第11讲 一元一次方程的应用（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年沪科版七年级数学上册同步讲义与测试

第11讲 一元一次方程的应用（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.建立一元一次方程模型解决实际问题 2.几何问题 3.行程问题 4.储蓄问题 5.销售问题 6.比例问题 7.数字问题 8.配套问题 9.工程问题 题型巩固 一、配套问题(一元一次方程的应用) 二、工程问题(一元一次方程的应用) 三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 四、比赛积分(一元一次方程的应用) 五、方案选择(一元一次方程的应用) 六、数字问题(一元一次方程的应用) 七、几何问题(一元一次方程的应用) 八、动点问题（一元一次方程的应用） 九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 十一、行程问题(一元一次方程的应用) 十二、日历问题(一元一次方程的应用) 十三、古代问题(一元一次方程的应用) 十四、其他问题(一元一次方程的应用) 强化训练 单选题（10） 填空题（5） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.建立一元一次方程模型解决实际问题 1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 (1) 弄清题意和题中的数量关系，用字母(如 x， y) 表示问题涉及的未知数； (2) 分析题意，找出等量关系(可借助示意图、表格等)； (3) 根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； (4) 解这个方程，求出未知数的值； (5) 检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位) . 2. 分析题意常用的两种方法 (1) 读题分析法： 多用于“和、差、倍、分”问题 . 仔细读题，根据题意设出未知数，找出表示相等关系的关键字，例如：“大、小、多、少、是、共、合、完 成、增 加、减 少、配套……”，将题目中量与量的关系转为代数式，进而列出方程 . (2) 画图分析法： 多用于“行程问题”，利用图形分析问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出示意图，弄清图形各部分的含义，借助图形找等量关系，从而建立方程 . 3. 设未知数的常见方法 (1) 设直接未知数： 一般情况下，题中问什么就设什么 . (2)设间接未知数： 特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量 . 知识点2.几何问题 1. 常见平面图形的基本等量关系 =2×(长 + 宽)， = 长 × 宽， =4× 边长， = 边长 × 边长 . 2. 常见立体图形的体积公式 (1) (为棱长) . (2) (， b 分别为底面的长、宽， h为高) . (3) (R 为底面圆的半径， h为高) . (4) (R 为底面圆的半径， h为高) . 知识点3.行程问题 1. 行程问题中的基本关系式 路程 = 速度 × 时间，时间 = 路程 ÷ 速度，速度 = 路程 ÷ 时间 . 2. 行程问题中的相等关系 (1) 相遇问题中的相等关系： ① 若甲、乙 相向而行，相遇时，甲走的路程 + 乙走的路程 = 甲、乙出发点之间的路程； ②若甲、乙同时出发，相遇时，甲用的时间 = 乙用的时间 . (2) 追及问题中的相等关系： ①快者追上慢者时，快者走的路程 - 慢者走的路程 = 追及路程；②若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间 =慢者用的时间 . (3) 航行问题中的相等关系： 顺水(顺风) 速度 = 静水(无风) 速度 + 水(风) 速度； 逆水(逆风） 速度 = 静水(无风) 速度 - 水(风) 速度 . 知识点4.储蓄问题 1. 概念 顾客存入银行的钱叫作本金，银行付给顾客的酬金叫作利息，本金和利息的和叫作本息和，一定时期内利息与本金的比叫作利率 . 2. 等量关系 本金 × 利率 × 期数 = 利息；本金 + 利息 = 本息和 . 知识点5.销售问题 1. 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率 . 2. 相关的相等关系 (1) 售价 = 标价 × 折扣；(2) 利润 = 售价－进价； (3) 利润 = 进价 × 利润率；(4) 利润率 = × 100%. 知识点6.比例问题 1. 应用题的数量关系如果是以量与量之间的比例关系以及这些量的总和给出的，那么这类问题就叫作比例问题 . 2. 基本等量关系  各分量之和等于总量 . 知识点7.数字问题 用代数式表示多位数的方法 用式子 表 示 多 位 数 时，这 个 多 位 数 = 个 位 数 字 × 1+ 十位数字 × 10+ 百 位 数 字 × 100+ 千 位 数 字 × 1 000+ 万 位数字 × 10 000+…，如 一 个 五 位 数，个 位、十 位、百 位、千位、万位上的数字分别为 a， b， c， d， e，则这个数可表示为10 000e+1 000d+100c+10b+a 或 。 知识点8.配套问题 1. 在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据 . 2. 生产配套问题中的基本相等关系 加工(或生产) 的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比. 3. 调配问题中的基本相等关系 指从甲处调一些人(或物) 到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人(或物)到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲处人(或物) 数+乙处人(或物) 数=总人(或物) 数. 知识点9.工程问题 1. 基本关系式 工作量 = 工作效率 × 工作时间， 工作时间 =，工作效率 = . 2. 找相等关系的方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，另一个量设元，那么就从第三个量找相等关系列方程 . 题型巩固 题型一、配套问题(一元一次方程的应用) 1．“和尚分馒头”问题出自明代数学家程大位写的《算法统宗》．书中题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁﹖意思是：100个馒头分给100个和尚，大和尚每个人分三个．小和尚三个人分一个，问大小和尚分别有多少人﹖设有小和尚3x人，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排 名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 3．某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，恰好每天生产的螺栓和螺母按配套，求多少人生产螺栓，多少生产螺母？ 题型二、工程问题(一元一次方程的应用) 4．（23-24七年级上·安徽淮南·期末）某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做2天，乙再参与合作，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间．设完成此项工程用了天，则下列方程正确的是 (   ) A． B． C． D． 5．5个人用5天完成了某项工程的，如果再增加工作效率相同的10个人，那么完成这项工作前后共用 天． 6．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两公司承包了一项民生工程，甲公司单独完成需要40天，乙公司单独完成需要20天，甲、乙公司先共同合作5天后，剩下的工程由甲公司完成，则比甲公司单独完成提前了几天？ 题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 7．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）文具店有两种不同品牌的地球仪．某天这两种地球仪都以60元的价格各售出一台．其中一台盈利，一台亏本，则文具店（　　） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）商家进一种服装，将进货单价翻一番后按7折出售，售价为a元，则这种服装的进货单价为 元． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率． 题型四、比赛积分(一元一次方程的应用) 10．2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．某年级8个班进行足球联赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分、平一场得1分、负一场得0分．1班共得15分，并以7场比赛的不败战绩获得冠军，那么该班共胜 场比赛． 12．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 题型五、方案选择(一元一次方程的应用) 13．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 14．人民路有甲乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案： 甲超市购物全场8.8折． 乙超市购物①不超过200元，不给予优惠； ②超过200元而不超过600元，打9折； ③超过600元，其中的600元仍打9折，超过600元的部分打8折． （假设两家超市相同商品的标价都一样）当标价总额是 元时，甲、乙两家超市实付款一样． 15．某林场计划购买甲、乙两种树苗共700株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为、 (1)若购买这两种树苗共用去18000元，则甲种树苗购买多少株？ (2)若要使这批树苗的总成活率为，则甲、乙两种树苗各购买多少株？ 题型六、数字问题(一元一次方程的应用) 16．（24-25七年级上·安徽芜湖）三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 17．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）如表，有12个方格，每个方格内都有一个数，若任何相邻三个数的和都是19，则x的值是 ． 5 A B C D E F x G H P 10 18．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）把从1开始的连续的奇数排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、… (1)①数阵中排在第7行第1列的数是_______； ②2025在数阵中排在第_______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为_______ (2)按如图所示的方式，用一个“”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)数阵中用一个“”形框框住的四个数的和记为“”，直接写出的最大值与最小值的差是_______． 题型七、几何问题(一元一次方程的应用) 19．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是2，则这个长方形的面积是（    ） A．512 B．516 C．572 D．576 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，部分数据如图所示，则每个小长方形的面积为 ． 21．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 题型八、动点问题（一元一次方程的应用） 22．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 23．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，、两点在数轴上对应的数分别为和6．现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当时，运动时间的值为 ． 24．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如果数轴上有两点，其表示的数分别为，那么线段的长度表示为，线段的中点表示的数为．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且．动点从点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点运动时间为秒 (1)填空：___________；___________；的距离为___________； (2)点运动多少秒后，成立？ (3)当点在之间运动时，且．如果点为的中点，请你探究式子是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 25．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 26．学校抽查七、八年级共590人分别背诵“社会主义核心价值观”与“校园文明六个好”，其中抽查背诵“社会主义核心价值观”人数是背诵“校园文明六个好”人数的2倍多56人．设抽查背诵“校园文明六个好”的人数为x人，则可列方程 . 27．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）在某届科技大赛中，甲团队在机器人竞赛与编程竞赛项目中共获得个奖项，且编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个．分别求编程竞赛与机器人竞赛获得奖项的个数． 题型十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 28．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 29．为鼓励节约用电，某地对用户用电收费标准作如下规定：如果每月每户用电不超过100度，那么每度电价按0.55元收费，如果超过100度，那么超过部分每度电价按1元收费．某户居民在三月需缴纳电费105元，则该户共用电 度． 30．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 题型十一、行程问题(一元一次方程的应用) 31．（2022七年级上·安徽阜阳·专题练习）一辆速度是每小时80千米的小汽车和一辆速度是每小时40千米的大货车由同一条公路从地前往地．如果大货车先出发3小时，那么小汽车经过（　　）小时可以追上大货车． A．2 B．3 C．4 32．（23-24七年级上·安徽蚌埠）如图所示，两人沿着边长为的正方形，按的方向行走，甲从点以的速度、乙从点以的速度行走，当乙第一次追上甲时，乙将在正方形的 边上（用字母表示，例如边） 33．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为，小轿车的速度为，货车先出发后小轿车再出发． (1)小轿车出发多长时间后追上货车？ (2)在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距？ 题型十二、日历问题(一元一次方程的应用) 34．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，这7个数的和不可能是（    ） A．70 B．91 C．126 D．154 35．下表所示是2019年元月的月历表．下列结论： ①每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7； ②可以框出一竖列上相邻的三个数（如图所示），这三个数的和是24； ③不可以框出一个2×2的矩形块的四个数（如图所示），这四个数的和是82； ④任意框出一个3×3的矩形块的九个数（如图所示），这九个数的和是中间数的9倍，其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）． 36．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数． 2023年12月 (1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为________； (2)被框住的4个数的和能等于100吗？如果能，求出这4个数；如果不能，说明理由． 题型十三、古代问题(一元一次方程的应用) 37．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）《九章算术》中阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买牛，人出九，盈六；人出七，不足八．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买牛肉，每人出9元，还盈余6元；每人出7元，则还差8元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）将这9个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”．下图展示了“洛书”中对应的部分数值，则 ． 39．（2023·安徽六安·模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？ 题型十四、其他问题(一元一次方程的应用) 40．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某班级劳动时，将全班同学分成小组，若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则有一组少4人．按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？（   ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 41．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）有宿舍若干间，如果每间住4人还空一间，如果每间住3人就有5人没有床位．问有多少间宿舍？若设有x间宿舍，则可列方程 ． 42．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 强化训练 一、单选题 1．若干个小孩分梨，每人分4个，则多12个；每人分6个，则恰好分完．设小孩有个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的题数是(　　)道 A．6 B．7 C．8 D．9 3．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓配两个螺母的产品，每人每天生产螺栓16个或螺母22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是（     ） A．18cm B．17cm C．16cm D．15cm 5．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（    ） A．78 B．70 C．84 D．105 6．小明在某月的日历上圈出了三个数a、b、c，并求出了它们的和为39，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（　　） A．   B．   C．   D．   7．某船顺流而下的速度是20千米/时，逆流航行的速度为16千米/时，则船在静水中的速度是(    )千米/时 A．2 B．4 C．18 D．36 8．一个两位数，十位上的数字是个位数字的2倍，将个位数字与十位数字调换，得到一个新的两位数，这两个两位数的和是132，则原来的两位数为(　　) A．48 B．84 C．36 D．63 9．将连续的偶数2，4，6，8，10，…，排成如图所示的数表，用如图所示的平行四边形框去框住四个数，若把平行四边形框上下左右移动，保证可框住四个数，则框中的四个数的和可能是（    ）    A．80 B．148 C．212 D．262 10．甲、乙两工程队开挖一条水渠各需10天、15天，两队合作2天后，甲有其他任务，剩下的工作由乙队单独做，还需多少天能完成任务？设还需x天，可得方程（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．完成某项工程，甲单独做10天完成，乙单独做7天完成，现在由甲先做了3天，乙再参加合作，求完成这项工程总共用去的时间，若设完成此项工程总共用天，则列出方程为 ． 12．某学校举办一次数学知识竞赛活动，竞赛题共有25道题，规定做对一道题得4分，不做或做错一道题扣1分．李伟最后竞赛成绩是90分，那么李伟一共做对了 道题． 13．若三个连续的偶数的和是24，则它们的积是 ． 14．若代数式与的值互为相反数，则x= ． 15．在我国著名的数学书九章算术中曾记载这样一个数学问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设羊价为x钱，则可列关于x的方程为 ． 三、解答题 16．一桶色拉油毛重8千克，从桶中取出一半油后，毛重4.5千克，桶中原有油多少千克？ 17．哈市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要天完成；若乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为万元，问甲队和乙队各得报酬多少钱？ 18．阅读下列素材，解决水费及用水量问题： 素材1 为增强居民节水意识，某地城市居民同水收费实行“阶梯收费”机制，即根据家庭每月用水量的不同，将水价分为三个档次，用水量越多，水价越高． 素材2 该地城市居民应缴纳水费由两部分组成，第一部分为实际用水费用，第二部分为污水处理费：按实际用水量每吨收取1元． 素材3 实际用水费用收费标准 等级 用水量 单价（元/吨） 第一阶梯 不超过22吨的部分 3.5 第二阶梯 超过22吨，不超过30吨的部分 4.5 第三阶梯 超过30吨的部分 6 任务一 确定水费 小实家2024年12月用水24吨，则小实家2024年12月应缴纳水费______元． 任务二 确定污水处理费 小实家2025年1月应缴纳水费中，实际用水费用为104元，求小实家1月缴纳污水处理费多少元？ 任务三 确定用水量 如果小实家2024年7，8月份共用水60吨（8月份用水量比7月份用水量多），应缴纳水费共290.5元，则小实家7，8月份各用水多少吨？ 19．根据题意，列出方程： （1）根据第六次全国人口普查统计数据，截至2010年11月1日0时，全国每10万人中只具有小学文化程度的人数为26779人，与2000年第五次全国人口普查相比减少了，2000年第五次全国人口普查时每10万人中约有多少人只具有小学文化程度？ （2）某商店对超过15000元的物品提供分期付款服务，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的形式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 20．某天运动员小伟沿平路从家跑步去银行办理业务，小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节省时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行，已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，已知小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟．这段坡路的总路程是多少米？ 21．“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹52.5吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获得100元，如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获得1000元；如果进行精加工，每天加工0.5吨，每吨可获得5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售，为此研究了两种方案： 方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利 元 方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利 元 问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由． 22．某县为鼓励失地农民自主创业，在2010年对60位自主创业的失地农民自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？ 23．国庆假期期间，七（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到进士文化园游玩，如下图所示的是购买门票时，明明与他爸爸的对话．试根据图中的信息． 解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人和几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种购票方式更省钱？请说明理由． (3)购完票后，明明发现七（2）班的小涛等7名同学和他们的家长也来购票．若家长人数不超过6，则怎样购票更省钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 一元一次方程的应用（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.建立一元一次方程模型解决实际问题 2.几何问题 3.行程问题 4.储蓄问题 5.销售问题 6.比例问题 7.数字问题 8.配套问题 9.工程问题 题型巩固 一、配套问题(一元一次方程的应用) 二、工程问题(一元一次方程的应用) 三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 四、比赛积分(一元一次方程的应用) 五、方案选择(一元一次方程的应用) 六、数字问题(一元一次方程的应用) 七、几何问题(一元一次方程的应用) 八、动点问题（一元一次方程的应用） 九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 十一、行程问题(一元一次方程的应用) 十二、日历问题(一元一次方程的应用) 十三、古代问题(一元一次方程的应用) 十四、其他问题(一元一次方程的应用) 强化训练 单选题（10） 填空题（5） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.建立一元一次方程模型解决实际问题 1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 (1) 弄清题意和题中的数量关系，用字母(如 x， y) 表示问题涉及的未知数； (2) 分析题意，找出等量关系(可借助示意图、表格等)； (3) 根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； (4) 解这个方程，求出未知数的值； (5) 检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位) . 2. 分析题意常用的两种方法 (1) 读题分析法： 多用于“和、差、倍、分”问题 . 仔细读题，根据题意设出未知数，找出表示相等关系的关键字，例如：“大、小、多、少、是、共、合、完 成、增 加、减 少、配套……”，将题目中量与量的关系转为代数式，进而列出方程 . (2) 画图分析法： 多用于“行程问题”，利用图形分析问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出示意图，弄清图形各部分的含义，借助图形找等量关系，从而建立方程 . 3. 设未知数的常见方法 (1) 设直接未知数： 一般情况下，题中问什么就设什么 . (2)设间接未知数： 特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量 . 知识点2.几何问题 1. 常见平面图形的基本等量关系 =2×(长 + 宽)， = 长 × 宽， =4× 边长， = 边长 × 边长 . 2. 常见立体图形的体积公式 (1) (为棱长) . (2) (， b 分别为底面的长、宽， h为高) . (3) (R 为底面圆的半径， h为高) . (4) (R 为底面圆的半径， h为高) . 知识点3.行程问题 1. 行程问题中的基本关系式 路程 = 速度 × 时间，时间 = 路程 ÷ 速度，速度 = 路程 ÷ 时间 . 2. 行程问题中的相等关系 (1) 相遇问题中的相等关系： ① 若甲、乙 相向而行，相遇时，甲走的路程 + 乙走的路程 = 甲、乙出发点之间的路程； ②若甲、乙同时出发，相遇时，甲用的时间 = 乙用的时间 . (2) 追及问题中的相等关系： ①快者追上慢者时，快者走的路程 - 慢者走的路程 = 追及路程；②若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间 =慢者用的时间 . (3) 航行问题中的相等关系： 顺水(顺风) 速度 = 静水(无风) 速度 + 水(风) 速度； 逆水(逆风） 速度 = 静水(无风) 速度 - 水(风) 速度 . 知识点4.储蓄问题 1. 概念 顾客存入银行的钱叫作本金，银行付给顾客的酬金叫作利息，本金和利息的和叫作本息和，一定时期内利息与本金的比叫作利率 . 2. 等量关系 本金 × 利率 × 期数 = 利息；本金 + 利息 = 本息和 . 知识点5.销售问题 1. 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率 . 2. 相关的相等关系 (1) 售价 = 标价 × 折扣；(2) 利润 = 售价－进价； (3) 利润 = 进价 × 利润率；(4) 利润率 = × 100%. 知识点6.比例问题 1. 应用题的数量关系如果是以量与量之间的比例关系以及这些量的总和给出的，那么这类问题就叫作比例问题 . 2. 基本等量关系  各分量之和等于总量 . 知识点7.数字问题 用代数式表示多位数的方法 用式子 表 示 多 位 数 时，这 个 多 位 数 = 个 位 数 字 × 1+ 十位数字 × 10+ 百 位 数 字 × 100+ 千 位 数 字 × 1 000+ 万 位数字 × 10 000+…，如 一 个 五 位 数，个 位、十 位、百 位、千位、万位上的数字分别为 a， b， c， d， e，则这个数可表示为10 000e+1 000d+100c+10b+a 或 。 知识点8.配套问题 1. 在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据 . 2. 生产配套问题中的基本相等关系 加工(或生产) 的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比. 3. 调配问题中的基本相等关系 指从甲处调一些人(或物) 到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人(或物)到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲处人(或物) 数+乙处人(或物) 数=总人(或物) 数. 知识点9.工程问题 1. 基本关系式 工作量 = 工作效率 × 工作时间， 工作时间 =，工作效率 = . 2. 找相等关系的方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，另一个量设元，那么就从第三个量找相等关系列方程 . 题型巩固 题型一、配套问题(一元一次方程的应用) 1．“和尚分馒头”问题出自明代数学家程大位写的《算法统宗》．书中题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁﹖意思是：100个馒头分给100个和尚，大和尚每个人分三个．小和尚三个人分一个，问大小和尚分别有多少人﹖设有小和尚3x人，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列方程．设有小和尚人，则大和尚的人数为人，然后根据三个小和尚一个馒头，一个大和尚三个馒头即可列出方程． 【详解】解：设有小和尚人，则大和尚的人数为人， 由题意得， 故选C． 2．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排 名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 【答案】5 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】设生产大花瓶的为x人，则生产小饰品的为（20-x）人，再由2个大花瓶与5个小饰品配成一套列出方程，进一步求得x的值，计算得出答案即可． 【详解】设生产大花瓶的为x人，则生产小饰品的为（20-x）人，由题意得： 12x×5=10(20−x)×2， 解得：x=5， 即要安排5名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 故答案为：5. 【点睛】考查一元一次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键. 3．某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，恰好每天生产的螺栓和螺母按配套，求多少人生产螺栓，多少生产螺母？ 【答案】12人生产螺栓，16人生产螺母 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】刚好配套．x人生产螺栓，（28−x）人生产螺母，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】刚好配套．x人生产螺栓，（28−x）人生产螺母， 根据题意得：12x×2＝18（28−x）， 解得：x＝12， 则刚好配套，12人生产螺栓． 答：12人生产螺栓，16人生产螺母． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 题型二、工程问题(一元一次方程的应用) 4．（23-24七年级上·安徽淮南·期末）某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做2天，乙再参与合作，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间．设完成此项工程用了天，则下列方程正确的是 (   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设完成此项工程用了天，根据“甲完成工作量乙完成工作量1”列出方程即可． 【详解】解：设完成此项工程用了天， 根据题意，可得． 故选：A． 5．5个人用5天完成了某项工程的，如果再增加工作效率相同的10个人，那么完成这项工作前后共用 天． 【答案】10 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】由已知5个人用5天完成了某项工程的，那么1个人用的天数为5×5，再增加工作效率相同的10个人完成剩下的，设用x天，则1个人用(5+10)x，因为工作效率相同，根据题意列方程求解． 【详解】设增加10人再完成剩余的为x天，根据题意列方程得： (5+10)x=3×5×5， 解得：x=5， 5+5=10(天)． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，解答此题的关键是根据已知找出等量关系，其等量关系是后面的工作量是前面的工作量的3倍． 6．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两公司承包了一项民生工程，甲公司单独完成需要40天，乙公司单独完成需要20天，甲、乙公司先共同合作5天后，剩下的工程由甲公司完成，则比甲公司单独完成提前了几天？ 【答案】提前了10天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设剩下的工程由甲公司完成还需天，根据甲乙完成的工程量和为1列方程求解即可． 【详解】解：设剩下的工程由甲公司完成还需天， 由题意得，， 解得， （天）， 答：比甲公司单独完成提前了10天． 题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 7．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）文具店有两种不同品牌的地球仪．某天这两种地球仪都以60元的价格各售出一台．其中一台盈利，一台亏本，则文具店（　　） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示每台地球仪的售价是解题的关键．设盈利的一台的进价为x元，亏本的一台的进价为y元，则盈利的一台的售价可表示为元，亏本的一台的售价可表示为元，可列方程，，分别求出x、y的值，再用售价的和减去进价的和即可得到问题的答案． 【详解】解：设盈利的一台的进价为x元，亏本的一台的进价为y元， 根据题意得，， 解得，， ∴（元）， ∴这次出售中文具店赔了5元， 故选：B． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）商家进一种服装，将进货单价翻一番后按7折出售，售价为a元，则这种服装的进货单价为 元． 【答案】/ 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种服装的进货单价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设这种服装的进货单价为元， 由题意可得：， 解得：， ∴这种服装的进货单价为元， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率． 【答案】售价相对进价应提高的增长率为 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克，这批苹果共b千克，利用总利润销售单价销售数量进货单价购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克， 根据题意得：， 即， 解得：． 答：售价相对进价应提高的增长率为． 题型四、比赛积分(一元一次方程的应用) 10．2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】设该班获胜的场数为x场，则平场为（11-x）场，根据“开局11场保持不败，积23分，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设该班获胜的场数为x场，则平场为（11-x）场，根据题意得： ， 解得：x=6， 答：该班获胜的场数为6场． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 11．某年级8个班进行足球联赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分、平一场得1分、负一场得0分．1班共得15分，并以7场比赛的不败战绩获得冠军，那么该班共胜 场比赛． 【答案】4 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】8个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余7个班级比赛，根据总比赛场数为7，设赢了x场，总分数为15即可列出方程，即可解题． 【详解】解：8个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余7个班级比赛，根据总比赛场数为7， 设赢了x场，则3x+（7-x）=15， 解得：x=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为7是解题的关键． 12．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 【答案】她答对了17道题 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设她答对了道题，则答错道题．根据“本次竞赛中获得了76分”列出一元一次方程，解方程，即可求解．关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设她答对了道题，则答错道题． 根据题意，得 解得 答：她答对了17道题． 题型五、方案选择(一元一次方程的应用) 13．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设这个班有学生x人，图书y本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生x人，图书y本， 由题意得，，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 14．人民路有甲乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案： 甲超市购物全场8.8折． 乙超市购物①不超过200元，不给予优惠； ②超过200元而不超过600元，打9折； ③超过600元，其中的600元仍打9折，超过600元的部分打8折． （假设两家超市相同商品的标价都一样）当标价总额是 元时，甲、乙两家超市实付款一样． 【答案】750 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．根据两超市的促销方案结合两超市实付款相等，得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样． 当一次性购物标价总额恰好是600元时，甲超市实付款=600×0.88=528（元），乙超市实付款=600×0.9=540（元）． ∵528＜540，∴x＞600． 根据题意得：0.88x=600×0.9+0.8（x﹣600） 解得：x=750． 故答案为750． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程． 15．某林场计划购买甲、乙两种树苗共700株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为、 (1)若购买这两种树苗共用去18000元，则甲种树苗购买多少株？ (2)若要使这批树苗的总成活率为，则甲、乙两种树苗各购买多少株？ 【答案】(1)500 (2)甲种树苗购买280株，则乙种树苗购买420株 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设甲种树苗购买x株，则乙种树苗购买株，根据“购买这两种树苗共用去18000元，”列出方程，即可求解； （2）设甲种树苗购买m株，则乙种树苗购买株，根据“甲、乙两种树苗的成活率分别为、；这批树苗的总成活率为” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种树苗购买x株，则乙种树苗购买株，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种树苗购买500株； （2）解：设甲种树苗购买m株，则乙种树苗购买株，根据题意得： ， 解得：， 所以， 答：甲种树苗购买280株，则乙种树苗购买420株． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 题型六、数字问题(一元一次方程的应用) 16．（24-25七年级上·安徽芜湖）三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．先设最大的偶数，再根据三个连续的偶数的和是，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设最大的偶数为x，则另为两个偶数为，， 由题意可得：， 解得， 故选：B． 17．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）如表，有12个方格，每个方格内都有一个数，若任何相邻三个数的和都是19，则x的值是 ． 5 A B C D E F x G H P 10 【答案】4 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题重点考查等式的性质、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，根据“任何相邻三个数的和都是19”列出等式是解题的关键．任何相邻三个数的和都是19，得则，所以，求得，由，求得，所以，则，即可由，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设x、A、B、C、D、E、F、G、H、P均表示其所在方格中的数， 任何相邻三个数的和都是19， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 故答案为：4． 18．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）把从1开始的连续的奇数排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、… (1)①数阵中排在第7行第1列的数是_______； ②2025在数阵中排在第_______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为_______ (2)按如图所示的方式，用一个“”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)数阵中用一个“”形框框住的四个数的和记为“”，直接写出的最大值与最小值的差是_______． 【答案】(1)①97；②5； (2)不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948，理由见解析 (3) 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是数字类的规律探索，一元一次方程的应用，解题的关键是能观察出数阵中每行的数依次增加2，每列的数依次增加16． （1）①依据每行的数依次增加2，每列的数依次增加16，据此解答即可；②先求出数的总个数，进而确定2025所在的列数即可；再根据同列上下两个数依次增加16，求出第n行第一个数，进而求出第n行第5个数即可； （2）通过假设存在这样的，则可列出方程：，解方程求解即可； （3）要使S的值最小，则框住的是第一、二行前面较小的数，要使S的值最大，则框住的是数阵中后面的大数，据此解答即可． 【详解】（1）解：①通过观察可知，第五行最后一个数为79，则第6行第1列的数是，又通过观察可知，同一列的数依次往下加16，则第7行第1列的数是， 故答案为：97； ②数阵中的数共有：（个）， 数阵中一共有1013个数，每行有8个数，， ∴2025在数阵中排在第5列； 通过观察数阵可知：相邻两个数依次增加2，同列上下两个数依次增加16， ∴第行的第一个数为：， ∴数阵中排在第行第5列的数可用表示为：， 故答案为：； （2）解：不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948，理由如下： 假设存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948， 依题意，可列方程：， 解得：． ∵479是第240个奇数，， ∴479位于第30行第8个数， ∵479右边的数481位于第31行第1个数， ∴假设不成立， ∴不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948． （3）解：通过观察可知： 框住的最小值为：， 要使框住的值最大，则最后一个数2025必然在平行四边形中， 则框住的最大值为：， 则两者的差为：， 故S的最大值与最小值的差为：． 题型七、几何问题(一元一次方程的应用) 19．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是2，则这个长方形的面积是（    ） A．512 B．516 C．572 D．576 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】设D，E的边长为x，根据图形表示出C，B，A的边长，根据长方形对边相等列等式，求出x，进而求出长方形的长和宽，即可求出长方形的面积． 【详解】解：设D，E的边长为x， 则C的边长为，B的边长为，A的边长为， ， 解得， 这个长方形的长为，宽为， 这个长方形的面积为， 故选C． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是认真观察图形，找出隐藏的等量关系． 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，部分数据如图所示，则每个小长方形的面积为 ． 【答案】270 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程组的应用，解题关键是根据图示找出数量关系，列出一元一次方程． 设小长方形的宽为x，小长方形的长为，根据图示可以列出一元一次方程，然后解这个方程,即可求出小长方形的面积， 【详解】解：设小长方形的宽为x，则小长方形的长为，依题意，得， 解得：， 小长方形的长为： ， 则每个小长方形的面积为. 故答案为：270. 21．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 【答案】(1)6 (2)①1秒；②的值为或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上点的位置结合数轴上两点距离计算公式可得长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式求出面积即可； （2）①从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，据此计算重叠面积不变的时长即可；②分当点在之间，当点在之间，两种情况根据重叠部分为长方形结合长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的长为，宽为， ∴一个长方形的面积为， 故答案为：6； （2）解：①∵左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动， ∴从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，为； ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为4， ∴，， （秒），（秒），（秒）， ∴在移动的过程中，两个长方形重叠部分面积保持不变的时间为1秒．             ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，分两种情况： 当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得．             当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得． ∴当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，的值为或． 题型八、动点问题（一元一次方程的应用） 22．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 【答案】C 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，相遇前和相遇后距离为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为6或9； 故选：C． 23．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，、两点在数轴上对应的数分别为和6．现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当时，运动时间的值为 ． 【答案】2或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，分和两种情况，分别用含t的式子表示出点P和点Q表示的数，进而表示出线段的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：2或． 24．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如果数轴上有两点，其表示的数分别为，那么线段的长度表示为，线段的中点表示的数为．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且．动点从点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点运动时间为秒 (1)填空：___________；___________；的距离为___________； (2)点运动多少秒后，成立？ (3)当点在之间运动时，且．如果点为的中点，请你探究式子是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)8，，14 (2)点P运动秒或7秒时， (3)当时，为定值，该定值为2． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、整式加减的应用 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，非负数的性质，整式的加减运算，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数． （1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用数轴上两点之间的距离公式即可求得的距离； （2）设运动时间为t秒，可得，，即有，从而解得或，即可得到答案； （3）运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，可以表示出中点M所表示的数为，再结合，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵． ∴，， ∴点A表示的数为8，点B表示的数为， ∴， 故答案为：8，，14； （2）解：设运动时间为t秒，则运动后Q表示的数是，点P表示的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得或； 答：点P运动秒或7秒时，； （3）解：运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，则中点M所表示的数为， ∴， ∴当时， ； ∴当时，为定值，该定值为2． 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 25．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人，根据“参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人”即可求解．解题的关键是找到正确的等量关系． 【详解】解：设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人， 由题意可得，， 故选：D． 26．学校抽查七、八年级共590人分别背诵“社会主义核心价值观”与“校园文明六个好”，其中抽查背诵“社会主义核心价值观”人数是背诵“校园文明六个好”人数的2倍多56人．设抽查背诵“校园文明六个好”的人数为x人，则可列方程 . 【答案】. 【分析】设背诵“校园文明六个好”的人数为x人，则背诵“社会主义核心价值观”的人数为2x+56人，根据总人数为590人，可列出方程． 【详解】解：设背诵“校园文明六个好”的人数为x人，则背诵“社会主义核心价值观”的人数为2x+56人， 由题意得：， 故答案为. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 27．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）在某届科技大赛中，甲团队在机器人竞赛与编程竞赛项目中共获得个奖项，且编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个．分别求编程竞赛与机器人竞赛获得奖项的个数． 【答案】编程竞赛获得个奖项，机器人竞赛获得个奖项 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设编程竞赛获得个奖项，则机器人竞赛获得个奖项，根据编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个列方程求解即可． 【详解】解：设编程竞赛获得个奖项，则机器人竞赛获得个奖项． 可得． 解得， 所以． 答：编程竞赛获得个奖项，机器人竞赛获得个奖项． 题型十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 28．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据可知，该用户这个月用水超过，设这个月用水，列方程求解即可． 【详解】解：， ∴该用户这个月用水超过， 设这个月用水， 则， 解得：， 即该用户这个月用水． 故选：D． 29．为鼓励节约用电，某地对用户用电收费标准作如下规定：如果每月每户用电不超过100度，那么每度电价按0.55元收费，如果超过100度，那么超过部分每度电价按1元收费．某户居民在三月需缴纳电费105元，则该户共用电 度． 【答案】150 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】设该户共用电x度，根据“应缴纳电费为：100×0.55+超过100度的度数×1”列出方程，解方程即可求解. 【详解】设该户共用电x度， 由题意得，100×0.55+（x﹣100）×1=105， 解得：x=150． 答：该户共用电150度． 故答案为150． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据“应缴纳电费为：100×0.55+超过100度的度数×1”列出方程是解决本题的关键 30．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 【答案】(1)20 (2)该户4月份用水； (3)5月份用水，6月份用水量为． 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解． （1）根据表格中的收费标准，求出水费即可； （2）根据缴水费22元，可得4月份用水量在6m3到10m3之间，故可求解； （3）根据6月份用水量超过5月份用水量，得到6月份用水量多于9m3，分①当时，②当时，③当时，，列方程可解答． 【详解】（1）解：则应缴水费：（元， 故答案为：20； （2）解：该用户4月份交水费22元，， 设该户居民4月份用水， 根据题意得出：， 解得：． 故该户4月份用水； （3）解：设该户居民5月份用水，则6月份用水， 该用户6月份用水量超过5月份用水量， ， ①当时，，根据题意得： ，解得：， ， 当时，无解． ②当时，，根据题意得： ， 解得：， 检验知：符合题意，此时； ③当时，，根据题意得： ， 化简得：． 当时，无解． 综上知：5月份用水，6月份用水量为． 题型十一、行程问题(一元一次方程的应用) 31．（2022七年级上·安徽阜阳·专题练习）一辆速度是每小时80千米的小汽车和一辆速度是每小时40千米的大货车由同一条公路从地前往地．如果大货车先出发3小时，那么小汽车经过（　　）小时可以追上大货车． A．2 B．3 C．4 【答案】B 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据等量关系列出正确的方程是解题的关键．对于同向而行的两车，快车追上慢车时快车比慢车多行驶的路程等于慢车先开出3小时行驶的路程，根据路程=速度时间来求解即可． 【详解】解：设小汽车经过x小时后可追上大货车， 则：， 解得：． 故选B． 32．（23-24七年级上·安徽蚌埠）如图所示，两人沿着边长为的正方形，按的方向行走，甲从点以的速度、乙从点以的速度行走，当乙第一次追上甲时，乙将在正方形的 边上（用字母表示，例如边） 【答案】/ 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，完成本题要注意通过所行路程及正方形的周长正确判断追上时在正方形的那条边上．设乙x分钟后追上甲，根据乙追上甲时，比甲多走了270米，可得出方程，求出时间后，计算乙所走的路程，继而可判断在哪一条边上相遇． 【详解】解：设乙x分钟后追上甲， 由题意得，， 解得：， 而， 即乙第一次追上甲是在边上． 故答案为：． 33．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为，小轿车的速度为，货车先出发后小轿车再出发． (1)小轿车出发多长时间后追上货车？ (2)在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距？ 【答案】(1)2小时 (2)1小时或3小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设小轿车出发小时后追上货车，根据小轿车追上货车时，小轿车和货车所行驶的路程相等； （2）设小轿车行驶小时后与货车相距，分两种情况：小轿车在追上货车之前，两车相距，小轿车在追上货车之后，两车相距，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设小轿车出发小时后追上货车，根据题意得： ， 解得：． 答：小轿车出发2小时后追上货车． （2）解：设小轿车行驶小时后与货车相距， ①小轿车在追上货车之前，两车相距，则： ， 解得：； ②小轿车在追上货车之后，两车相距，则： ， 解得：， 答：小轿车行驶1小时或3小时后与货车相距． 题型十二、日历问题(一元一次方程的应用) 34．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，这7个数的和不可能是（    ） A．70 B．91 C．126 D．154 【答案】C 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出关于的一元一次方程是解题的关键． 设“工”字圈中最中间的数为，则另外几个数为，将几个数相加即可得出和为，令其分别等于A，B，C，D内的数，求出值，由为正整数而且“工”型图案能盖住图2中的7个数即可得出结论． 【详解】解：设“工”字圈中最中间的数为，则另外几个数为， 根据题意得：这7个数的和为． A，当时， 解得：，最中间的数为10的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为70，故不符合题意； A，当时， 解得：，最中间的数为13的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为91，故不符合题意； A，当时， 解得：，最中间的数为18的“工”型图案右边没有数字，故和不能为126，故符合题意； A，当时， 解得：，最中间的数为22的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为154，故不符合题意； 故选：C． 35．下表所示是2019年元月的月历表．下列结论： ①每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7； ②可以框出一竖列上相邻的三个数（如图所示），这三个数的和是24； ③不可以框出一个2×2的矩形块的四个数（如图所示），这四个数的和是82； ④任意框出一个3×3的矩形块的九个数（如图所示），这九个数的和是中间数的9倍，其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）． 【答案】①②③④ 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】①观察图表，每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7； ②可以通过①中的规律设出一竖列上相邻的三个数分别为a﹣7，a，a+7，相使其加等于24．若a的值为正整数，则本题正确，否则错误； ③仿照②题，设一个2×2的矩形块的四个数分别是b，b+1，b+7，b+8，相使其加等于82．若b的值为正整数，则本题正确，否则错误； ④设一个3×3的矩形块的9个数的中间数字是c，则另外八个数字分别是c﹣8，c﹣7，c﹣6，c﹣1，c+1，c+6，c+7，c+8，使其相加等于9c，求解即可． 【详解】解：①每一数列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；①正确 ②设这一数列上相邻的三个数分别是a﹣7，a，a+7 a﹣7+a+a+7＝24 解得a＝8 ∴a﹣7＝1，a+7＝15 ∴可以框出一数列相邻的三个数，分别是1，8，15，这三个数的和是24；②正确 ③设一个2×2的矩形块的四个数分别是b，b+1，b+7，b+8 b+b+1+b+7+b+8＝82 解得b＝16.5 ∵b不是整数 ∴不可以框出一个2×2的矩形块的四个数，这四个数的和是82；③正确 ④设一个3×3的矩形块的9个数的中间数字是c，则另外八个数字分别是c﹣8，c﹣7，c﹣6，c﹣1，c+1，c+6，c+7，c+8 ∴c﹣8+c﹣7+c﹣6+c﹣1+c+c+1+c+6+c+7+c+8＝9c 得9c＝9c ∴任意框出一个3×3的矩形块的九个数（如图所示），这九个数的和是中间数的9倍；④正确 ∴其中正确的是①②③④ 故填：①②③④ 【点睛】本题考查一次方程的应用，重点是通过观察规律设出恰当的未知数（比如a），并用这个未知数（比如a）的式子来表示其他的未知数（比如a+7），从而能够建立一元一次方程． 36．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数． 2023年12月 (1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为________； (2)被框住的4个数的和能等于100吗？如果能，求出这4个数；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)被框住的4个数的和能等于100，则四个数分别为 【知识点】整式加减的应用、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确表示出对应的4个数是解题的关键． （1）根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可； （2）设被框住的最小的数为x，假设被框住的4个数的和能等于100，则，解方程求出x的值，进而求出其他三个数，看是否符合日历的特点即可． 【详解】（1）解：被框住的最小的数为x，则其他三个数分别为， ∴被框住的这4个数的和为， 故答案为：； （2）解：设被框住的最小的数为x， 假设被框住的4个数的和能等于100， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意， ∴被框住的4个数的和能等于100，则四个数分别为． 题型十三、古代问题(一元一次方程的应用) 37．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）《九章算术》中阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买牛，人出九，盈六；人出七，不足八．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买牛肉，每人出9元，还盈余6元；每人出7元，则还差8元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．设这个物品的价格是元，根据题意列方程即可． 【详解】解：设这个物品的价格是元，由题意得， 故选：A． 38．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）将这9个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”．下图展示了“洛书”中对应的部分数值，则 ． 【答案】2 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据第一行及对角线上的三个数之和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：2． 39．（2023·安徽六安·模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？ 【答案】清酒2斗，醐酒有2斗． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】设清酒x斗，则醐酒有斗．根据“拿20斗谷子，共换了4斗酒”，即可得出关于x的方程，解之可得答案． 【详解】解：设清酒有x斗，则醐酒有斗． 根据题意，得， ∴， ． 答：清酒2斗，醐酒有2斗． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程． 题型十四、其他问题(一元一次方程的应用) 40．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某班级劳动时，将全班同学分成小组，若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则有一组少4人．按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？（   ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．根据两次分组的总人数相等列出方程并求解，即得全班人数，再根据质因数分解结果，即知答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 全班同学共有（人）， ， A、B、C、D四个选项中，只有4组满足题意． 故选：B． 41．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）有宿舍若干间，如果每间住4人还空一间，如果每间住3人就有5人没有床位．问有多少间宿舍？若设有x间宿舍，则可列方程 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设有x间宿舍， 根据题意得：， 故答案为：． 42．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 【答案】(1)8 (2)乙同学接了温水，开水 (3)这杯水混合后的水温为 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）利用接开水的时间温水的流速×接温水的时间开水的流速，即可求出接开水的时间； （2）设乙同学接了温水，则接了开水，根据这杯水混合后的水温为，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即接温水的时间），再将其代入中，即可求出接开水的时间； （3）设丙同学接了温水，则接了开水，根据共接了的水，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，将其代入及中，即可求出接温水及开水的体积，设这杯水混合后的水温为，根据开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴再接的开水． 故答案为：8； （2）解：设乙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：乙同学接了温水，开水； （3）解：设丙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴丙同学接了温水，开水． 设这杯水混合后的水温为， 根据题意得：， 解得：． 答：这杯水混合后的水温为． 强化训练 一、单选题 1．若干个小孩分梨，每人分4个，则多12个；每人分6个，则恰好分完．设小孩有个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列方程解应用题，解决问题的关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x,由此列方程解决问题. 设孩童有x名，根据等量关系：孩童的数量多出12梨＝孩童的数量，列方程解答即可。 【详解】解：设孩童有x名.由题意可得： 故选：A． 2．数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的题数是(　　)道 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设出答对的题数，利用答对的题数得分不答或答错题的得分分，列出方程进行求解． 【详解】解；设答对的题数为x道 故： 解得：． 故选：C． 3．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓配两个螺母的产品，每人每天生产螺栓16个或螺母22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，解题的关键是要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍螺母数量． 【详解】解：若分配名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 根据题意有， 故选∶D． 4．现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是（     ） A．18cm B．17cm C．16cm D．15cm 【答案】D 【分析】设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据直尺的长度列方程，然后解方程即可． 【详解】解：设长方形的宽为xcm，则长为2xcm， 根据题意，得：2x×4-1=2x+2×2x+3， 解得：x=2， 经检验：x=2，是方程的解，并符合题意， ∴直尺的长度是8x-1=8×2-1=15(cm)． 故选：D ． 【点睛】本题考查列一元一次方程解应用题，掌握列一元一次方程解应用题的方法与步骤，抓住图形直尺的长度不变列方程是解题关键． 5．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（    ） A．78 B．70 C．84 D．105 【答案】A 【分析】设“U”型框中的最下排正中间的数为x，则其它6个数分别为x-15，x-8，x-1，x+1，x-6，x-13，表示出这7个数之和，然后分别列出方程解答即可． 【详解】解：设“U”型框中的最下排正中间的数为x，则其他6个数分别为x-15，x-8，x-1，x+1，x-6，x-13， 这7个数之和为：x-15+x-8+x-1+x+1+x-6+x-13=7x-42． 由题意得： A、7x-42=78，解得x=，不能求出这7个数，符合题意； B、7x-42=70，解得x=16，能求出这7个数，不符合题意； C、7x-42=84，解得x=18，能求出这7个数，不符合题意； D、7x-42=105，解得x=21，能求出这7个数，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际运用，掌握“U”型框中的7个数的数字的排列规律是解决问题的关键． 6．小明在某月的日历上圈出了三个数a、b、c，并求出了它们的和为39，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻差1，根据题意列方程可解． 【详解】A：设最小的数是x，则x +（x +1）+（x +2）＝39，解得： x＝12，故本选项不符合题意； B：设最小的数是x，则x+（x+1）+（x+8）＝39，解得 x＝10，故本选项不符合题意； C：设最小的数是x，则x+（x+8）+（x+16）＝39，解得 x＝5，故本选项不符合题意； D：设最小的数是x，则x+（x+8）+（x+14）＝39，解得 x＝，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程在日历问题中的应用，明确日历中上下行及左右相邻数之间的关系是解题的关键． 7．某船顺流而下的速度是20千米/时，逆流航行的速度为16千米/时，则船在静水中的速度是(    )千米/时 A．2 B．4 C．18 D．36 【答案】C 【详解】设船在静水中的速度是x千米/时， 20−x=x−16， 解得x=18， 故选C. 8．一个两位数，十位上的数字是个位数字的2倍，将个位数字与十位数字调换，得到一个新的两位数，这两个两位数的和是132，则原来的两位数为(　　) A．48 B．84 C．36 D．63 【答案】B 【详解】分析：根据题意，可设原两位数的个位数为x，则其十位数为2x，根据数位知识，这个数可表示为10×2x+x，将个位数字与十位数字调换，得到一个新的两位数为10x+2x，由于这两个两位数的和是132，可得方程：（10×2x+x）+（10x+2x）=132．解此方程后即能求出这两个数是多少． 详解：设原两位数的个位数为x，可得： （10×2x+x）+（10x+2x）=132， 21x+12x=132， x=4， 4×2=8． 所以这两个两位数是84． 故选B． 点睛：此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，根据题目中等量关系列出需要的代数式，列出方程是解题的关键. 9．将连续的偶数2，4，6，8，10，…，排成如图所示的数表，用如图所示的平行四边形框去框住四个数，若把平行四边形框上下左右移动，保证可框住四个数，则框中的四个数的和可能是（    ）    A．80 B．148 C．212 D．262 【答案】C 【分析】设框住的四个数中，第一行的第一个数是，则第一行的第二个数是，第二行第一个数是，第二行第二个数是，则这四个数的和表示为，分别令等于四个选项的值，解方程即可得到答案． 【详解】解：设框住的四个数中，第一行的第一个数是，则第一行的第二个数是，第二行第一个数是，第二行第二个数是， 则， A、当时，解得，由于为偶数，故A选项不符合题意； B、当时，解得，由于30为第三行最后一个数，故B选项不符合题意； C、当时，解得，由图可知46为第五行第三个数，故C选项符合题意； D、当时，解得，由于为偶数，故C选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10．甲、乙两工程队开挖一条水渠各需10天、15天，两队合作2天后，甲有其他任务，剩下的工作由乙队单独做，还需多少天能完成任务？设还需x天，可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设还需x天能完成任务，根据题意可得方程： ， 故选：A． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识，关键是找出题目中的相等关系，工程问题的基本公式是：工作量＝工作时间×工作效率． 二、填空题 11．完成某项工程，甲单独做10天完成，乙单独做7天完成，现在由甲先做了3天，乙再参加合作，求完成这项工程总共用去的时间，若设完成此项工程总共用天，则列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设完成此项工程总共用天，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设完成此项工程总共用天， 根据题意列出方程，． 故答案为：． 12．某学校举办一次数学知识竞赛活动，竞赛题共有25道题，规定做对一道题得4分，不做或做错一道题扣1分．李伟最后竞赛成绩是90分，那么李伟一共做对了 道题． 【答案】23 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据正确的得分错误的得分最后成绩建立方程是关键．设李伟一共做对了x道题，则不做或做错了道，根据正确的得分错误的得分最后成绩建立方程求出其解即可． 【详解】解：设李伟一共做对了x道题，则不做或做错了道，由题意，得： ， 解得：． 答：李伟一共做对了23道题． 故答案为：23． 13．若三个连续的偶数的和是24，则它们的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的乘法，设中间的偶数为，则相邻的两个偶数分别为，，由题意得出，解方程即可得出三个偶数，再由有理数的乘法计算即可得出答案． 【详解】解：设中间的偶数为，则相邻的两个偶数分别为，， 由题意得：， 解得：， ，， 它们的积是， 故答案为：． 14．若代数式与的值互为相反数，则x= ． 【答案】 【详解】已知代数式与的值互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0可得+=0，解得x=. 15．在我国著名的数学书九章算术中曾记载这样一个数学问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设羊价为x钱，则可列关于x的方程为 ． 【答案】 【分析】设羊价为x钱，根据题意可得合伙的人数为或，由合伙人数不变可得方程． 【详解】设羊价为x钱， 根据题意可得方程：， 故答案为． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 三、解答题 16．一桶色拉油毛重8千克，从桶中取出一半油后，毛重4.5千克，桶中原有油多少千克？ 【答案】桶中原有油7千克． 【详解】试题分析：设桶中原有油x千克，取出一半油，即取出0.5x千克油，则剩下毛重为(8－0.5x)千克，根据等量关系：从桶中取出一半油后毛重4.5千克，列方程求解即可. 解：设桶中原有油x千克，取出一半油后，余下部分色拉油的毛重为(8－0.5x)千克，根据题意可列方程8－0.5x＝4.5. 解得x＝7. 答：桶中原有油7千克． 17．哈市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要天完成；若乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为万元，问甲队和乙队各得报酬多少钱？ 【答案】(1)天 (2)甲队的报酬为万元，乙队的报酬为万元 【分析】（1）根据题意分别算出甲队、乙队的工作效率，由此可求出甲乙合作的工作量，余下的工作量，根据工程问题的数量关系即可求解； （2）根据题意分别算出甲乙两队工作量的比，由此即可求解． 【详解】（1）解：甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成， ∴甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴甲乙两队同时施工天后余下的乙队做了天， ∴，解得，（天）， ∴余下的工程由乙队完成，乙队还需要天能够完成任务． （2）解：甲队的工作效率为，施工时间为天， ∴甲队的工作量为， 同理，乙队的工作效率为，施工时间为（天）， ∴乙队的工作量为， ∴甲队的报酬为（万元），乙队的报酬为（万元）， ∴甲队的报酬为万元，乙队的报酬为万元． 【点睛】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的数量关系是解题的关键． 18．阅读下列素材，解决水费及用水量问题： 素材1 为增强居民节水意识，某地城市居民同水收费实行“阶梯收费”机制，即根据家庭每月用水量的不同，将水价分为三个档次，用水量越多，水价越高． 素材2 该地城市居民应缴纳水费由两部分组成，第一部分为实际用水费用，第二部分为污水处理费：按实际用水量每吨收取1元． 素材3 实际用水费用收费标准 等级 用水量 单价（元/吨） 第一阶梯 不超过22吨的部分 3.5 第二阶梯 超过22吨，不超过30吨的部分 4.5 第三阶梯 超过30吨的部分 6 任务一 确定水费 小实家2024年12月用水24吨，则小实家2024年12月应缴纳水费______元． 任务二 确定污水处理费 小实家2025年1月应缴纳水费中，实际用水费用为104元，求小实家1月缴纳污水处理费多少元？ 任务三 确定用水量 如果小实家2024年7，8月份共用水60吨（8月份用水量比7月份用水量多），应缴纳水费共290.5元，则小实家7，8月份各用水多少吨？ 【答案】任务一：；任务二：小实家1月缴纳污水处理费元； 任务三：小实家7，8月份各用水吨，吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 任务一：根据题意列式计算即可； 任务二：设1月实际用水吨，列方程得，解方程即可； 任务三：设月份用水量为吨，则8月份用水量为吨，分两种情况讨论：当时，当时，分别列方程求解即可． 【详解】解：任务一：（元）， 污水处理费为：（元） ∴缴纳水费（元） 故答案为：； 任务二：设1月实际用水吨， 根据题意得：， 解得：， （元）， 小实家1月缴纳污水处理费元； 任务三：小实家7，8月实际用水费用为（元） 吨， 8月份用水量超过吨， 设月份用水量为吨，则8月份用水量为吨， 当时， 根据题意得：， 解得：， ， 舍去， 当时， 根据题意得， 解得：， （吨）， 小实家7，8月份各用水吨，吨． 19．根据题意，列出方程： （1）根据第六次全国人口普查统计数据，截至2010年11月1日0时，全国每10万人中只具有小学文化程度的人数为26779人，与2000年第五次全国人口普查相比减少了，2000年第五次全国人口普查时每10万人中约有多少人只具有小学文化程度？ （2）某商店对超过15000元的物品提供分期付款服务，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的形式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设第五次人口普查时每10万人约有x人只具有小学文化程度，根据全国每10万人中只具有小学文化程度的人数为26779人，与2000年第五次全国人口普查相比减少了，列出方程即可； （2）设用x个月付清，根据顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的形式购买价值19500元的电脑，列出方程即可． 【详解】（1）设第五次人口普查时每10万人约有x人只具有小学文化程度， 根据题意，得； （2）设用x个月付清， 根据题意，得． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，列出方程是关键． 20．某天运动员小伟沿平路从家跑步去银行办理业务，小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节省时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行，已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，已知小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟．这段坡路的总路程是多少米？ 【答案】这段坡路的总路程是2100米． 【分析】设这段坡路的总路程是米，则上坡路程是米，下坡路程是米，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】设这段坡路的总路程是米，则上坡路程是米，下坡路程是米， 根据题意得，， 解得． 答：这段坡路的总路程是2100米． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 21．“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹52.5吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获得100元，如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获得1000元；如果进行精加工，每天加工0.5吨，每吨可获得5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售，为此研究了两种方案： 方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利 元 方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利 元 问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由． 【答案】52500，78750，存在，销售后所获利润为102500元 【分析】由已知将毛竹全部粗加工后销售，即获利为：元；30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：0.5×30×5000+（52.5-0.5×30）×100元；由已知分析存在第三种方案，可设粗加工x天，则精加工（30-x）天，则得方程，解方程求出粗加工、精加工的天数，从而求出销售后所获利润． 【详解】解：由已知得：方案一，将毛竹全部粗加工后销售，则可获利为：1000×52.5 = 52500（元）， 故答案为：52500； 方案二，30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：（元）， 故答案分为：78750； 由已知分析存在第三种方案， 设粗加工x天，则精加工天，由题意得： ， 解得：， ∴天， ∴销售后所获利润为：（元） 故存在第三方案，所获利润102500元． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是依题意求方案一、方案二的利润，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成可设粗加工x天，则精加工（30-x）天列方程求解． 22．某县为鼓励失地农民自主创业，在2010年对60位自主创业的失地农民自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？ 【答案】解：方法一 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)="100000 " (3分) 解得：x =" 40 " (5分) ∴60 – x ="60" – 40 =" 20 " (6分) 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.                      （7分） 方法二 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，根据题意列出方程组： （3分） 解之得：                                       (6分) 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.                      （7分） 【详解】略 23．国庆假期期间，七（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到进士文化园游玩，如下图所示的是购买门票时，明明与他爸爸的对话．试根据图中的信息． 解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人和几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种购票方式更省钱？请说明理由． (3)购完票后，明明发现七（2）班的小涛等7名同学和他们的家长也来购票．若家长人数不超过6，则怎样购票更省钱？ 【答案】(1)一共去了6个成人和4个学生 (2)购买团体票更省钱，理由见解析 (3)当家长人数小于等于4时，买成人票和学生票更省钱；当家长人数大于4且小于等于6时，买团体票更省钱． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）设一共去了x个成人，则去了个学生，根据总价=单价×数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）先求出购买张团体票的钱数，再与比较后即可得出结论； （3）由题意可知，总人数不超过，所以由（2）可知，买团体票需要元，求出家长的人数再进行判断即可． 【详解】（1）解：设一共去了x个成人，则去了个学生． 由题意，得， 解得，则（个）． 故一共去了6个成人和4个学生， （2）解：如果买团体票，按13人计算，共需要费用（元）． 因为， 所以购买团体票更省钱， （3）解：由题意可知，总人数不超过13， 所以由（2）可知，买团体票需要312元． 设家长有a名．令， 解得． 故当家长人数小于等于4时，买成人票和学生票更省钱； 当家长人数大于4且小于等于6时，买团体票更省钱． 学科网（北京）股份有限公司 $