第16讲 相交线（知识清单+7必考题型）讲义-2025-2026学年苏科版七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

第16讲 相交线 题型梳理 题型方法 题型一 对顶角 题型二 垂直的定义 题型三 垂线的画法 题型四 垂线的基本事实 题型五 与垂直有关的计算 题型六 垂线段及点到直线的距离 题型七 垂线段最短 知识清单 知识点1．相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 知识点2．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点3．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 题型方法 【题型一】对顶角 【例1】（2023七年级上·江苏·专题练习）如图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．一般地，两条直线相交能形成两对对顶角．根据对顶角的定义分析即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知， 图中的和是对顶角， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（2022七年级上·江苏·专题练习）下列说法中，正确的是（　　） A．有公共顶点，并且相等的角是对顶角 B．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角 C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D．互补的两个角不可能是对顶角 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义和性质进行判断即可． 【详解】解：A、有公共顶点，并且相等的角是对顶角，故此说法错误； B、如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角，故此说法正确； C、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故此说法错误； D、互补的两个角不可能是对顶角，故此说法错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了对顶角的定义和性质，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义和对顶角相等． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了对顶角相等，角的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 根据对顶角相等得到，再由角度和差计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：35． 【变式3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线相交于点O，，若，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查对顶角、角的和差，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据对顶角相等得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 【题型二】垂直的定义 【例2】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，射线、在内，，平分，下列说法正确的是（    ） A．与互余 B．与互余 C． D．图中共有5个不同的角 【答案】A 【分析】本题考查的是角的计数，角的和差运算，角平分线的定义，余角的含义，垂直的定义，掌握以上基础知识是解本题的关键；由角平分线的定义可判断B，结合垂直的定义可判断A，利用角的和差关系可判断C，把图中的角都表示出来可判断D． 【详解】解：∵平分， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴与互余，故A符合题意； ∵，， ∴，故C不符合题意； 图中有，，，，，共6个不同的角，故D不符合题意； 故选A 【举一反三】【变式1】（22-23七年级下·江苏南通·期中）如图，直线相交于点平分．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：平分， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，角平分线定义，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，点O是直线上的一点，平分，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，正确理解垂线的定义和角平分线的定义是解题的关鍵， 首先根据角平分线的定义得，再由垂直的定义可得，进而即可求得的度数． 【详解】解：平分，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角度的几何计算、垂直的定义等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据垂直的定义、角的运算可得，再设旋转运动时间为秒，则，，求出，然后分两种情况：①当时，则，②当时，则，分别求出、的大小，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设旋转运动时间为秒，则，， ∵射线从出发向终边旋转所需时间为（秒），射线从出发向终边旋转所需时间为（秒）， ∴， 当与在一条直线上时，则，即， 解得． ①如图1，当时，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴； ②如图2，当时，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 【题型三】垂线的画法 【例3】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)连接，则三角形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)5 【分析】本题主要考查了利用格点作平行线、垂线、三角形的面积等知识点，理解相关性质成为解题的关键． （1）通过平移画出平行线即可解答； （2）根据网格的结构特点画出垂线即可； （3）根据两点之间，线段最短作图； （4）利用割补法解答即可． 【详解】（1）解：如图，取格点，连接，即为所求： （2）解：如图，取格点，连接交线段于点，即为所求： （3）解：连接，相交于点P，则点P即为所求： （4）解：如图： ， 故答案为：5． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点、、、都在网格的格点上）：    (1)画直线交于点； (2)过点画一条直线，使得； (3)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析图； (2)见解析图； (3)见解析图． 【分析】（）连接，交于一点， 该点即为点； （）取格点，连接并延长，此时直线到直线的距离处处相等，； （）根据题意，得，由垂线段最短，得最小时， 最小，则取格点，连接，即作即可； 本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是正确理解复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 【详解】（1）如图，连接，交于一点，    ∴点为所求； （2）如图，取格点，连接并延长，此时直线到直线的距离处处相等，，    ∴直线为所求； （3）如图，    ∵点在直线上， ∴， ∵的值是固定不变的， ∴当最小时，最小，即时，最小， ∴取格点，连接，此时， ∴点为所求． 【变式2】（22-23七年级下·江苏·阶段练习）如图，已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点A画的垂线，垂足为E； (4)过点B画的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据线段的定义画图即可； （2）根据直线的定义画图即可； （3）根据网格的特点和垂直的定义求解即可； （4）根据网格的特点和平行线的判定求解即可． 【详解】（1）如图所示：线段即为所求； （2）如图所示：直线即为所求； （3）由网格的特点可得，， ∴线段即为所求； （4）由网格的特点可得，， ∴直线即为所求； 【点睛】本题考查了线段的画图、直线的画图、过直线外一点作垂线和平行线，利用网格的特点是解题关键． 【变式3】（21-22七年级上·江苏盐城·期末）如图，点A，B，C是同一平面内三个点，借助直尺、三角板、量角器按要求画图（以答题卡上印刷的图形为准），并回答问题： (1)画直线AC； (2)连接AB并延长到点D，使得； (3)画的平分线AE； (4)在射线AE上作点M，使得最小； (5)请画图并测量点C到直线AB的距离约为_________cm（精确到0.1cm）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5)作图见解析；1.2 【分析】（1）过A、C两点作直线AC． （2）如图所示，连接AB并延长，将三角板一直角边置于直线AB上，另一直角边与直线AC交于点F，用量角器测量的度数，在线段AB延长线上找一点D，使，根据等腰三角形的性质可得． （3）如图所示，用量角器测量的度数，用量角器的中心点与点A重合，0刻度线与射线AB重合，作点E，使,连接AE并延长，即可得到的平分线AE． （4）如图所示，连接BC，与射线AE交于点M，即可使得最小．（两点之间线段最短）． （5）如图所示，将直尺一直角边放在线段AB所在的直线上，另一直角边过点C，线段CC’的长度即为点C到直线AB的距离，经测量，约为1.2cm． 【详解】（1）如图所示，直线AC即为所求． （2）如图所示，连接AB并延长，将三角板一直角边置于直线AB上，另一直角边与直线AC交于点F，用量角器测量的度数，在线段AB延长线上找一点D，使 （3）如图所示，用量角器测量的度数，用量角器的中心点与点A重合，0刻度线与射线AB重合，作点E，使,连接AE并延长，即可得到的平分线AE． （4）如图所示，连接BC，与射线AE交于点M，即可使得最小．（两点之间线段最短） （5）如图所示，将直尺一直角边放在线段AB所在的直线上，另一直角边过点C，线段CC’的长度即为点C到直线AB的距离，经测量，约为1.2cm． 【点睛】此题考查了作图的问题，解题的关键是熟练运用借助直尺、三角板、量角器作图求解即可． 【题型四】垂线的基本事实 【例4】（22-23七年级上·江苏徐州·期末）下列结论正确的是（　　） A．两点之间直线最短 B．若，则点C是线段AB的中点 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【分析】根据线段的性质，对顶角的定义，垂线的性质等知识点分析判断． 【详解】解：A.两点之间，线段最短，故原来的说法错误； B.若AC＝BC，且A，B，C三点共线，则点C是线段AB的中点，故原来的说法错误； C. 对顶角相等，故原来的说法错误． D.同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线是正确的； 故选：D． 【点睛】考查了对顶角，线段的性质，两点间的距离以及垂线，熟记基础只记题目，掌握相关概念即可解题． 【举一反三】【变式1】在公路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和公路垂直的道路，这种方案是唯一的，其原因是（　　） A．经过两点有且只有一条直线 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】根据垂线的性质解答． 【详解】解：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，属于基础题，掌握相关概念即可． 【变式2】（22-23七年级上·江苏镇江·期末）如图，因为，，为垂足，所以和重合，其理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂直同一条直线的两条直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】直接利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，分析即可得出答案． 【详解】解：因为，，垂足都为点，所以和重合，其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线的性质，解本题的关键在熟练掌握垂线的性质． 【变式3】（20-21七年级上·江苏宿迁·期末）下面的说法中，不正确的是（　　） A．对顶角相等 B．同角（等角）的补角相等 C．“射线”和“射线”表示同一条射线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的性质、补角的定义、射线的定义、垂线的基本性质等知识点，根据对顶角的性质、补角的定义、射线的定义、垂线的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、根据对顶角的性质可知，对顶角相等，故本选项正确，不符合题意； B、同角（等角）的补角相等，故本选项正确，不符合题意； C、“射线”和“射线”不是同一条射线，故本选项错误，符合题意； D、根据垂线的基本性质可知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【题型五】与垂直有关的计算 【例5】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知OC是的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，先由角平分线的定义得到，再由垂线的定义得到，则． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，根据垂线的定义，即可得到的度数，依据角平分线的定义，即可得到的度数，由平角定义即可求解． 【详解】解：∵ 于点， ， 平分， ， ． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，，直线过点B，且平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线有关的计算，先结合，得，根据平分，得，即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， 故答案为： 【变式3】（24-25七年级上·江苏·期末）如图，直线、相交于点，平分，，垂足为点． (1)图中与互补的角是_________； (2)与相等吗？请说明理由； (3)若，求和的度数． 【答案】(1)，， (2)，见解析 (3)的度数为，的度数为 【分析】本题考查了垂线，余角和补角，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，然后利用平角定义可得，，，从而利用等量代换可得，，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用等角的补角相等可得，即可解答； （3）先利用平角定义可得，然后利用（2）的结论可得，从而利用角的和差关系可得，即可解答． 【详解】（1）解：平分， ， ，， ，， ， 图中与互补的角是，，， 故答案为：，，； （2）， 理由：， ， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， 的度数为，的度数为． 【题型六】垂线段及点到直线的距离 【例6】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图，，于D，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了垂直的定义，点到线段的距离，熟练掌握垂线段的长度是点到线段的距离是解题的关键．根据垂直的定义可判断①；根据垂线的性质可判断②不正确；根据点到直线的距离可判断③④⑤⑥． 【详解】解：①∵， ∴；故①正确； ②，由垂线的性质知与不垂直；故②错误； ③点C到的垂线段是线段的长度；故③错误； ④点A到的距离是线段的长度；故④正确； ⑤线段的长度是点C到的距离；故⑤正确； ⑥线段的长度是点C到的距离；故⑥错误； 综上：正确的是：，共3个； 故选A． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意从直线外一点引这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离求解． 【详解】解：选项A，B，C中，与不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意； 选项D中，于，则线段的长表示点到直线距离，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于 ；点到直线的垂线段是线段 ．    【答案】 【分析】本题考查垂线段、点到直线距离的定义，熟练掌握垂线段和点到直线的距离定义是解题的关键．根据“从直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段，叫作垂线段．”、“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．”即可得答案． 【详解】解：根据垂线段、点到直线距离的定义可知，点到直线的距离等于的长度，即为4．点到直线的垂线段是线段． 故答案为：4，． 【变式3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】（1）①图见解析；②图见解析 （2）直线； 【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离和垂线段最短求解即可． 【详解】解：（1）如图所示：①即为所求； ②如图所示：即为所求； （2）线段的长度是点到直线的距离，线段的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是， 故答案为：，，． 【题型七】垂线段最短 【例7】（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，点M在边上（不与B，C两点重合），连接，则的长可能是（   ） A．6 B．5.5 C．4.5 D．3 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，得到的取值范围，进行判断即可． 【详解】，，， ， ， 的长可能是， 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴ ∵， ∴可能为， 故选项D符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【答案】5 【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，， 当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，， ∴的最大值与最小值相差， 故答案为：5 【变式3】（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在三角形ABC中，，，垂足为点D，则这三条线段由长到短可排序为 ． 【答案】 【分析】根据垂线段最短，即可做出解答． 【详解】解：在三角形ABC中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了垂线段的性质，直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，点到直线的距离，关键是掌握点到直线距离的定义，垂线段最短． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可判断． 【详解】解：A、线段的长是点P到的距离，正确，故A不符合题意； B、由垂线段最短得到，，，因此最短，故B不符合题意； C、线段的长是点A到的距离，故C符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，正确，故D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了补角、余角的定义，对顶角的性质，以及角平分线和垂直的性质，解题的关键是结合图形在钝角内部）利用相关定义和性质逐一分析各选项． ​根据邻补角定义判断与的关系；结合和平分，推导与的和是否为；依据补角定义和图形中角的位置关系分析与相关角的补角关系；根据对顶角定义判断的对顶角． 【详解】解：∵、相交于点O平分，且在钝角内部， ∴． A、∵与组成平角，即， ∴与互为补角，此选项不符合题意； B、∵， ∴，即互为余角，此选项不符合题意； C、∵， ∴，互为补角，此选项不符合题意； D、∵的对顶角是，而非， ∴此选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对顶角的性质和角平分线的定义，牢记对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 根据对顶角的性质可证得，根据角平分线的定义可求得的度数，再根据即可求得． 【详解】∵直线、相交于点，， ． 平分， ． ． 故选：B. 4．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，，若比的2倍少，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程应用，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据同角的余角相等得到，设，列出方程，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 设 ∵比的2倍少， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）如图，P是的边上一点，过点P画所在直线的垂线，垂足为E，已知，则的长可以等于 （写一个你喜欢的值）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据“直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短，则， 的长可以等于3， 故答案为：3（答案不唯一） 【点睛】此题考查了垂线段的性质，熟记“直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”是解题的关键． 6．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，点在直线上，，垂足为，，则线段的长是点到直线 的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，进行判断即可，熟练掌握点到直线的距离是解此题的关键． 【详解】解：∵ ， 线段的长是点到直线的距离， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，直线、相交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角和邻补角，根据对顶角的性质并结合已知求出的度数，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 8．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 【答案】132 【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设，，根据，得，再根据角平分线的定义得，由平角的定义得，即，将代入可得，进而可求出，然后再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴． 故答案为：132． 三、解答题 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)；垂线段最短 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）借助网格，根据垂线的定义画图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可知，点A到线段PH的距离即线段AH的长． （3）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：点A到线段的距离即线段的长． 故答案为：． （3）解：线段、的大小关系是． 理由是：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 10．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线、相交于点，平分，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，对顶角性质等知识； （1）先根据角平分线的定义得出，再根据对顶角相等得出答案； （2）先求出，再得出，进而根据平角的定义得出答案． 【详解】（1）解：平分，， ， ； （2）解：，， ， ． 11．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）如图，在直线的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据． (1)在直线上取一点C，使线段最短．依据是　 　． (2)在直线上取一点D，使线段最短． 【答案】(1)图见解析，垂线段最短 (2)见解析 【分析】（1）过作，最短； （2）连接交于，这时线段最短． 【详解】（1）解：过作，根据：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． （2）连接交于，根据是：两点之间线段最短． 【点睛】此题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线与线段交于点O，线段，直线，是平角． (1)图中一共有　　　个直角和　　　条线段． (2)若，求的度数． (3)若去掉“线段，直线”这一条件，（2）所得的结果　　　（选填“成立”或“不成立”） 【答案】(1)， (2) (3)成立 【分析】本题考查的是垂直的定义、线段的认识及角的和差计算； （1）结合图象，根据垂直定义及线段的定义及表示即可求出结论； （2）先求出，再根据对顶角性质得出结论； （3）结合（2）的方法写出结论即可． 【详解】（1）解：∵线段，直线， ， 则图中一共有6个直角， 线段有：线段，共4条线段； （2）， ， ； （3）若去掉“线段，直线”这一条件，（2）所得的结果仍成立， 理由：， ， ，故（2）所得的结果仍成立． 13．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)图形见解析，的度数为或 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （）分两种情况：当在直线的上方时；当在直线的下方时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：分两种情况： 当在直线的上方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴； 当在直线的下方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 相交线 题型梳理 题型方法 题型一 对顶角 题型二 垂直的定义 题型三 垂线的画法 题型四 垂线的基本事实 题型五 与垂直有关的计算 题型六 垂线段及点到直线的距离 题型七 垂线段最短 知识清单 知识点1．相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 知识点2．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点3．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 题型方法 【题型一】对顶角 【例1】（2023七年级上·江苏·专题练习）如图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2022七年级上·江苏·专题练习）下列说法中，正确的是（　　） A．有公共顶点，并且相等的角是对顶角 B．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角 C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D．互补的两个角不可能是对顶角 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线相交于点O，，若，求的度数． 【题型二】垂直的定义 【例2】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，射线、在内，，平分，下列说法正确的是（    ） A．与互余 B．与互余 C． D．图中共有5个不同的角 【举一反三】【变式1】（22-23七年级下·江苏南通·期中）如图，直线相交于点平分．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，点O是直线上的一点，平分，，若，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 【题型三】垂线的画法 【例3】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)连接，则三角形的面积是 ． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点、、、都在网格的格点上）：    (1)画直线交于点； (2)过点画一条直线，使得； (3)在直线上画出点，使最小． 【变式2】（22-23七年级下·江苏·阶段练习）如图，已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点A画的垂线，垂足为E； (4)过点B画的平行线． 【变式3】（21-22七年级上·江苏盐城·期末）如图，点A，B，C是同一平面内三个点，借助直尺、三角板、量角器按要求画图（以答题卡上印刷的图形为准），并回答问题： (1)画直线AC； (2)连接AB并延长到点D，使得； (3)画的平分线AE； (4)在射线AE上作点M，使得最小； (5)请画图并测量点C到直线AB的距离约为_________cm（精确到0.1cm）． 【题型四】垂线的基本事实 【例4】（22-23七年级上·江苏徐州·期末）下列结论正确的是（　　） A．两点之间直线最短 B．若，则点C是线段AB的中点 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【举一反三】【变式1】在公路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和公路垂直的道路，这种方案是唯一的，其原因是（　　） A．经过两点有且只有一条直线 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式2】（22-23七年级上·江苏镇江·期末）如图，因为，，为垂足，所以和重合，其理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂直同一条直线的两条直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【变式3】（20-21七年级上·江苏宿迁·期末）下面的说法中，不正确的是（　　） A．对顶角相等 B．同角（等角）的补角相等 C．“射线”和“射线”表示同一条射线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【题型五】与垂直有关的计算 【例5】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知OC是的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，，直线过点B，且平分，则的度数为 ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏·期末）如图，直线、相交于点，平分，，垂足为点． (1)图中与互补的角是_________； (2)与相等吗？请说明理由； (3)若，求和的度数． 【题型六】垂线段及点到直线的距离 【例6】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图，，于D，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于 ；点到直线的垂线段是线段 ．    【变式3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 【题型七】垂线段最短 【例7】（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，点M在边上（不与B，C两点重合），连接，则的长可能是（   ） A．6 B．5.5 C．4.5 D．3 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【变式2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【变式3】（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在三角形ABC中，，，垂足为点D，则这三条线段由长到短可排序为 ． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，，若比的2倍少，那么是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）如图，P是的边上一点，过点P画所在直线的垂线，垂足为E，已知，则的长可以等于 （写一个你喜欢的值）． 6．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，点在直线上，，垂足为，，则线段的长是点到直线 的距离． 7．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，直线、相交于点，若，则的度数是 ． 8．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 三、解答题 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 10．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线、相交于点，平分，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 11．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）如图，在直线的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据． (1)在直线上取一点C，使线段最短．依据是　 　． (2)在直线上取一点D，使线段最短． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线与线段交于点O，线段，直线，是平角． (1)图中一共有　　　个直角和　　　条线段． (2)若，求的度数． (3)若去掉“线段，直线”这一条件，（2）所得的结果　　　（选填“成立”或“不成立”） 13．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $