期中检测考点分类专题（选择填空20大考点分类精析）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

期中检测考点分类专题（选择填空篇） 考查范围：第1章：勾股定理 第2章：实数 第3章：坐标与位置 目录 一：选择题十大考点 1 【考点1】无理数的判定 1 【考点2】平方根与立方根的概念 2 【考点3】实数与数轴的对应关系 2 【考点4】无理数的估算 3 【考点5】勾股定理的应用 3 【考点6】勾股定理的逆定理 4 【考点7】点所在的象限判断 4 【考点8】点到坐标轴的距离 4 【考点9】关于坐标轴对称的点的坐标特征 5 【考点10】平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 6 二：填空题十大考点 6 【考点1】求一个数的平方根或立方根 6 【考点2】实数的性质应用 6 【考点3】勾股数的相关问题 6 【考点4】点的坐标特征填空 7 【考点5】两点间距离公式的应用 7 【考点6】坐标变化与图形变化规律 8 【考点7】二次根式有意义的条件 8 【考点8】最简二次根式和同类二次根式 8 【考点9】利用勾股定理求线段长度 9 【考点10】方位角与坐标的结合填空 9 一：选择题十大考点 【考点1】无理数的判定 【例题1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）下列是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）下列各数，，，，，（按规律排列），中是无理数的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【考点2】平方根与立方根的概念 【例题2】（24-25七年级下·四川成都·期末）下列说法正确的是（） A．的平方根是 B．的立方根为 C．的平方根是 D．0的立方根为0，但0没有平方根 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是8 B．的算术平方根是3 C．的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1 【考点3】实数与数轴的对应关系 【例题3】（24-25八年级下·山东·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（   ） A．3 B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点表示，点是原点．以点为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【考点4】无理数的估算 【例题4】（25-26八年级上·广东广州·开学考试）一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（   ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东汕尾·期末）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【考点5】勾股定理的应用 【例题5】（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为（    ）m． A．4 B．5 C．3 D． 【变式2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点6】勾股定理的逆定理 【例题6】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的长度比可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（    ） A．7，12，15 B．9，12，15 C．12，18，22 D．12，35，36 【考点7】点所在的象限判断 【例题7】（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）若点在x轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）若点在第三象限，则点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【考点8】点到坐标轴的距离 【例题8】（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）已知点P坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为1，则的值为（    ） A．1 B． C．1或3 D．2或3 【考点9】关于坐标轴对称的点的坐标特征 【例题9】（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，下列说法中正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 【变式2】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 【考点10】平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 【例题10】（24-25七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，则直线与轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与的取值有关） 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知点，则直线与x轴（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．不确定 【变式2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，已知线段和轴平行，且，若点的坐标为，则点的坐标可能是（  ） A． B．或 C． D．或 二：填空题十大考点 【考点1】求一个数的平方根或立方根 【例题1】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【变式1】（23-24七年级下·广东汕头·期中）的绝对值是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ； 【变式2】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 【考点2】实数的性质应用 【例题2】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）化简 ． 【变式1】（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）计算：的结果为 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）已知m，n是有理数，且，的值为 ． 【考点3】勾股数的相关问题 【例题3】（24-25七年级上·山东泰安·期中）在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 ． 【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当时，若存在“完美勾股三角形”，则 ． 【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为 ． 【考点4】点的坐标特征填空 【例题4】（2024·广东·模拟预测）已知点在第一、三象限的角平分线上，则点在第 象限． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如果，，点在轴上且三角形的面积是，点坐标是 ；若点在轴上，且为直角三角形，点坐标是 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，轴，，若点，点B在点A的上方，则点B的坐标是 ． 【考点5】两点间距离公式的应用 【例题5】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为 ． 【变式1】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）已知点，在y轴上有一点B，点B与点M的距离为5，则点B的坐标为 ． 【变式2】（23-24七年级上·山东威海·期末）在坐标系中，点，，的坐标分别为，，，那么点到直线的最短距离是 ． 【考点6】坐标变化与图形变化规律 【例题6】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是 ． 【变式1】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 【考点7】二次根式有意义的条件 【例题7】（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【变式1】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）使有意义的x的取值范围是 ． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则 ． 【考点8】最简二次根式和同类二次根式 【例题8】（23-24八年级上·四川成都·期末）化简： ． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期末）与最简二次根式为同类二次根式，则 ． 【变式2】（23-24八年级下·广东惠州·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【考点9】利用勾股定理求线段长度 【例题9】（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段练习）若直角三角形的两直角边、满足，则这个直角三角形的斜边 ． 【变式1】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AC＝10cm，BC＝24cm，则CD的长为 cm．    【变式2】（23-24）八年级上·广东深圳·期中）如图，AD是Rt△ABC的斜边BC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为 ． 【考点10】方位角与坐标的结合填空 【例题10】（2025八年级上·全国·专题练习）在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城——特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度向外延伸出八条主街，如图，是以八卦文化广场为点O绘制的简易地图，若点A的位置用表示，点B的位置用表示，则点C的位置可以表示为 ． 【变式1】（2025七年级上·四川成都·专题练习）8路公共汽车从体育场出发，向 行2千米到图书馆；8路公共汽车从和美小区返回起点站——中心医院，平均速度为29千米时，一共用时 分钟． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请你为游客介绍动物园和迷宫所在的方位．动物园在大门的 方向上，迷宫在大门的 方向上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测考点分类专题（选择填空篇） 考查范围：第1章：勾股定理 第2章：实数 第3章：坐标与位置 目录 一：选择题十大考点 1 【考点1】无理数的判定 1 【考点2】平方根与立方根的概念 2 【考点3】实数与数轴的对应关系 3 【考点4】无理数的估算 5 【考点5】勾股定理的应用 6 【考点6】勾股定理的逆定理 8 【考点7】点所在的象限判断 9 【考点8】点到坐标轴的距离 11 【考点9】关于坐标轴对称的点的坐标特征 13 【考点10】平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 15 二：填空题十大考点 16 【考点1】求一个数的平方根或立方根 16 【考点2】实数的性质应用 17 【考点3】勾股数的相关问题 18 【考点4】点的坐标特征填空 20 【考点5】两点间距离公式的应用 23 【考点6】坐标变化与图形变化规律 25 【考点7】二次根式有意义的条件 27 【考点8】最简二次根式和同类二次根式 28 【考点9】利用勾股定理求线段长度 29 【考点10】方位角与坐标的结合填空 30 一：选择题十大考点 【考点1】无理数的判定 【例题1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）下列是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，常见的无理数有三类：类；开方开不尽的数；虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个之间依次增加个．根据无理数的定义依次判断即可． 解：A、是有限小数，属于有理数，故A选项不符合题意； B、，是整数，属于有理数，故B选项不符合题意； C、是分数，属于有理数，故C选项不符合题意； D、，其中是无理数，因此也是无理数，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）下列各数，，，，，（按规律排列），中是无理数的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，无限不循环小数为无理数．分别根据无理数、有理数的定义逐个判定即可． 解：无理数有，，，共个， 故选：B． 【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的判断，无理数指无限不循环小数，熟记无理数的定义是解题关键． 根据无理数的定义判断即可． 解： 根据无理数的定义可得：是无理数； 故选：D 【考点2】平方根与立方根的概念 【例题2】（24-25七年级下·四川成都·期末）下列说法正确的是（） A．的平方根是 B．的立方根为 C．的平方根是 D．0的立方根为0，但0没有平方根 【答案】C 解：本题考查了平方根和立方根的定义． 根据平方根和立方根的定义逐一分析各选项的正误即可． 【分析】解：A．的平方根应为，故错误； B．的立方根是，故错误； C．，16的平方根是，故正确； D．0的立方根是0，且0的平方根也是0，故错误； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根． 根据平方根的定义解答A，再根据立方根的性质解答B，然后根据算术平方根的定义解答选项C，D． 解：因为，所以A不正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D不正确； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是8 B．的算术平方根是3 C．的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1 【答案】C 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，熟记平方根、立方根的定义逐项验证即可得到答案． 解：A、4的平方根是，选项说法错误，不符合题意； B、，的算术平方根是，选项说法错误，不符合题意； C、8的立方根是2，选项说法正确，符合题意； D、立方根是它本身的数是和0，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【考点3】实数与数轴的对应关系 【例题3】（24-25八年级下·山东·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上表示无理数， 先求出，再根据勾股定理求出，可得，然后求出，则答案可得. 解：∵， ∴. ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴C的横坐标为1． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．首先根据数轴上1，的对应点分别是点A和点B，可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答． 解：∵数轴上1，的对应点分别是点A和点B， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴点C表示的数为：． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点表示，点是原点．以点为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的坐标，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据正方形边长以及结合勾股定理求出，观察数轴得出点在点的左侧，再列式表示出点表示的数，即可作答． 解：正方形的边长是1， 正方形的对角线为， ， 观察数轴得出点在点的左侧， ∴点表示的数是． 故选：C． 【考点4】无理数的估算 【例题4】（25-26八年级上·广东广州·开学考试）一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（   ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出的取值范围．根据正方形的面积求出正方形的边长的取值范围，即可得出答案． 解：正方形的面积是11， 它的边长为， ， ， 估计它的边长大小在3和4之间． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·广东汕尾·期末）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；通过估算的值，再减去2，确定结果所在区间． 解：∵， ∴， ∴的值应在2和3之间； 故选B． 【考点5】勾股定理的应用 【例题5】（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为（    ）m． A．4 B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键． 将圆柱侧面展开，根据勾股定理求解即可． 解：将圆柱侧面展开如图所示，此时是底面周长的一半， 则， ∴蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 解：如图，根据题意，得，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 【考点6】勾股定理的逆定理 【例题6】（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的长度比可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐一判断即可，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数，解题的关键是明确勾股数是整数．根据勾股数的定义，需满足（其中c为斜边），且均为正整数。题目中给出为勾股数，需分情况讨论a的位置（直角边或斜边）． 解：分类讨论： ， 是直角边． 若a为直角边，则解得， 勾股数需为整数，故不符合题意，舍去； 若a为斜边，则，解得； 故答案为：A． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（    ） A．7，12，15 B．9，12，15 C．12，18，22 D．12，35，36 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，熟记一些常见的勾股数，可以快速地选出答案．根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入选项验证，满足条件的选项即是答案 解：A、 ，不符合题意； B、 符合题意； C、 ，不符合题意； D、，不符合题意． 故选B 【考点7】点所在的象限判断 【例题7】（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）若点在x轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，根据x轴上的点的纵坐标为0可得，解得，进而可得点P坐标． 解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）若点在第三象限，则点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数求出，，然后得到，，再根据各象限内点的坐标特征解答． 解：点在第三象限， ，， ，， 点在第四象限． 故选：D． 【考点8】点到坐标轴的距离 【例题8】（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）已知点P坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据点到两坐标轴距离相等的性质，可知点的横、纵坐标的绝对值相等，由此分两种情况（横纵坐标相等、横纵坐标互为相反数）列方程求解的值，进而得到点的坐标．本题主要考查点的坐标性质，熟练掌握“点到两坐标轴距离相等时，横、纵坐标的绝对值相等，分相等和互为相反数两种情况讨论”是解题的关键． 解：情况一：横、纵坐标相等 横、纵坐标相等时， 移项可得，即 解得． 把代入点坐标，，，此时点坐标为． 情况二：横、纵坐标互为相反数 横、纵坐标互为相反数时， 去括号得，合并同类项得 移项得，解得． 把代入点坐标，，，此时点坐标为． 综上，点的坐标是或． 故选：C ． 【变式1】（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、坐标与图形，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据点所在的位置即可得． 解：点坐标为， ， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点， ， 又点位于轴的负半轴， 点的横坐标为， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为1，则的值为（    ） A．1 B． C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】根据题意，得，去绝对值，解答即可． 本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解距离的内涵是解题的关键． 解：点到轴的距离为1， 则， 故或， 故选：C． 【考点9】关于坐标轴对称的点的坐标特征 【例题9】（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标的对称，利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案，解题的关键是熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 解：点关于轴的对称点的坐标为， 故选：． 【变式1】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，下列说法中正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了确定点的坐标及两点关于坐标轴对称，掌握两点关于坐标轴对称是关键． 根据各个点的坐标及两点关于坐标轴对称的点的特征即可完成． 解：A，点与点关于轴对称，故说法错误； B，点与点不关于轴对称，故说法错误； C，点与点关于轴对称，故说法正确； D，点与点不关于轴对称，故说法错误； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可． 解：如图，过B点作轴于点，则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 【考点10】平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 【例题10】（24-25七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，则直线与轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与的取值有关） 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点坐标的特征，解题的关键是根据平行线于x轴（垂直y轴）的直线上点纵坐标相同，即可得出结论． 解：∵的纵坐标相等， ∴直线轴，即直线轴， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知点，则直线与x轴（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据点的横坐标都为，则直线与轴平行，直线与x轴垂直，即可作答． 解：∵点 ∴点的横坐标都为， ∴直线与轴平行，直线与x轴垂直， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，已知线段和轴平行，且，若点的坐标为，则点的坐标可能是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，由于线段平行于轴，点的坐标为，故点的纵坐标也为，线段的长度为，因此点的横坐标与点的横坐标相差个单位，分左右两种情况计算即可，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． 解：∵线段平行于轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标也为， ∵线段的长度为， ∴点的横坐标与点的横坐标相差个单位， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标可能是或， 故选：． 二：填空题十大考点 【考点1】求一个数的平方根或立方根 【例题1】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出的值，再根据立方根求出的值，然后代入求值即可求出答案． 解：由题意可知：， 解得：， ， 解得， ， ， 的算术平方根为． 故答案为：12． 【变式1】（23-24七年级下·广东汕头·期中）的绝对值是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ； 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的相关性质，灵活准确的利用绝对值，立方根、算术平方根是关键．根据算术平方根、立方根、绝对值的概念进行求解． 解：的绝对值是； 的立方根是； ， 的算术平方根是， 故答案为：，，． 【变式2】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根以及算术平方根的计算，比较简单，注意运算时解方程要进行验算，确保计算的正确；区分算术平方根与平方根，一个正数的平方根有两个，但是算术平方根只有一个，并且是正的． 根据平方根的概念，可推出和的值，然后得到关于a和b的二元一次方程组，可解出a和b的值，再代入中得出的值即可得出答案． 解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是6， ∴， 解得：； ∴， ∴的平方根为； 故答案为． 【考点2】实数的性质应用 【例题2】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的大小比较、化简绝对值，先得到，再根据绝对值的性质化简绝对值即可求解． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）计算：的结果为 ． 【答案】7 【分析】此题考查了实数的混合运算，计算算术平方根、绝对值、零指数幂、乘方后，再计算加减法即可． 解： 故答案为：7 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）已知m，n是有理数，且，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 【考点3】勾股数的相关问题 【例题3】（24-25七年级上·山东泰安·期中）在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理逆定理，找出数据之间的关系是解题的关键．由勾股数组：，…，分析变化规律，即可获得答案． 解：由勾股数组：，…， ∴第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 第5组勾股数中间的数为：，即勾股数组， 第6组勾股数中间的数为：，即勾股数组． 故答案为：． 【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当时，若存在“完美勾股三角形”，则 ． 【答案】 或1 【分析】本题考查了直角三角形，都是各边长都是整数，利用的直角三角形来研究，对三边同时扩大倍数来计算，看是否满足题意即可求解． 解：设直角三角形的边长分别为，其中为直角边，且， 由题意知：， 利用特殊的勾三股四直角三角形来研究， 当，上式不成立， 依次将扩大相同的倍数， 当都扩大4倍时：，等式成立， 故此时满足条件的“完美勾股三角形”的周长为：； 当时，当时， ， 当时， ， 故答案为：，或1． 【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第4个勾股数组中间的数为：，即可得出结论． 解：由，，，…第四个为， 第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 故答案为：． 【考点4】点的坐标特征填空 【例题4】（2024·广东·模拟预测）已知点在第一、三象限的角平分线上，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，象限内点的符号特点，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数． 利用一、三象限的角平分线上点横纵坐标相等求出坐标，继而判断所在象限． 解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在第一象限， 故答案为：一． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如果，，点在轴上且三角形的面积是，点坐标是 ；若点在轴上，且为直角三角形，点坐标是 【答案】 或 或 【分析】对于求点坐标，根据三角形面积公式，以为底，到轴距离为高计算；求点坐标，分和两种直角情况，利用直角三角形性质或勾股定理求解．本题主要考查了坐标与图形性质以及直角三角形的性质，熟练掌握三角形面积公式和直角三角形的判定方法是解题的关键． 解： 设， ， ， 点到轴距离为， ， ， ， 或， 或， 或； 设， 情况一：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， 或（舍去）， ； 情况二：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ； 情况三：， 根据勾股定理，，即， 解得， 此时点与点重合，无法构成三角形，故舍去， 故答案为：或；或． 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，轴，，若点，点B在点A的上方，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的简单计算，理解平面直角坐标系的坐标特征是解题关键；因为轴，所以点B的横坐标与点A相同．又因为且点B在点A的上方，所以可求出点B的纵坐标，即可求出答案； 解：因为点，点B在点A的上方且， 所以点B的纵坐标为， 又轴， 所以A、B的横坐标相同，都为1， 所以点B坐标为． 故答案为：． 【考点5】两点间距离公式的应用 【例题5】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、坐标与图形，先根据，得出，，从而得出，进而得出，即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 解：，， ，， 以点为圆心，以长为半径画弧，交轴的负半轴于点， ， ， 在轴的负半轴， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）已知点，在y轴上有一点B，点B与点M的距离为5，则点B的坐标为 ． 【答案】或． 【分析】设点B的坐标为，根据两点之间距离公式得出，求出m的值即可． 解：设点B的坐标为，根据题意得： ， 解得：或， ∴点B的坐标为或． 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查了两点之间距离公式，解题的关键是熟练掌握公式，平面直角坐标系中两点、，则． 【变式2】（23-24七年级上·山东威海·期末）在坐标系中，点，，的坐标分别为，，，那么点到直线的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系，直角三角形的性质，路径最短问题，解题的关键是数形结合．根据题意在直角坐标系中找到点，，的位置，并依次连接三个点，根据坐标点求出、、的值，根据坐标可得是直角三角形，过点作于点，即为所求，利用等面积法求解即可． 解：如图，顺次连接，，三点，过点作于点，即为所求， 点，，的坐标分别为，，， 是直角三角形，，，， ， 即， 解得：， 故答案为：． 【考点6】坐标变化与图形变化规律 【例题6】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出也在一条直线上是解题关键． 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出，进而得出也在一条直线上，求出的长即可得出点坐标． 解：连接， 由题意可得：，则， 在和中 ， ， ， ∵在一条直线上， ∴也在一条直线上， ∴，则， ∴点坐标为：． 故答案为：． 【变式1】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，根据点与点关于直线对称，则纵坐标不变，点与点的中点的横坐标为，即可求解． 解：∵点，点与点关于直线对称， ∴点的坐标为 故答案为：． 【考点7】二次根式有意义的条件 【例题7】（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的值，进而求出的值，代入代数式即可求解． 解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于或等于0是解题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0列不等式求解即可． 解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则 ． 【答案】5或/或 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、代数式求值，先根据二次根式的被开方数是非负数求得x、y值，进而代值求解即可． 解：∵， ∴且， ∴，即，解得， ∴， ∴或， 故答案为：5或． 【考点8】最简二次根式和同类二次根式 【例题8】（23-24八年级上·四川成都·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．根据二次根式的性质解答即可． 解：． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期末）与最简二次根式为同类二次根式，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式定义，最简二次根式定义是解题的关键．化成最简二次根式后，根据被开方数相等解答即可． 解：， 与最简二次根式为同类二次根式， ， 故答案为： 【变式2】（23-24八年级下·广东惠州·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简根式和同类二次根式的定义，根据最简根式和同类二次根式的定义即可求解，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：． 【考点9】利用勾股定理求线段长度 【例题9】（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段练习）若直角三角形的两直角边、满足，则这个直角三角形的斜边 ． 【答案】/ 【分析】这是一道有关勾股定理、完全平方公式的解答题．把已知条件写成两个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得直角边，根据勾股定理即可求出斜边． 解：， ， 即， ， ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AC＝10cm，BC＝24cm，则CD的长为 cm．    【答案】13． 【分析】首先由勾股定理计算出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可． 解：在中，AC＝10cm，BC＝24cm 由勾股定理得：， 是斜边上的中线， ， 故答案为：13． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记定理是解题的关键． 【变式2】（23-24）八年级上·广东深圳·期中）如图，AD是Rt△ABC的斜边BC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为 ． 【答案】3． 【分析】根据已知结合翻折变换可得：∠BDE=90°、DE=CD，再根据D是BC中点进而推出BD=DE=CD=BC=3；接下来，再根据勾股定理求出线段BE的长，问题即可解答. 解：由题意知∠ADC=∠ADE=45°， ∴∠BDE=90°. ∵BD=DE=CD=BC=3（cm）， ∴BE==3（cm）. 故答案为3. 【点拨】本题考查了翻折变换，解题的关键是熟练的掌握翻折的性质. 【考点10】方位角与坐标的结合填空 【例题10】（2025八年级上·全国·专题练习）在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城——特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度向外延伸出八条主街，如图，是以八卦文化广场为点O绘制的简易地图，若点A的位置用表示，点B的位置用表示，则点C的位置可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，利用圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标是解题关键．根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案． 解：如图，点A，B的位置分别表示为，， ∴点C的位置可以表示为， 故答案为：． 【变式1】（2025七年级上·四川成都·专题练习）8路公共汽车从体育场出发，向 行2千米到图书馆；8路公共汽车从和美小区返回起点站——中心医院，平均速度为29千米时，一共用时 分钟． 【答案】 东偏北 30 【分析】本题考查方位角与路程、速度、时间的关系，解题的关键是确定方位以及根据公式时间路程速度计算时间． ①根据图中所给的方位信息，确定8路公共汽车从体育场到图书馆的行驶方向；②先计算从和美小区返回中心医院的路程，再根据速度公式求出时间，最后将时间单位换算为分钟． 解：8路公共汽车从体育场出发，向东偏北行2千米到图书馆； （小时）， 0.5小时分钟， 答：一共用时30分钟． 故答案为：东偏北，30． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请你为游客介绍动物园和迷宫所在的方位．动物园在大门的 方向上，迷宫在大门的 方向上． 【答案】 北偏东 北偏东 【分析】本题考查了方位角的知识，掌握方位角的定义以及角度的计算方法是解题的关键． 本题需要根据方位角的定义，结合图中给出的角度信息，确定动物园和迷宫相对于大门的方位． 解：①动物园：从图中可知，其在大门北偏东方向． ②迷宫：∵动物园北偏东，迷宫与动物园的夹角为 ∴从正北到迷宫的角度为 即在大门北偏东方向． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $