专项突破02 勾股定理的应用（知识技巧点拨+15种高频考察题型 共44题）期中培优讲练-2025-2026学年北师大版数学八年级上册考前冲刺

专项突破02 勾股定理的应用 （知识技巧点拨+15种高频考察题型 共44题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理的应用 1 知识点梳理02：勾股定理逆定理的应用 2 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理的应用 2 优选题型 考点讲练 3 题型1 求旗杆高度（勾股定理的应用） 3 题型2 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 5 题型3 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 7 题型4 勾股定理与网格问题 9 题型5 勾股定理与折叠问题 14 题型6 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 17 题型7 解决水杯中筷子问题（沟股定理的应用） 20 题型8 解决航海问题（勾股定理的应用） 22 题型9 求河宽（沟股定理的应用) 25 题型10 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 28 题型11 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 30 题型12 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 32 题型13 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 36 题型14 求最短路径（勾股定理的应用） 38 题型15 勾股定理逆定理的实际应用 40 知识点梳理01：勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. 【技巧点拨】勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 知识点梳理02：勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【技巧点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。 【技巧点拨】勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （ 为正整数）； 题型1 求旗杆高度（勾股定理的应用） 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图        说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 【答案】米 【思路引导】此题考查勾股定理的应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解． 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米 由图2可得，在中，， 解得，， 答：旗杆的高度为12米． 2．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为 ． 【答案】12 米 【思路引导】此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【规范解答】解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， ∴， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 故答案为：12米． 3．（24-25八年级上·江苏·期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是 ． 【答案】12米 【思路引导】根据题意可得米，米．在直角中，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 【规范解答】解：根据题意知：米，米． 在直角中，由勾股定理得： ， 故． 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故答案为：12． 题型2 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 4．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【答案】6.5 【思路引导】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案． 【规范解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m， ∴AC=m， ∴1.3÷0.2＝6.5s， 答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处． 【考点剖析】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 5．（21-22八年级上·全国·单元测试）校园内有两棵树，相距12m，一棵树高10m，另一棵树高5m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 【答案】13 【思路引导】画出图形如下所示，表示高的树，表示高的树，两棵树间距离，根据两点间线段最短可知，小鸟至少要飞的距离等于的长，利用勾股定理即可得. 【规范解答】根据题意画图如下：其中 两点间线段最短，所以题目所求即为 过D作，交AB于E 则 由勾股定理得 故答案为13. 【考点剖析】本题考查了直角三角形的勾股定理，以及两点之间线段最短的知识点. 6．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高9米，另一棵高4米，两树相距12米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意可知两树的垂直高度相差5米，水平距离相差12米，然后利用勾股定理求解即可得出答案． 【规范解答】解：两树的垂直高度相差5米，水平距离相差12米， 则根据勾股定理可得：两树顶之间的距离米． 故选C 题型3 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 7．（24-25八年级上·北京·期末）已知：如图，大风把一棵大树刮断，折断的一端恰好落在地面上的A处，量得，，试计算这棵大树的高度（结果精确到）． 【答案】这棵树约有高 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理计算得出的长，再由树高计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵在直角三角形中，， ∴． ∴， ∴， 树高． 答：这棵树约有高． 8．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，画出图形，由勾股定理求出的长，即可求解． 【规范解答】解：如图，由题意得：，，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， 即这棵树折断之前的高度为， 故选：B． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【思路引导】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【规范解答】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 题型4 勾股定理与网格问题 10．（24-25八年级上·浙江·期中）按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹，并分别写出结论） (1)如图，在中，是钝角． ①用尺规作的角平分线． ②用三角板作边上的高． ③用尺规作边上的垂直平分线． (2)以格点为顶点分别按下列要求画三角形： ①在图①中，画一个三角形，使它的边长都是有理数． ②在图②中画一个直角三角形，使它的边长都是无理数． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【思路引导】本题主要考查了角平分线、垂线及中垂线的基本作图和勾股定理的运用，要熟悉三角形的高、中线、角平分线的定义，还要熟悉角平分线、高、中线的作法，特别注意，钝角三角形钝角边上的高在钝角边的延长线上． （1）根据角平分线、垂线及中垂线的基本作图可得； （2）作、、的和、、的可得． 【规范解答】（1）解：（1）如图1，①即为所求； ②即为所求； ③直线即为所求； （2）（2）如图，即为所求； 如图，即为所求． 11．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习） 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了 的面积． (1)在图中，所画的的三边长分别是 ， ，= ，的面积为 ， 点到的距离为 ； (2)在图所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使 ，，，并求出的面积． 【答案】(1)，，，，； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． 借助网格图形与勾股定理分别计算出、、的长度，利用割补法求出的面积，再利用三角形的面积公式求出边上的高，即为点到的距离； 首先根据和的长度可知，，，借助勾股定理和网格图形画出和，连接，即可得到． 【规范解答】（1）解：如下图所示，借助网格， 可得：，，， 在的正方形中， ， 又， ， 解得：； 故答案为：，，，，； （2）解：，， 画图如下，其中． 12．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践． 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）x的值为． 【思路引导】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【规范解答】（1）解： ，，，， ，，， ， ， ； （2）解：借助网格，可知，， 边上的高为：； 故答案为：； （3）解：在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ． 题型5 勾股定理与折叠问题 13．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五、”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，那么三者之间的数量关系是：___________． (2)对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，定是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整： ___________（用含的式子表示） 又______________________． ___________． (3)如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长． 【答案】(1) (2)；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积正方形的面积；； (3)3 【思路引导】本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：在中，，，，， 由勾股定理得，， 故答案为：； （2）解： （用含的式子表示） 又正方形的面积四个全等直角三角形的面积正方形的面积， ， （3）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 14．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在纸片中，，将其折叠，使得点 C 与点 A 重合，折痕为，若， 则的周长为（   ） A．14 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是把握折叠的不变性． 先由勾股定理求出，再由折叠的性质得到，然后即可求解周长． 【规范解答】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴的周长为：， 故选：A． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或 【思路引导】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 分三种情形，当或或时，画出图形来解答． 【规范解答】解：当时， ∵将沿折叠到， ． ． ∴点A、、三点共线． ∵，D是的中点， ∴， ， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴． 解得． ． 当时，， ∵， ． ． 当时， ∵， ∴当时，四边形是矩形． ∴． 但， ∴矛盾． ∴不可能为． 综上，或． 故答案为：3或． 题型6 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 16．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长为的云梯，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离，．当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），即，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离是多少？ 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．在中，利用勾股定理，可求出的长，结合，可求出的长度，在中，利用勾股定理，可求出的长，再结合，即可求出结论． 【规范解答】在中，，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 答：它的底部B在水平方向滑动到的距离是． 17．（2025八年级上·辽宁·专题练习）如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)这个梯子的顶端A距地面有远 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【思路引导】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【规范解答】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这个梯子的顶端A距地面有远； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 18．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，则滑梯的水平距离的长度为 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，结合图形中的等量关系列出方程求解． 设滑梯的水平距离的长度为x米，由米可得米；因为将滑梯水平放置与一样长，所以米；在直角三角形中，根据勾股定理代入已知数据列出方程求解． 【规范解答】设滑梯的水平距离的长度为x米． 因为米，所以米． 又因为将滑梯水平放置与一样长，所以米． 在中，，米，根据勾股定理可得： 展开方程得： 移项化简得： 解得． 故答案为：4． 题型7 解决水杯中筷子问题（沟股定理的应用） 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 【答案】12 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 【规范解答】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺， 尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 20．（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 【答案】(1)最短路程是20cm (2)筷子的最大长度是cm 【思路引导】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。 【规范解答】（1）解：如图1所示：    图1 由题意得：，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴最短路程是20cm； （2）将筷子斜着放，    ∵，， ∴ ∴， 即筷子的最大长度是cm． 【考点剖析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。 21．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用．理解题意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度是解题的关键． 根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【规范解答】解：∵将一根长为的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， ∴当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，， 当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，， ∴h的取值范围是． 故答案为：． 题型8 解决航海问题（勾股定理的应用） 22．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的距离是，岛在港的什么方向？ 【答案】岛在港的北偏西． 【思路引导】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，由题意得，，，，，，则，由勾股定理得，所以，由勾股定理的逆定理推知，然后由方向角的定义作答即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图， 由题意得，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西． 23．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 【答案】走私艇最早在时分进入我国领海 【思路引导】先通过三边关系判断三角形形状，再利用三角形面积公式和勾股定理求出走私艇到领海线的最短距离，结合速度算出时间，进而确定最早进入我国领海的时间．本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握从实际问题中整理出几何图形并运用勾股定理相关知识求解是解题的关键． 【规范解答】解：设与相交于，则， ， 为直角三角形，且， ∵， ∴走私艇进入我国领海的最短距离是， 由，得海里， 由，得海里， （分）， 时分分时分． 答：走私艇最早在时分进入我国领海． 24．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【思路引导】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 题型9 求河宽（沟股定理的应用) 25．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【规范解答】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 26．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【规范解答】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 27．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【思路引导】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴水潭的宽度为米． 28．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】17 【思路引导】本题考查的是勾股定理的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【规范解答】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：17． 29．（21-22八年级下·河北石家庄·期中）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为 m，购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 7 420 【思路引导】根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需的钱数． 【规范解答】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m， 根据勾股定理得到：水平的直角边是=4(m)， 地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长， 则购买这种地毯的长是3+4=7(m)， 则面积是2×7=14 (m2)， 总钱数是14×30=420（元）． 故答案为：7；420． 【考点剖析】本题考查了勾股定理，生活中的平移现象，正确计算地毯的长度是解决本题的关键． 题型10 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 30．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图所示的长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米．若一只蚂蚁从点出发沿着长方体的表面爬行到棱的中点处．则蚂蚁需爬行的最短路程是 厘米． 【答案】 【思路引导】先把长方体展开，分类讨论，分别根据勾股定理求出AM的长比较即可． 【规范解答】解：长方体部分展开如图所示，连接AM，则线段AM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程， 根据已知数据可得，AN=4cm，MN=4cm， AM=， 如图， 如图， 最短距离为 故答案为：． 【考点剖析】此题考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间，线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解． 题型11 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 31．（21-22八年级上·广东茂名·阶段练习）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速 【思路引导】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键． 【规范解答】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 32．（21-22八年级上·四川眉山·期中）某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    【答案】超速了，理由见解析，每小时超速了12千米 【思路引导】首先根据题意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【规范解答】解：小汽车超速了，理由如下： 根据题意，得米，米，． 在中，根据勾股定理，得， ∴米 ∴小汽车行驶速度为(米/秒)(千米/时) (千米/时) 答，这辆小汽车超速了，每小时超速了12千米． 【考点剖析】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 33．（24-25八年级下·四川眉山·期中）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 【答案】这辆小汽车超速了． 【思路引导】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速． 【规范解答】解：根据题意：∠ACB= 90° 由勾股定理可得： BC=米 40米= 0.04千米， 2秒=小时； 0.04÷= 72千米/时> 70千米/时； 所以超速了． 【考点剖析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可． 题型12 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 34．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，又，以台风中心周围以内为受影响区域．海港受台风影响吗？若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由． 【答案】海港受台风影响，台风影响该海港持续的时间是7小时． 【思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长；在上取点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【规范解答】解：如图所示，过点C作于D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴海港受台风影响； 如图所示，在上取点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 小时， 答：海港受台风影响，台风影响该海港持续的时间是7小时． 35．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 36．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【思路引导】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）过点C作于点D，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）在直线取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口，利用勾股定理得出的长，可得到的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【规范解答】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图，过点C作于点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，且， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图，在直线上取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴ 小时． 即台风影响该海港持续的时间为8小时． 题型13 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 37．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【规范解答】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为 ． 故答案为：． 38．（22-23八年级上·河南南阳·期末）为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 【答案】(1)见解析； (2)气站E距离A处． 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，可知点E在线段的垂直平分线上，即可得答案； （2）设，，得，，再利用解答即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，点E即为所求． （2）解：设， ∵， 又∵ ∴ 解得 ∴气站E距离A处． 39．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【规范解答】解：设，则， 由勾股定理得： 在中， ， 在中， ， 由题意可知：， 所以：， 解得：． 所以，应建在距点处． 故选：． 【考点剖析】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 题型14 求最短路径（勾股定理的应用） 40．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为 ． 【答案】13 【思路引导】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，H所在的长方形的长为圆柱的高15，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得的长． 【规范解答】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，H分别是，的中点， ∵底面周长是10， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁经过的最短距离为13． 故答案为：13． 41．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【规范解答】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 42．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？ 【答案】“海天”号沿北偏西方向航行 【思路引导】本题主要考查了勾股定理逆定理的实际应用，根据题意可求出的长，则可证明得到，根据“远航”号的航向得到的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，海里，海里， ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“远航”号沿北偏东方向航行， ∴， ∴， ∴“海天”号沿北偏西方向航行， 答：“海天”号沿北偏西方向航行． 题型15 勾股定理逆定理的实际应用 43．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)平方米 【思路引导】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用； （1）直角三角形中，利用勾股定理解出，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形； （2）由，结合三角形面积公式解答． 【规范解答】（1）解：直角三角形ABC中， ，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2） （平方米）． 44．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 【答案】南偏东度 【思路引导】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先计算出甲乙两船的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据C岛在A北偏东方向，可得B岛在A南偏东方向． 【规范解答】解：由题意得：甲船1小时的路程：（海里）， 乙船1小时的路程：（海里）， ∵， 即 ∴， ∵C岛在A北偏东方向， ∴ ∴B岛在A南偏东方向． ∴乙船航行的角度是南偏东方向． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破02 勾股定理的应用 （知识技巧点拨+15种高频考察题型 共44题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理的应用 1 知识点梳理02：勾股定理逆定理的应用 2 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理的应用 2 优选题型 考点讲练 3 题型1 求旗杆高度（勾股定理的应用） 3 题型2 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 4 题型3 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 5 题型4 勾股定理与网格问题 6 题型5 勾股定理与折叠问题 8 题型6 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 9 题型7 解决水杯中筷子问题（沟股定理的应用） 10 题型8 解决航海问题（勾股定理的应用） 11 题型9 求河宽（沟股定理的应用) 12 题型10 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 14 题型11 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 15 题型12 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 16 题型13 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 17 题型14 求最短路径（勾股定理的应用） 18 题型15 勾股定理逆定理的实际应用 19 知识点梳理01：勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. 【技巧点拨】勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 知识点梳理02：勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【技巧点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。 【技巧点拨】勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （ 为正整数）； 题型1 求旗杆高度（勾股定理的应用） 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图        说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 2．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为 ． 3．（24-25八年级上·江苏·期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是 ． 题型2 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 4．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 5．（21-22八年级上·全国·单元测试）校园内有两棵树，相距12m，一棵树高10m，另一棵树高5m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 6．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高9米，另一棵高4米，两树相距12米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 题型3 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 7．（24-25八年级上·北京·期末）已知：如图，大风把一棵大树刮断，折断的一端恰好落在地面上的A处，量得，，试计算这棵大树的高度（结果精确到）． 8．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 题型4 勾股定理与网格问题 10．（24-25八年级上·浙江·期中）按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹，并分别写出结论） (1)如图，在中，是钝角． ①用尺规作的角平分线． ②用三角板作边上的高． ③用尺规作边上的垂直平分线． (2)以格点为顶点分别按下列要求画三角形： ①在图①中，画一个三角形，使它的边长都是有理数． ②在图②中画一个直角三角形，使它的边长都是无理数． 11．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习） 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了 的面积． (1)在图中，所画的的三边长分别是 ， ，= ，的面积为 ， 点到的距离为 ； (2)在图所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使 ，，，并求出的面积． 12．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践． 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 题型5 勾股定理与折叠问题 13．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五、”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，那么三者之间的数量关系是：___________． (2)对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，定是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整： ___________（用含的式子表示） 又______________________． ___________． (3)如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长． 14．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在纸片中，，将其折叠，使得点 C 与点 A 重合，折痕为，若， 则的周长为（   ） A．14 B．16 C．17 D．18 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 题型6 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 16．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长为的云梯，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离，．当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），即，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离是多少？ 17．（2025八年级上·辽宁·专题练习）如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 18．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，则滑梯的水平距离的长度为 ． 题型7 解决水杯中筷子问题（沟股定理的应用） 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 20．（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 21．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 题型8 解决航海问题（勾股定理的应用） 22．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的距离是，岛在港的什么方向？ 23．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 24．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 题型9 求河宽（沟股定理的应用) 25．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 27．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 28．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 29．（21-22八年级下·河北石家庄·期中）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为 m，购买这种地毯至少需要 元． 题型10 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 30．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图所示的长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米．若一只蚂蚁从点出发沿着长方体的表面爬行到棱的中点处．则蚂蚁需爬行的最短路程是 厘米． 题型11 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 31．（21-22八年级上·广东茂名·阶段练习）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 32．（21-22八年级上·四川眉山·期中）某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    33．（24-25八年级下·四川眉山·期中）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 题型12 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 34．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，又，以台风中心周围以内为受影响区域．海港受台风影响吗？若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由． 35．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 36．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 题型13 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 37．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 38．（22-23八年级上·河南南阳·期末）为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 39．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A． B． C． D． 题型14 求最短路径（勾股定理的应用） 40．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为 ． 41．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 42．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？ 题型15 勾股定理逆定理的实际应用 43．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 44．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $