精品解析：四川省内江市威远中学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

威远中学校2028届高一上期第一次月考 数学试题 一､单选题（本题共计8个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题5分，共计40分） 1. 给出下列关系：①；②；③；④，其中错误的个数是（   ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若A=B，则a=（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或 5. 已知，下列不等式中一定成立是（  ） A. B. C. D. 6. 设集合，则集合A的真子集个数为（ ） A. 7个 B. 8个 C. 16个 D. 15个 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个． A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 二､多选题（本题共计3个小题，每小题6分，共计18分） 9. 下列关系式正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为5 B. 的最大值为 C. 已知，则的最小值为3 D. 若正数满足，则的最小值是4 三､填空题（本题共计3个小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知集合，若，则________． 13. 已知，则的取值范围是______. 14. 已知或，，若，则m的取值范围是______. 四､解答题（本题共计5个小题，共计77分） 15. 设全集为，集合，．求，，. 16. 已知集合，非空集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 17. 命题：关于的方程有两个相异负根；命题，使得成立 （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为； 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为. （其中，，且） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若同时满足，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值花费较小值）. 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2028届高一上期第一次月考 数学试题 一､单选题（本题共计8个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题5分，共计40分） 1. 给出下列关系：①；②；③；④，其中错误的个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次判断出各数所属的数集，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于①：，所以①错误； 对于②：，所以②错误； 对于③：因为是无理数，即，所以③错误； 对于④：因为，所以④正确； 综上所述：错误的个数是3. 故选：C. 2. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题，为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：C 3. 全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答. 【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为，而全集，集合，， 所以. 故选：C 4. 已知，若A=B，则a=（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等及集合元素的互异性进行求解. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：B. 5. 已知，下列不等式中一定成立是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断； 【详解】对A：当时不成立，故A错误； 对B：当时不成立，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，则，即成立，故D正确. 故选：D. 6. 设集合，则集合A的真子集个数为（ ） A. 7个 B. 8个 C. 16个 D. 15个 【答案】D 【解析】 【分析】列举出集合A的所有元素，由n元集合的真子集个数为可得. 【详解】由和可得， 所以集合A的真子集个数为个. 故选：D 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出的解集，进而判断出“”是“”的什么条件. 【详解】由，解得：或， 所以“”不是“”的充分条件；若，则，此时， 所以“”是“”的必要条件，所以 “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个． A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 二､多选题（本题共计3个小题，每小题6分，共计18分） 9. 下列关系式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据任何集合是它本身的子集，即可判断A；根据集合和空集的定义，即可判断B；根据元素和集合间的关系，即可判断C；根据空集是任何集合的子集，即可判断D，从而得出答案. 【详解】解：对于选项A，由于任何集合是它本身的子集，所以，故A正确； 对于选项B，是指元素为0的集合，而表示空集，是指不含任何元素的集合， 所以，故B错误； 对于选项C，是指元素为0的集合，所以，故C正确； 对于选项D，由于空集是任何集合的子集，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的解集，即可判断A项；根据三个二次之间的关系，结合韦达定理可得出，进而代入不等式，化简、求解不等式，即可判断B、C、D项. 【详解】对于A项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，故A项正确； 对于B项，由已知可得，3、4即为的两个解. 由韦达定理可得，，解得， 代入可得. 又，所以，所以解集为，故B项错误； 对于C项，由B知，，，， 代入不等式可得， 化简可得， 解得， 所以，不等式的解集为，故C项错误； 对于D项，由已知可得，当时，有，故D项正确. 故选：AD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为5 B. 的最大值为 C. 已知，则的最小值为3 D. 若正数满足，则的最小值是4 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例即可；对于BCD，根据基本不等式求解判断即可. 【详解】对于选项A：取 ，则 ，故A错误； 对于选项B：由，解得， 则，当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，故B正确； 对于选项C：由  ， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：由  ，，得  ，， 则， 当且仅当  ，即 时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题（本题共计3个小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知集合，若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系列出方程组，求解并验证即得参数值. 【详解】由可得或，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，满足，符合题意. 故答案为：3. 13. 已知，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，又，所以. 故答案为：. 14. 已知或，，若，则m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 四､解答题（本题共计5个小题，共计77分） 15. 设全集为，集合，．求，，. 【答案】，, 【解析】 【分析】根据集合间运算的定义分别可得解. 【详解】由已知，， 则，， 或， 所以. 16. 已知集合，非空集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别求出集合A、B，然后根据补集、并集的运算即可得出答案； （2）由题意知B⫋A，据此列出不等式组求出m的范围即可. 【小问1详解】 ∵，， 当，，所以. 【小问2详解】 因为““是“”的必要不充分条件，所以B⫋A， 因为，所以，即. 因为B⫋A，所以，解得， 故的取值范围为. 17. 命题：关于的方程有两个相异负根；命题，使得成立 （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为，使得，即可求得结果； （2）由（1）可知为真时的范围；由一元二次方程根的分布可求得为真时的范围；根据两个命题一真一假可分类讨论得到结果. 【小问1详解】 因为命题为真， 即，使得， 所以，即实数的取值范围； 【小问2详解】 若为真命题， 需满足 ，解得， 若真假，，解得， 若假真，，解得， 则实数的取值范围是. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为； 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为. （其中，，且） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若同时满足，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值花费较小值）. 【答案】（1）购买方案二花费更少，理由如下： 由题意知：，， ， ，，，， ，即，购买方案二花费更少. （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得结论； （2）由（1）可得，结合基本不等式可求得最小值. 【小问1详解】 购买方案二花费更少，理由略； 【小问2详解】 由（1）得：； ，（当且仅当，即时取等号）； ，（当且仅当，即时取等号）； 差值的最小值为（当且仅当，，，时取最小值）. 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【小问1详解】 不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. 【小问3详解】 由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $