，， 在中，， 在中，， ， ， 即， ， ， ， 那么．C选项正确； ， ， ， ， ，D选项正确， 故答案为：C． 14．在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解析】解：由题意得：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴铜像的高度是； 故选：C． 15．如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】解：由作图可得，， ∴垂直平分，故②正确． ∵，， ∴平分，故③正确． 由作图可得， ∴， ∴，故⑤正确． ∵，但无法判断， ∴无法得到是等边三角形，故①错误． ∵，，但无法得到， ∴无法证明四边形是菱形，故④错误． 综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个． 故选：B 16．如图，在中，．四边形是边长分别为、b、c的正方形．点D在边上，点F、H、L在边上，点E、J、M在边上．那么a、b、c之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意知，， ， 四边形是边长分别为、b、c的正方形． ， 由锐角三角函数知：， 即， ， 整理得到：， 故选：B． 二．填空题 17．在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 【答案】/ 【解析】解：如图，作轴于点M，， 根据勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 18．已知为锐角，，那么 度． 【答案】20 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：20． 19．在中，，，， 【答案】2 【解析】解：过点C作于D． ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：2． 20．顺次连接正六边形各边中点得到的六边形面积与原六边形面积的比值为 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，为等边三角形， 设原正六边形的边长为a，则，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴新正六边形的边长为， ∴新正六边形面积与原六边形面积的比值为， 故答案为：． 21．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为 ．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】89 【解析】解：作于H，作地面于P， 由题知，，，， ∴， ∴坐垫C离地面高度约为， 故答案为：89． 22．如图，在正方形中，点分别在边上．连接，若，则的正切值为 ． 【答案】 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，如图所示，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴， ∴，在中，，故答案为： ． 23．如图，在矩形中，E，F是边上两点，且，连接，，与相交于点G，连接．若，，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：过作，为垂足， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 同理可求：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 24．已知在中，，点是BC边上一点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，如果，那么点到直线的距离是 ． 【答案】或 【解析】 由题知：，， ∴， ∴， 又∵， ，， 以点为圆心，为半径画圆于交于，过作于，即， ∴，， ，， 设，则 ，即， ∴， 在中，，即， 解得：， 或． 故答案为：或． 25．如图，将宽均为1的两张矩形纸片，交叉放置，形成的锐角为，那么重叠部分（阴影部分）的周长是 ．（结果用含的三角比的代数式表示） 【答案】 【解析】解：当两个宽度均为1的矩形交叉形成锐角时，重叠部分为菱形． 菱形的边长由矩形宽度在垂直方向上的投影决定． 由于每个矩形的宽度为1，且两矩形夹角为，菱形的高为1， ∴菱形的边长为：， 因此，菱形的周长为，故答案为∶． 26．如图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具---“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．如果分米，分米，，那么点C到水平线l的距离为 分米． 【答案】 【解析】解：延长，交直线l于点G， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 设（分米），则（分米）， （分米）， ， 在中，， ， 解得（分米）， （分米）．故答案为：． 27．如图，在四边形中，，．以点C为圆心，长为半径画弧，交边的延长线于点E．过点B作的平行线，交线段的延长线于点F．如果，，那么线段的长度是 ．    【答案】2 【解析】解：如图，分别延长，交于M，过D作于H；    ∵，， ∴四边形为平行四边形，四边形为矩形，则，， ∵， ∴， ∵， ∴，，则 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，则． 故答案为：2． 28．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论： 可以由绕点逆时针旋转得到； 点与的距离为； ； 四边形的面积为；其中正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【解析】解：如图，连接； 为等边三角形， ，； 由题意得：，， 为等边三角形，， ，选项错误； 在与中， ， ， ， 可以由绕点逆时针方向旋转得到，选项正确； 在中，， 为直角三角形， ，，选项正确； ，选项正确． 综上所述，正确选项为 ， 故答案为：①③④． 29．如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 设，因为四边形是正方形，点E是边的中点，所以，， 由翻折得，，可证明，由勾股定理得， 求得，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解析】解：由题意可得如图所示： 设， ∵四边形是正方形，点E是边的中点， ∴，，， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 三．解答题 30．计算： 【答案】 【解析】解： ． 31．计算： 【答案】 【解析】解： ． 32．计算：． 【答案】0 【解析】解：原式 ． 33．计算：． 【答案】 【解析】解： 34．计算：. 【答案】 【解析】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 35．计算：． 【答案】 【解析】解： ． 36．计算： 【答案】 【解析】解： ． 37．中，，，点在上，，，求的长．    【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 38．在中，和所对的边长分别为．若，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【解析】解：在中，， ． 又， ， ， ， ． ，即， 解得， 则， ． 39．如图，在中，，点在边上，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：， ， 又， ． 又， ， ． ，， ． （2）过点作的垂线，垂足为，      ， ， ． 在中，， ． 40．如图，在电线杆上的C处引拉线和固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为．已知测角仪的高为米，拉线的长为6米，求测角仪底端（点B）与拉线固定点（E）之间的距离． 【答案】米 【解析】解：如图： 过A作垂直于，垂足为点， 则米，米，， ， ， ， ， （米）， （米）， 米， 利用勾股定理得（米）， （米）． 答：测角仪底端（点B）与拉线固定点（E）之间的距离是米． 41．如图，在中，，D是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)9 【解析】（1）证明：， ． ， ， ． 又， 四边形是平行四边形， ． （2）解：， ． ，， ． ， ， ． 设，则． ， ， 解得， ． 42．周末，小明携带一台航拍无人机前往闵行体育公园内的锦绣湖畔进行测量作业，已知，无人机从E点竖直上升150米后到达C处（如图所示），此时测得沁雅轩A的俯角为，之后，无人机水平飞行了6秒到达D点，又测得莲亭B的俯角为，若点A、B、C、D、E均位于同一铅垂平面内，且无人机飞行速度为20米/秒，求沁雅轩与莲亭之间的距离．（结果保留根号） 【答案】沁雅轩与莲亭之间的距离为米． 【解析】解：过D作于点E， 由题意知，四边形是矩形，，米， (米)， ∵， ∴(米)， ∴(米)， ∵， ∴(米)， ∴(米)， 答：沁雅轩与莲亭之间的距离为米． 43．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 【答案】约 【解析】解：∵， ∴， ∴． 如图，过D点作与平行，交于点G， , 四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴ ∴， 答：的高度约为． 44．在中，，、、分别是、、的对边，解下列直角三角形： (1)，； (2)，． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】（1）可求，设，则，即可求解； （2）由，可求，，即可求解． 【解析】（1）解：，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ，，． （2）解： ， ， ， 解得：； 在中，， ， ， ． 45．如图，在中，，，垂足为点Q．    (1)． (2)______，______．（用正切或余切表示） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：由题意得： ； 故答案为； （2）解：由题意得： ，；故答案为 46．如图是某型号的挂壁式电风扇，图2为简化结构图，已知底座的厚度长为3cm．支撑臂折线和保持平行， 与基座 成 夹角．支撑臂的拐点 E 与的水平距离为cm，边 与地面平行是长6cm，扇面 与地面成 夹角，长为 cm，与地面垂直． (1)求支撑臂的一段 的长； (2)图2经过一番改造优化后，在题干条件不变的前提下，将扇面 平移，使 求点 K到墙壁的水平距离（参考数据： 结果保留整数） 【答案】(1)cm (2)cm 【解析】（1）解：作，如图所示： 由题意得：， cm， ∵ ∴cm （2）解：作，如图所示： 由题意得：，四边形是矩形 ∵ ，cm ∴cm ∴cm ∵cm ∴点应在点的右侧 ∴cm，cm ∴点 K到墙壁的水平距离为：cm 47．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米 (2)货物需要搬走，理由见解析 【解析】（1）解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； （2）解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 48．如图，是三角形湖，湖边建有健身跑道，B在A的正东方向上，M在A的东北方向与B的北偏西的交点处，在上距离A处300米的地方有公厕C，且M在公厕C的北偏东． （参考数据：，，） (1)求的距离（结果精确到1米）； (2)兴华和旺旺练习跑步，他们分别从C出发，兴华以6米/秒的速度沿到达M，旺旺以米/秒的速度沿到达M，请问谁先到达，请说明理由． 【答案】(1)581米 (2)兴华先到达，理由见解析 【解析】（1）解：过C作于N， 由题意可得：，， 在中，， ∴， 又∵， 在中，， ∴， ∴（米） 答：的距离略为581米； （2）过M作于H， 在中， ， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴兴华所用时间：（秒）， 旺旺所用时间：（秒） ∵． ∴兴华先到达． 49．如图，海中有一小岛，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 【解析】（1）解：如图所示，过点作于点， 由题意得，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴海里， ∵中，， ∴， 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 50．图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． (1)求闸机通道的宽度，即与之间的距离； (2)若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 【答案】(1) (2)72.8cm 【解析】（1）如图, 连接，并向两边延长，分别交，于点M， N， 由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，， ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中，，，， ， ∴， ∴， ∴与之间的距离约为． （2）如图，过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H， ∴可得， 在中，，，， ， ∴， ∵点B，E到地面的距离均为20cm， ∴， ∴． 答: 点A到地面的距离约为 72.8cm． 51．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在A、B两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板所成的角度为．（参考数据：）    (1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差． (2)求这段细绳的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，进而得出答案； （2）根据题意得出，进而得出的长，进而得出答案. 【解析】（1）解：连接交于点, 可知,    由题意可得则 故之间的高度差为； （2）由 知, 的高度差也是, 故, 解得： 则 答: 这段细绳的长度为. 52．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）    (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到） （参考数据：） 【答案】(1)登山缆车上升的高度； (2)从山底A处到达山顶处大约需要. 【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可； （2）在中，求得的长，再计算得出答案． 【解析】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∴， 答：登山缆车上升的高度； （2）解：在中，，， ∴， ∴从山底A处到达山顶处大约需要： ， 答：从山底A处到达山顶处大约需要. 53．如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【解析】（1）解：在中，， ， 在中，， ， 又， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 54．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米． (1)求水平平台DE的长度 (2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比． （参考数据：取sin370.60，cos370.80，tan370.75） 【答案】(1)1.8米 (2)5：4 【解析】（1）解：延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G， 由题意得：AD∥EF， ∴∠A＝∠EFG＝37°， ∵DE∥AF， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴AD＝EF，DE＝AF， 在Rt△BCF中，BC＝5.4米， ∴BF＝≈＝7.2（米）， ∵AB＝9米， ∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米）， ∴水平平台DE的长度约为1.8米； （2）由题意得： MN＝EG＝3米， 在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米）， ∴AD＝EF＝5米， 在Rt△BCF中，BC＝5.4米， ∴CF＝＝＝9（米）， ∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米）， ∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4． 55．如图，已知在平行四边形中，过点D作，垂足为点E，． (1)求平行四边形的面积； (2)连接，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵， ∴． 在中，． 又， ∴． 在中，， ∴ ∴． （2）过E作，与的延长线交于点F． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，，又， ∴． 在中，． 在中，． 56．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． (1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长． (2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 【答案】(1)15m (2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析 【解析】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m， ∴AB==15（m）， ∴此时云梯AB的长为15m； （2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处， 理由：由题意得： DE=BC=2m， ∵AE=19m， ∴AD=AE-DE=19-2=17（m）， 在Rt△ABD中，BD=9m， ∴AB= （m）， ∵m＜20m， ∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处． 57．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E． (1)求证：； (2)当∠QED等于60°时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：在正方形ABCD中， ∠CAD=∠BDC=45°，BD⊥AC， ∴∠BOC=90°， ∴∠OBP+∠OPB=90°， ∵， ∴∠BPQ=90°， ∴∠OPE+∠OPB=90°， ∴∠OBP=∠OPE， ∴； （2）解：设OE=a， 在正方形ABCD中，∠POE=90°，OA=OB=OD， ∵∠QED等于60°， ∴∠BEP=60°， 在 中， ，， ∵，∠BEP=60°， ∴∠PBE=30°， ∴， ， ∴OA=OB=BE-OE=3a， ∴BD=2OB=6a， ∴ ， ∵，∴． 58．如图, 某种路灯灯柱 垂直于地面, 与灯杆 相连. 已知直线 与直线 的夹角是 . 在地面点 处测得点 的仰角是, 点 仰角是 , 点 与点 之间的距离为 米． 求：（1）点 到地面的距离； （2） 的长度．（精确到 米） （参考数据: ） 【答案】（1）2.8米；（2）AB的长度为0.6米 【解析】解：（1）过点A作交于点F， 则， 在中，（米）， 即点A到地面的距离为2.8米； （2）过点A作交于点H， 在四边形AFCH中，， ∴四边形AFCH是矩形， ∴，， 设BC=x，则米， ∵，， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴米， ∵在中，， ∴， ∴ ， ∴（米）， ∵， ∴（米）． 59．已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过A作于D，则， 设， ∵轴， ∴，， ∴， 解得，经检验，符合所列方程， 故点C坐标为； （3）解：∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 将代入中，得，则， ∴， 又，， ∴， ∴． 60．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【解析】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 锐角的三角比 章末复习易错60题 【易错要点归纳】 1.定义理解不透：正弦（sin） = ；余弦（cos） = ；正切（tan） = 易错点： 混淆邻边与斜边（如把cos记成邻边/对边）；忽略前提：必须在直角三角形中才能使用；.符号记忆混乱，如记错“正切是正余弦之比”（正确：tanα = sinα/cosα）。 2.特殊角混淆： 如sin30°=1/2（非），cos60°=1/2（非）；tan45°=1（非或）。 3.角度范围限制，仅适用于锐角 ：三角比定义限定在 0° < α < 90°。 易错点： 误用于直角（如sin90°无定义）；解题时忽略题目隐含的锐角条件（如三角形内角）。 4.求值计算错误，数值转换混淆，常见于同角（余角）之中： 互余角关系： sin(90°-α) = cosα ；cos(90°-α) = sinα，易错点：混淆互余与互补（如sin(90°-α) ≠ sinα）。 同角恒等式： sin²α + cos²α = 1 ；tanα = sinα / cosα，易错点：已知sinα求cosα时，漏掉开平方的正负号（锐角下只取正）。 5.特殊角数值遗忘：如混淆30°和60°的数值（如将sin60°误记为1/2）；忘记化简（常误写为1/3或）。 6.几何应用陷阱：①找错边角关系：在复杂图形中（如含高线、中线的三角形）；混淆不同直角三角形的边（如将△ABC的高当作△ABD的斜边）。 ②策略：明确目标角所在的直角三角形，标注三条边。 7.比例与函数值混淆，如如已知sinA=3/5，求tanA时：步骤：先由sinA=对边/斜边=3/5，设对边=3k，斜边=5k → 勾股定理求邻边=4k → tanA=3/4。 易错点：直接写tanA=3/5（混淆正切与正弦）；未设参数k导致比例错误。 8.俯角与仰角辨识： 俯角：视线向下与水平线夹角； 仰角：视线向上与水平线夹角。 易错点：画图时颠倒俯仰角位置（如将楼顶俯角误标为仰角）。 9.术语理解偏差：“坡度i=1:√3” → tanα=1/√3 → α=30°（非60°）：“方向角”以正北为基准，与象限结合时易混淆角度。 10.实战建议： 每道题先确定目标角所在的直角三角形；求值前先判断是否锐角；含参数的问题必验边角关系是否矛盾；特殊角以外的计算用字母k设比例防错。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一．单选题 1．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C三点都在格点上，（   ） A．2 B． C． D． 3．求满足下列条件的锐角α． (1) ； (2) ． 4．下列命题是真命题的有（    ） ①三角形中一个角的对边与邻边的比叫做这个角的余弦；②相似三角形的面积之比等于相似比；③两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；④等角的同名三角函数值相等 A．②③ B．①④ C．①② D．③④ 5．如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 9．如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 11．如图，在中，， D， E分别为边上一点，且满足．连接，将沿翻折，点B的对应点F 恰好落在边上，则的长度为（    ） A． B． C． D．3 12．规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，向量可以用点P的坐标表示为：，已知如果，那么互相垂直，下列四组向量，不互相垂直的是（   ） A． B． C． D． 13．小明对正方形展开了研究，他得出的结论中，正确的有（   ）个 探究正方形内和正方形边上的特殊点 结论1 在正方形内部有一点P，使得，连接，那么的面积可以表示为． 结论2 在正方形内部有一点P，使得，，那么． 结论3 在正方形的边、上分别有两点M、N，若，，那么． 结论4 在正方形的边、上分别有两点M、N，若和对角线平行，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 14．在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 15．如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 16．如图，在中，．四边形是边长分别为、b、c的正方形．点D在边上，点F、H、L在边上，点E、J、M在边上．那么a、b、c之间的关系是（   ） A． B． C． D． 二．填空题 17．在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 18．已知为锐角，，那么 度． 19．在中，，，， 20．顺次连接正六边形各边中点得到的六边形面积与原六边形面积的比值为 ． 21．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为 ．（结果精确到，参考数据：，，） 22．如图，在正方形中，点分别在边上．连接，若，则的正切值为 ． 23．如图，在矩形中，E，F是边上两点，且，连接，，与相交于点G，连接．若，，则的值为 ． 24．已知在中，，点是BC边上一点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，如果，那么点到直线的距离是 ． 25．如图，将宽均为1的两张矩形纸片，交叉放置，形成的锐角为，那么重叠部分（阴影部分）的周长是 ．（结果用含的三角比的代数式表示） 26．如图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具---“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．如果分米，分米，，那么点C到水平线l的距离为 分米． 27．如图，在四边形中，，．以点C为圆心，长为半径画弧，交边的延长线于点E．过点B作的平行线，交线段的延长线于点F．如果，，那么线段的长度是 ．    28．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论： 可以由绕点逆时针旋转得到； 点与的距离为； ； 四边形的面积为；其中正确的结论是 ． 29．如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是 ． 三．解答题 30．计算： 31． 计算： 32． 计算：． 33． 计算：． 34． 计算：. 35． 计算：． 36． 计算： 37．中，，，点在上，，，求的长．    37． 在中，和所对的边长分别为．若，解这个直角三角形． 39．如图，在中，，点在边上，，．    (1)求的长； (2)求的值． 40．如图，在电线杆上的C处引拉线和固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为．已知测角仪的高为米，拉线的长为6米，求测角仪底端（点B）与拉线固定点（E）之间的距离． 41．如图，在中，，D是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 42．周末，小明携带一台航拍无人机前往闵行体育公园内的锦绣湖畔进行测量作业，已知，无人机从E点竖直上升150米后到达C处（如图所示），此时测得沁雅轩A的俯角为，之后，无人机水平飞行了6秒到达D点，又测得莲亭B的俯角为，若点A、B、C、D、E均位于同一铅垂平面内，且无人机飞行速度为20米/秒，求沁雅轩与莲亭之间的距离．（结果保留根号） 43．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 44．在中，，、、分别是、、的对边，解下列直角三角形： (1)，； (2)，． 45．如图，在中，，，垂足为点Q．    (1)． (2)______，______．（用正切或余切表示） 46．如图是某型号的挂壁式电风扇，图2为简化结构图，已知底座的厚度长为3cm．支撑臂折线和保持平行， 与基座 成 夹角．支撑臂的拐点 E 与的水平距离为cm，边 与地面平行是长6cm，扇面 与地面成 夹角，长为 cm，与地面垂直． (1)求支撑臂的一段 的长； (2)图2经过一番改造优化后，在题干条件不变的前提下，将扇面 平移，使 求点 K到墙壁的水平距离（参考数据： 结果保留整数） 47．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 48．如图，是三角形湖，湖边建有健身跑道，B在A的正东方向上，M在A的东北方向与B的北偏西的交点处，在上距离A处300米的地方有公厕C，且M在公厕C的北偏东． （参考数据：，，） (1)求的距离（结果精确到1米）； (2)兴华和旺旺练习跑步，他们分别从C出发，兴华以6米/秒的速度沿到达M，旺旺以米/秒的速度沿到达M，请问谁先到达，请说明理由． 49．如图，海中有一小岛，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 50．图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． (1)求闸机通道的宽度，即与之间的距离； (2)若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 51．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在A、B两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板所成的角度为．（参考数据：）    (1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差． (2)求这段细绳的长度． 52．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）    (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到） （参考数据：） 53．如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 54．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米． (1)求水平平台DE的长度 (2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比． （参考数据：取sin370.60，cos370.80，tan370.75） 55．如图，已知在平行四边形中，过点D作，垂足为点E，． (1)求平行四边形的面积； (2)连接，求的值． 56．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． (1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长． (2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 57．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E． (1)求证：； (2)当∠QED等于60°时，求的值． 58．如图, 某种路灯灯柱 垂直于地面, 与灯杆 相连. 已知直线 与直线 的夹角是 . 在地面点 处测得点 的仰角是, 点 仰角是 , 点 与点 之间的距离为 米． 求：（1）点 到地面的距离； （2） 的长度．（精确到 米） （参考数据: ） 59．已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 60．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $