精品解析：广东省清远市南阳中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

南阳中学2025—2026学年第一学期第1次月考 高二级数学科试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 2. 已知空间直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征可求得，结合空间中两点间距离公式可求得结果. 【详解】点关于坐标原点的对称点为，. 故选：B. 3. 已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为四点共面， 所以向量共面，即存在实数使得， 又，，， 所以， 所以，解得，则. 故选：A. 4. 已知直线，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的倾斜角是钝角 B. 的一个方向向量为 C. 直线在轴上截距为1 D. 与直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程的一般式求出其斜率为，可得倾斜角为锐角，因此A错误，再由方向向量的定义可得B正确；由截距定义计算可知直线在轴上截距为，可得C错误，易知两直线斜率乘积不为，因此两直线不垂直，可得D错误. 【详解】对于A，由，得直线，所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角是锐角，故A错误； 对于B，易知直线的一个方向向量为，又直线的一个方向向量也可为，故B正确； 对于C，令代入直线的方程可得，因此直线在轴上截距为，即C错误； 对于D，直线的斜率为，所以， 所以直线与直线不垂直，故D错误. 故选：B 5. 如图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】因为. 故选：B 6. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 8. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为. 【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点. 可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系， 则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以, 又点F距平面的距离为1，所以, 的最小值为. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C. 方程能表示平行轴的直线 D. 直线的斜率越大，倾斜角越大 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用直线方程的性质判断A、C，由倾斜角与斜率的概念以及关系可判断B、D. 【详解】对于A，直线经过第一、二、四象限，则，，故在第二象限， 故A正确； 对于B，由倾斜角的定义可知任何一条直线都有倾斜角，当倾斜角为时，斜率不存在， 故B错误； 对于C，当时，方程为，表示平行y轴的直线，所以C正确； 对于D，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大； 在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大； 在时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大； 故D错误； 故选：AC. 10. 已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（    ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 平面的一个法向量是 D. 三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面． 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：运用向量共线定理可判断；对于B：运用单位向量的定义可判断；对于C：利用平面法向量的求法可判断；对于D：利用四点共面的判定条件可判断. 【详解】对于A：， 与不是共线向量，故A错误； 对于B：， 则与同向的单位向量是，故B正确； 对于C：， 设平面的法向量为， 则， 取，得，故C正确． 对于D：若，且， 所以，，，四点共面，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点C到平面的距离为 D. 三棱锥外接球体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及空间中点线面位置关系的向量表示方法，空间中点到面的距离的向量方法，三棱锥的外接球半径的计算方法，依据半径求出球的体积，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】如图所示，连接， 是中点，是的中位线，， 平面，平面， 与平面相交， ，与平面相交，所以A错误； 如图所示，以正方体顶点为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为， 则，即， 当时，解得，则平面的一个法向量， 此时，即，可得平面，所以B正确； 如图所示， 可知，平面的一个法向量， 可得点C到平面的距离，所以C错误； 如图所示：作中点，作上下底面中心，作四棱柱， 可知三棱锥的外接球，也是四棱柱的外接球， 可知， 则外接球半径，外接球体积为，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，：，若满足，则________ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由直线垂直条件直接列式计算． 【详解】直线与直线垂直， ，解得. 故答案为：. 13. 已知向量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的充要条件列式计算即得. 【详解】向量共线，则，解得， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，，，则线段CD的长为____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积运算结合二面角的定义即可求解. 【详解】由图可得， 所以， 因为， 所以，， 所以，所以线段的长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的三个顶点为，，，求： （1）所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边上的垂直平分线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算直线的斜率，结合点斜式求解即可； （2）求的中点坐标，再求直线的斜率，结合点斜式求解即可； （3）根据的中点坐标，结合直线垂直的斜率关系与点斜式求解即可. 【小问1详解】 因为，，故的斜率， 故所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为，，故的中点坐标，即. 故边上中线所在直线的斜率为， 故边上中线所在直线的方程为，即. 【小问3详解】 由（2），，故边上垂直平分线所在直线的方程为，即. 16. 如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求的长． 【答案】（1） 因正方体的棱长为1， 所以，而是线段的中点，因此. 由勾股定理得，，，因是线段的中点，所以. 在直角三角形中，是其斜边上的中线，故. 由勾股定理得，. 因此，， 故是直角三角形，其中，故. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求两直线的夹角余弦值； （3）根据空间坐标系中两点距离公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. ，. 设直线与所成角，则. 【小问3详解】 . 17. 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，． （1）求线段的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量对应线段位置关系，应用向量加减法几何意义用，，表示出，再应用向量数量积的运算律求模长即可； （2）应用向量加减几何意义和数量积的运算律求、，再利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值． 【小问1详解】 设，，，则，，， 又，则. 【小问2详解】 由，则， 则. ， 故异面直线与所成角的余弦值为． 18. 梯形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为直线与平面的交点，请直接写出点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面. （2）； （3）2. 【解析】 【分析】（1）利用平面与平面垂直的性质定理证明即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用向量的数量积求解即可； （3）通过延长交直线于，得到即为直线与平面的交点，又，平面，得到点到平面的距离即为点到平面的距离，从而得到点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以， 因为，所以，， 所以，以点为坐标原点，如图建系， 因为，，，， 所以，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令得； 所以，， 所以，直线与平面所成角的的正弦值为. 【小问3详解】 如图，在梯形中，延长交直线于， 因为平面， 所以即为直线与平面的交点， 因为，平面， 所以，点到平面的距离即为点到平面的距离， 所以，点到平面的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ． 则，，． 设平面的法向量是，则，即 令，则，．于是． ，． 又平面，平面． (2) ； (3)假设存在满足题意的点，且：， 设点N的坐标为，据此可得：， 由对应坐标相等可得， 故，由于平面的一个法向量， 由题意可得： 解得：， 据此可得存在满足题意的点，且的值为. 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可证明平面； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用法向量的夹角即可得出； （3）假设存在，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可。 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为．则， 即据此可得平面的一个法向量, 设二面角的平面角大小为，易知： 则，即． 二面角的正弦值为． （3）略 【点睛】熟练掌握建立空间直角坐标系利用平面的法向量即可证明平面、平面与平面的法向量的夹角求出二面角、线面角的夹角公式是解题的关键，属于中档题。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳中学2025—2026学年第一学期第1次月考 高二级数学科试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 4. 已知直线，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的倾斜角是钝角 B. 的一个方向向量为 C. 直线在轴上截距为1 D. 与直线垂直 5. 如图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C. D. 6. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C. 方程能表示平行轴的直线 D. 直线的斜率越大，倾斜角越大 10. 已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（    ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 平面的一个法向量是 D. 三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面． 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点C到平面的距离为 D. 三棱锥外接球体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，：，若满足，则________ 13. 已知向量，且，则__________． 14. 如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，，，则线段CD的长为____________ 四、解答题：本题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的三个顶点为，，，求： （1）所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边上的垂直平分线的方程． 16. 如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求的长． 17. 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，． （1）求线段的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 梯形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为直线与平面的交点，请直接写出点到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $