精品解析：江西省高安市2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试题

2023—2024学年度初三数学第一次随堂练 考试范围：21.1-22.1.2；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程根的情况（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 3. 将二次函数配方成的形式，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 5. 若是一元二次方程的两个根，则（ ） A. 4 B. C. 7 D. 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 8. 设、是一元二次方程的两个根，则______． 9. 某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同、设平均每次降价的百分率是x，可列方程为_____________________． 10. 在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． 11. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系，用“”连接：______． 12. 已知二次函数的图象如图所示，，对称轴为，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为______． 三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 抛物线过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 15. 如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． （1）若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； （2）矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 16. 已知抛物线的图像如图，且点，点是图像上两点． （1）写出抛物线的对称轴； （2）请你仅用无刻度的直尺画出抛物线的对称轴． 17. 二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （2）根据图象，当时，求y的取值范围． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ （3）当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 20. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若， 求二次函数的表达式； 求的值． （2）若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向． 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）利用换元法解方程得到方程的解为______． （2）若，求的值． （3）利用换元法解方程：． 22. 已知，如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． （1）求此函数的解析式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）在对称轴上找一点，使的周长最小，求出点坐标． 六、解答题（本大题共1小题，每题12分，共12分） 23. 请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ． （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度初三数学第一次随堂练 考试范围：21.1-22.1.2；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义即可得出答案，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，故该选项符合题意； C、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 关于的一元二次方程根的情况（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．根据方程的系数与根的判别式，得到，再由根的判别式的意义判断方程根的情况，即可解答． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选C． 3. 将二次函数配方成的形式，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．利用配方法即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 5. 若是一元二次方程的两个根，则（ ） A. 4 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系求出，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据左加右减，上加下减的平移规律即可得到答案． 【详解】解：抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到新的抛物线解析式为． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义．直接根据一元二次方程的定义可得，根据根的判别式得出，计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得， 故答案为：且． 8. 设、是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的解的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；根据一元二次方程的解的定义可得，代入所求式子，再结合一元二次方程根与系数的关系即可得解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ， ， 故答案为：3． 9. 某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同、设平均每次降价的百分率是x，可列方程为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的(1一x)，第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程即可． 【详解】根据意义可列方程： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为当，时，，所以将，代入解析式得，化简求得，进而对称轴可求，题目可解． 【详解】解：对于，，有， ， ， ， 对称轴为， ． 故答案为：1． 11. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系，用“”连接：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，函数有最大值， ∵关于对称点为，， ∴． 故答案为：． 12. 已知二次函数的图象如图所示，，对称轴为，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上可得，，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据当时，即可判断②错误；根据时的函数值与时的函数值相等可得当时，，由此即可判断③正确；求出当时，取得最大值，最大值为，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，则结论②错误； 由函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等， ∴当时，，则结论③正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∵当时，， ∴当时，， ∴，则结论④正确； 综上，正确结论的序号为①③④， 故答案为：①③④ 三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）直接利用求根公式法求解即可； （2）将方程的右边的代数式移项至左边，再将方程的左边进行因式分解，将原方程转化为两个一元一次方程，求解即可； 解题的关键是掌握解一元二次方程的方法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）并能根据具体情况选择合适的方法求解． 【小问1详解】 解：， 此时，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 14. 抛物线过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】本题考查二次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键， （1）设抛物线解析式为：，利用待定系数法将，，三点代入即可求得函数解析式； （2）将化成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标及对称轴． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为：， ∵抛物线过，，三点 ∴ 解得： ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 15. 如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． （1）若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； （2）矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 【答案】（1）栅栏的长为米 （2）矩形围栏面积存在最大值，的长为米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）先表示出的长，再根据矩形围栏面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）设矩形围栏面积为，首先得到，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设栅栏长为米， 米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为米； 【小问2详解】 解：矩形围栏面积存在最大面积；理由如下： 设矩形围栏面积为， 根据题意得，， ， ， ， 当时，即米时，有最大值． 16. 已知抛物线的图像如图，且点，点是图像上两点． （1）写出抛物线的对称轴； （2）请你仅用无刻度的直尺画出抛物线的对称轴． 【答案】（1）直线 （2） 直线为抛物线的对称轴，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象与性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键， （1）根据点，点的纵坐标相同，可得与轴平行，从而得到两点横坐标的中点即为抛物线的对称轴； （2）设抛物线与轴的两交点为，延长相交于点，连接交于点，连接，即直线为抛物线的对称轴． 【小问1详解】 解：∵，，即与轴平行， ∴， ∴抛物线的对称轴为：． 【小问2详解】 略 17. 二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （2）根据图象，当时，求y的取值范围． 【答案】（1） 该二次函数的图象如图所示： ； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和二次函数的取值范围： （1）待定系数法求出二次函数解析式，然后列表，描点，连线，即可得到图象； （2）从图象观察在之间图象的最低点函数值和最高点函数值，由此可得y的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 【小问2详解】 由图可知，当时，． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ （3）当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 【答案】（1）A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为15元 （2）8元 （3）实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 【解析】 【分析】（1）设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． （3）设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，销售额为y元，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为元． 【小问2详解】 解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件， 根据题意，得， 整理得， 解得， 根据尽可能让顾客得到实惠，，保留，舍去， 故B系列产品的实际售价应定为每件元． 【小问3详解】 解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，销售额为y元，根据题意，得， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且时，y取得最大值，且最大值为1000元． 故实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 20. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若， 求二次函数的表达式； 求的值． （2）若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向． 【答案】（1）①；②3 （2）开口向下 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②将a、b值代入中求解即可； （2）根据表格数据得到对称轴为直线，进而可得是顶点，和关于对称轴对称，则，根据二次函数的图象特征求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意得， 解得， ∴二次函数的表达式是； ②∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵和时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴是顶点，和关于对称轴对称，则， 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下， 即该二次函数图象的开口向下． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）利用换元法解方程得到方程的解为______． （2）若，求的值． （3）利用换元法解方程：． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，； （2）设，代入得到． 解得，，根据，得到； （3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得． 【小问1详解】 设，则， 于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，， 移项得：， ∵， ∴此方程无解， 当时，， 解得，； 故答案为：，； 【小问2详解】 设，则该方程变为． 解得：，． ∵ ∴，即 【小问3详解】 设，则， 原方程变形为：， 去分母，得， 即 解得，． 经检验，是分式方程的根． ∴ 即 解得：，． 经检验，是分式方程的根． ∴原分式方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根． 22. 已知，如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． （1）求此函数的解析式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）在对称轴上找一点，使的周长最小，求出点坐标． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； ∵，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把解析式化为顶点式求出点D的坐标，则可证明，据此可得结论； （3）连接，可证明当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出直线解析式，即可求出此时点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵，且点A在x轴负半轴，点C在y轴负半轴， ∴， 把点A和点B的坐标代入抛物线解析式中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵的长为定值， ∴当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为． 六、解答题（本大题共1小题，每题12分，共12分） 23. 请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ． （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）它的根分别是已知方程根的相反数，因此所求方程的根为y，则y=-x，将x=-y代入方程就可得到所求的方程.（2）设所求方程的根为y，可得到x= ， 将其代入方程，就可得到a+by+cy2=0，再分情况讨论：当c=0和x≠0，即可求解.（3）设所求方程的根为y，由已知可得到y=x2 ， 由此可得到x= ， 分别将x的值代入方程，就可得到所求的方程. 【详解】（1）设所求方程的根为 ，则 ， 所以． 把代入已知方程，得， ， 化简，得 ， 故所求方程为； （2）设所求方程的根为，则，于是 ， 把代入方程，得 ， 去分母，得 ， 若，有， 于是方程有一个根为0，不符合题意， ， 故所求方程为 ； （3）设所求方程的根为，则， 所以 ， ①当时，把代入已知方程，得 ，即； ②当时，把代入已知方程，得 ，即 ∴所求方程为或. 【点睛】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用方程根的代换求新方程的方法，并应用“换根法”解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $