精品解析：陕西省榆林市府谷县府谷中学2025-2026学年高二上学期第一次学情检测数学试卷A

2025年秋季学期高二年级第一次学情调研检测 数学试题（A卷） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义可得结果. 【详解】根根据空间中点的坐标确定方法知， 在空间中，点在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变. 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：. 故选：C. 3. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. B. C. l与α相交但不垂直 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由和的位置关系即可判断. 【详解】，， 所以， 所以， 故选：A 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以，所以， 所以. 故选：B. 5. 如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将用空间的基底表示即可. 【详解】由图可得： . 故选：C. 6. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 7. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案. 【详解】因为， ， ， 所以向量，，均与向量，共面，ABD均不合题意； 假设， 则，无解，所以与向量，不共面，C符合题意. 故选：C 8. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得． 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，，，则与不垂直，故C错误； 对于D，由，得，，，则，故D正确. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B. 若点在直线上，则点也在直线上 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线的截距、直线与直线平行与垂直关系，逐项判断即可. 【详解】直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为2，不相等，故A错误； 若点在直线上，则，所以点在直线上，故B正确； 当时， 与重合，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：BD 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，已知两个向量，，且， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C选项，若，且，，则，C对； 对于D选项，若，，则在上的投影向量为 ，D错. 故选：BC. 11. 如图，已知正方体边长为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成角为 B. 平面 平面 C. 三棱锥的体积是正方体的 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量法计算可判断ABD，根据三棱锥体积公式计算可判断C. 【详解】以D点为坐标原点，DA为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 所以，， 因为， 所以，即直线与所成角为，故A正确； ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，即， 在正方体中，平面的法向量可以为， 因为， 所以平面 平面不成立，故B错误； ，故C正确； 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，设， 则，解得，所以坐标为. 故答案为：. 13. 向量 且 ，则实数 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 14. 已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步聚. 15. 据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． （1）求经过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. 【小问2详解】 因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. 【小问3详解】 设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 16. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点.，分别在棱，上，，. （1）求线段的长. （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的长. （2）利用向量法求得与所成角的余弦值. 【小问1详解】 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，即线段的长为. 【小问2详解】 ，，，， 所以，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为． 17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 【答案】（1）证明：∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 18. 如图，在长方体中，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， ，，. 因为，， 所以，. 因为，平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）由（1）得是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，代入计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得是平面的一个法向量，. 设直线与平面所成的角为， 则， 故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在直三棱柱中，有，，， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， ，即． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，并标注出相关点坐标，应用向量法证明异面直线垂直即可； （2）由（1）求出平面与平面的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， ，，， 设平面的法向量为， 则即令，即， 设平面的法向量为， 则即令，即， ． 平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期高二年级第一次学情调研检测 数学试题（A卷） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. B. C. l与α相交但不垂直 D. 或 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 8. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B. 若点在直线上，则点也在直线上 C. 若，则 D. 若，则 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 11. 如图，已知正方体边长为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成角为 B. 平面 平面 C. 三棱锥的体积是正方体的 D. 直线与平面所成角的正弦值为 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______. 13. 向量 且 ，则实数 _____. 14. 已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步聚. 15. 据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． （1）求经过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 16. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点.，分别在棱，上，，. （1）求线段的长. （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 18. 如图，在长方体中，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $