精品解析：江西省赣州市大余县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年上学期九年级第一次延时限时训练数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将等号左边提公因式，用因式分解法即可求出方程的解； 【详解】解：原方程可化为：， 因此或， 所以，． 故选：D． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． 2. 抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后所得的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据“左加右减，上加下减”求出平移后抛物线的解析式，进而由解析式求出顶点坐标即可，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后所得的抛物线的解析式为，即， ∴所得的抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程． 先将常数项移到方程的右边，再在两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，可知Δ＞0，进一步求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且． 故选：B． 5. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断． 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式，顶点坐标为， A．∵，∴图象的开口向上，故此选项错误； B、对称轴为直线，故此选项错误； C、∵二次函数顶点坐标为，∴其最小值为1, 故此选项正确； D、∵，且对称轴为直线，∴当时，y随x增大而减小，故此选项错误． 故选：C． 6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由于抛物线有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， 解得． 故答案为：． 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是____________ 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：二次函数y=-的图象的对称轴为直线x=2，因为点B（，）到直线x=2的距离最小，点C（-2，）到直线x=2的距离最大，而抛物线的开口向下，所以．故答案为． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 9. 二次函数，其中，则y的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先将二次函数的解析式化为顶点式得出当时，二次函数有最小值为，再分别求出当时，，当时，，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，二次函数有最小值为， 当时，，当时，， ∴y的取值范围是 故答案为：． 10. 若(m2＋n2)(1－m2－n2)＋6＝0，则m2＋n2的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】设m2＋n2=x,把原方程变形,求得x,即可得出m2＋n2的数值. 【详解】设m2＋n2=x,则原方程为 x(1-x)+6=0, 整理得x2-x-6=0, (x-3)(x+2)=0 解得x1=3,x2=-2; ∵m2＋n2≥0, ∴m2＋n2=3. 故答案为:3. 【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程,注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法. 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理. 11. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是一元二次方程的应用．设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛， 依题意列方程得： ， 故答案为：． 12. 二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为__.  【答案】(1+,3)或(2,-3). 【解析】 【分析】△ABC是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＞0． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2， ∴AB边上的高为3， 又∵点C在二次函数图象上， ∴C的纵坐标为±3， 令y=±3代入y=x2-2x-3， ∴x=1±或0或2 ∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上， ∴x＞0， ∴x=1+或x=2 ∴C（1+，3）或（2，-3） 故答案为：（1+，3）或（2，-3） 【点睛】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为±3． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法求解一元二次方程，利用因式分解法求解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， 开平方，得， 解得：，； 【小问2详解】 ， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：，． 14. 如图是一元二次方程，在时的求根公式的推导过程． ， ， ， ， ， ， ． （1）回答横线上符号所代表的内容：①代表 ；②代表 ；③代表 ． （2）用配方法解方程． 【答案】（1），，． （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握其推导过程及配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据求根公式的推导过程即可求解． （2）利用配方法即可求解． 【小问1详解】 解： ． ． ∵． ． ． 故答案为：，，． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ∴． 15. “马家柚”是江西省上饶市广丰区的特色水果，今年柚子成熟，农业合作社以原价每千克20元对外销售，为了减少库存，同时回馈广大市民的厚爱，决定降价销售，经过两次降价后，售价为每千克16.2元．求平均每次降价的百分率． 【答案】平均每次降价的百分率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：，，（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． 16. 已知：二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 m 8 … （1）可求得m的值为__________； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）当时，则y的取值范围为____________________． 【答案】（1）3；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）先求得对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得； （2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式，利用待定系数法求函数解析式； （3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵抛物线过点（1，0），（3，0）， ∴抛物线对称轴为直线， ∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3）， ∴m＝3， 故答案为3； （2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣4x+3， 故答案为y＝﹣4x+3； （3）由抛物线的性质得当x=2时，y有最小值-1， 由图表可知抛物线y＝a+bx+c过点（0，3），（3，0）， 因此当0＜x＜3时，则y的取值范围为是﹣1≤y＜3． 【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的抛物线上找出点E，使． （2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F． 【答案】（1）如图1，延长BA交抛物线于点E，点E即为所求； （2）如图2，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）延长BA交抛物线于点E，则A、E两点的纵坐标相等，根据抛物线的对称性即可解答； （2）由（1）知AE∥CD、AC=DE知四边形ACDE是等腰梯形，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【详解】略 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、等腰梯形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握抛物线、等腰梯形及等腰三角形的轴对称性是解答本题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将二次函数的一般式化解为顶点式，则结果可得； （2）分别求出点的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点D的坐标的坐标为； 【小问2详解】 令，即， 解得：，， ∴点， ∴， 令，即， ∴点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数图像与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 19. 随着南昌成为新晋“网红”旅游城市，滕王阁已成为必去的经典景点，其纪念品很受游客喜爱，每个纪念币的进价为10元，某商家经过市场调查发现，每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）求y与x之间的函数关系式及x的取值范围； （2）若商家每天销售这种纪念币获利192元，则销售单价为多少元？ 【答案】（1） （2）18元或22元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式和解一元二次方程是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）直接利用（1）中所求，表示出总利润，进而解方程，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为（），由所给函数图象可知：， 解得， 当时，即， 解得， ∴， 故y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 解得：， 答：销售单价应为18元或22元． 20. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）当时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的基础知识． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： 解得； 【小问2详解】 由根与系数的关系可得：， 由可得 即，化简可得： 解得， 又∵ ∴ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC沿着 AD 方向平移，得到 △ABC ． （1）当两个三角形重叠部分的面积为 3 时，求移动的距离 AA ； （2）当移动的距离 AA 是何值时，重叠部分是菱形． 【答案】（1）AA =1或3；（2）AA =时，重叠部分是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，则A′D=4－x，△AA′E是等腰直角三角形，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解； （2）设AC与CD交于点F，当四边形A′ECF是菱形时，有A′E=A′F，设AA′=x，则A′E=x，A′D=4－x，再由A′F=A′D，可得方程，解之即得结果. 【详解】（1）设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，如图， ∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠A=45°， ∴△AA′E是等腰直角三角形， ∴A′E=AA′=x，A′D=AD－AA′=4－x， ∵阴影部分面积为3， ∴x(4－x)=3， 整理得，x2－4x+3=0， 解得x1=1，x2=3， 即移动的距离AA′=1或3. （2）设AC与CD交于点F，当四边形A′ECF是菱形时，A′E=A′F， 设AA′=x，则A′E=CF=x，A′D=DF=4－x， ∵△A′DF是等腰直角三角形， ∴A′F=A′D， 即， 解得， 即当移动的距离为时，重叠部分是菱形. 【点睛】本题考查了平移的性质、等腰直角三角形的性质和判定、正方形和菱形的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题的关键是抓住平移后图形的特点，利用方程思想解题． 22. 如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 【答案】（1） （2）小球M能飞过这棵树 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合及实际应用，求出抛物线的解析式是解题的关键 （1）根据顶点坐标设顶点式，将原点坐标代入，即可求解； （2）计算出树的顶点的纵坐标，以及时抛物线上对应点的纵坐标，比较大小即可． 【小问1详解】 解：小球到达的最高的点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过原点O， ， 解得， ， 即抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解： B点的横坐标为2，B点在斜坡上， B点的纵坐标为， 树高为4，树与y轴平行， 树的顶点的纵坐标为：， 将代入，得：， ， 小球M能飞过这棵树． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，， ∴， 即：的最小值为：； 【小问3详解】 解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级第一次延时限时训练数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后所得的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 5. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是______． 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是____________ 9. 二次函数，其中，则y的取值范围是______． 10. 若(m2＋n2)(1－m2－n2)＋6＝0，则m2＋n2的值为________． 11. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则可列方程为____________． 12. 二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为__.  三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解方程： （1）． （2）． 14. 如图是一元二次方程，在时的求根公式的推导过程． ， ， ， ， ， ， ． （1）回答横线上符号所代表的内容：①代表 ；②代表 ；③代表 ． （2）用配方法解方程． 15. “马家柚”是江西省上饶市广丰区的特色水果，今年柚子成熟，农业合作社以原价每千克20元对外销售，为了减少库存，同时回馈广大市民的厚爱，决定降价销售，经过两次降价后，售价为每千克16.2元．求平均每次降价的百分率． 16. 已知：二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 m 8 … （1）可求得m的值为__________； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）当时，则y的取值范围为____________________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的抛物线上找出点E，使． （2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标． （2）求的面积． 19. 随着南昌成为新晋“网红”旅游城市，滕王阁已成为必去的经典景点，其纪念品很受游客喜爱，每个纪念币的进价为10元，某商家经过市场调查发现，每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）求y与x之间的函数关系式及x的取值范围； （2）若商家每天销售这种纪念币获利192元，则销售单价为多少元？ 20. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）当时，求m的值． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC沿着 AD 方向平移，得到 △ABC ． （1）当两个三角形重叠部分的面积为 3 时，求移动的距离 AA ； （2）当移动的距离 AA 是何值时，重叠部分是菱形． 22. 如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $