第一章 专题一 因式分解的方法-【优+学案】2025-2026学年八年级上册数学课时通（鲁教版五四学制）

专题一因式分解的方法（答案3） 类型1分组分解法 类型2翩十字相乘法 1.先阅读下列材料，再因式分解。 3.分解因式x2十3x+2的过程，可以用十字相乘 要把多项式am+an十bm十bn因式分解，可以 的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别 先把它的前两项分成一组，并提出a;再把它的 写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常 后两项分成一组，并提出b,从而得到 数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下 a(m+n)+b(m+n).这时由于a(m十n)与 角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项 b(m十n)又有公因式(m十n),于是可提出公 系数.这样，我们可以得到x2十3x十2=(x十 因式(m+n),从而得到(m十n)(a十b).因此有 1)(x+2).请利用这种方法，分解因式2x2 am+an+bm+on=(am+an)+(bm+bn)= 3x-2= a(m十n)+b(m十n)=(m+m)(a十b). 1、 1 12 请用上面提供的方法分解因式： 1×2+1×1=3 (1)a2-ab+ac-bc; 4.因式分解：a2-3a-4= 5.用“十字相乘法”因式分解： (1)x2-5.x-36;(2)x2+3.x-18: (2)m2+5n-mn-51m. (3)2x2-3x+1; (4)6x2+5.x-6. 2.把下列各式因式分解： (1)4x2-2.x-y2-y; 6.(2023·上海青浦区期末)因式分解：(x2 5x)2-16. (2)a2+b2-9+2ab. 优*学秦·课时通 拥类型3翻添（拆）项法 拥类型4雠换元法 7.我们已经学过多项式因式分解的方法有提公9.推理能力》某数学老师在讲因式分解时，为了 因式法和公式法，其实多项式的因式分解还有 提高同学们的思维能力，他补充了一道这样的 别的方法，下面介绍一种方法：“添（拆）项分组 题：对多项式(a2+4a+2)(a2+4a+6)十4进 分解法”. 行因式分解，有个学生解答过程如下： 例题： 解：设a2+4a=b x3+8=x3十2x2-2x2+8(添上2x2,再减去 则原式=(b十2)(b十6)十4…第一步 2x2,使多项式的值不变) =b2十8b十16…第二步 =(x3+2x2)一(2x2-8)(分成两组) =(b十4)2.…第三步 =x2(x+2)一2(x+2)(x一2)（两组分别因式 =(a2十4a十4)2.…第四步 分解) 根据以上解答过程回答下列问题： = (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (两组有公因式，再提公因式) 哪种方法？ (填选项) (1)请将上面的例题补充完整， A.提取公因式 (2)仿照上述方法因式分解：64x4十1. B.平方差公式 (3)若a,b,c是△ABC的三边长，且满足 C.两数和的完全平方公式 3a2十4b2-6a-16b十19=0，c为整数，试判断 D.两数差的完全平方公式 △ABC的形状，并说明理由. (2)对第四步的结果继续因式分解得到结果 为 (3)请你模仿以上方法对多项式(x2一6x)· (x2一6.x+18)+81进行因式分解. 8.把下列各式因式分解： (1)4.x4+1; 10.因式分解：(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16 (2)x4+4y4. 一八年级·上册·数学，色教版 15(2).x2-4x-5 =x2-4x+4-5-4 =(x-2)2-9 =(x-2+3)(x-2-3) =(x十1)(x-5). .x>5, .(x+1)(x-5)>0, .x2-4x-5>0. (3).a2+b2-2a-8b+17=0, .a2-2a+1+b2-8b+16=0, .(a-1)2+(b-4)2=0, .a-1=0,b-4=0, ∴a=1,b=4, .a+b=5. 17.解：(1)x2-a2+x十a=(x2-a2)+(x十a)= (x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1). (2)a.x+a2-2ab-bx+b2=(a.x-b.x)+(a2 2ab+b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x+ a-b). (3)原式=(a4+2a2b2+b4)-(2ab3+2a3b) =(a2+b2)2-2ab(a2+b2) =(a2+b2)(a2+b2-2ab) =(a2+b2)(a-b)2. .a2+b2=9,(a-b)2=1,.原式=9. 专题一因式分解的方法 1.解：(1)原式=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+ c(a-b)=(a-b)(a+c). (2)原式=(m2-mm)+(5n-5m)=m(m-n) 5(m-n)=(-5)(m-n). 2.解：(1)原式=(4x2-y2)-(2x+y)=(2x十y)· (2.x-y)-(2x十y)=(2x+y)(2x-y-1). (2)原式=a2+2ab+b2-9=(a+b)2-9=(a+b+ 3)(a+b-3). 3.(2x+1)(x-2) 4.(a+1)(a-4) 5.解：(1).x2-5.x-36=(x-9)(x+4). (2)x2+3.x-18=(x+6)(x-3). (3)2.x2-3.x+1=(2x-1)(.x-1). (4)6.x2+5x-6=(2x+3)(3.x-2). 6.解：(x2-5.x)2-16 =(x2-5.x)2-42 =[(x2-5.x)+4][(x2-5.x)-4] =(x2-5.x+4)(.x2-5.x-4) =(x-1)(.x-4)(x2-5.x-4). 7.解：(1)(x十2)(.x2-2x十4) (2)64.x+1=64x+16.x2+1-16.x2=(8x2)2+ 2·8x2·1+12-16.x2=(8.x2+1)2-(4x)2= (8x2+1+4x)(8.x2+1-4x). (3)△ABC是等腰三角形.理由如下： .3a2+4b2-6a-16b+19=0, ∴.3a2-6a+3+4b2-16b+16=0, ∴.3(a2-2a+1)+4(b2-4b+4)=0, ∴.3(a-1)2+4(b-2)2=0, ∴.a-1=0,b-2=0, ∴.a=1,b=2 a,b,c是△ABC的三边长， .b-a<c<b十a, .1<c<3. 又：c为整数， c=2, ..b=c=2, ∴△ABC是等腰三角形. 8.解：(1)原式=4x+4.x2+1-4x2=(2x2+1)2 4x2=(2x2+2x+1)(2x2-2.x+1). (2)原式=x4+4y4+4x2y2-4x2y2 =(x2+2y2)2-(2.xy)2 =(.x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy. 9.解：(1)C(2)(a+2) (3)设x2-6x=y, 则原式=y(y+18)+81 =y2+18y+81=(y+9)2 =(x2-6.x+9)2=(x-3)4. 10.解：设x2+3.x=y, 则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+ 6)(y-4)=(.x2十3.x十6)(x2十3x-4)=(.x 1)(x+4)(x2+3.x+6). 专题二因式分解的应用 1.解：(1)0.84×12+12×0.6-0.44×12= 12×(0.84+0.6-0.44)=12×1=12. (2)50.22-49.82=(50.2+49.8)(50.2- 49.8)=40. (3) 552-452 (55+45)(55-45) 992+198+1 992+2×99×1+12 100×10 100×101 (99+1)2 100×10010 (4)原式 0-21--)(-)-0) 01-2)(1+2)1-3)(1+3)01-4)· 1+-+)…(1-(+） 100 1011、101101 100-2×100-200: 2.A3.2023 4.解：4ab+4ab2-4a-4b=(4a2b+4ab2)-(4a+4b)= 4ab(a+b)-4(a+b)=4(a+b)(ab-1), 把a十b=-4,ab=2代入，得 原式=4×(-4)×(2-1)=-16. 5.C 6.解：28-1=(224-1)(224+1)=(212-1)(212+ 1)(224+1)=(2-1)(2+1)(212+1)(224+1)=63× 65×(212+1)×(224十1)，.这两个数为63和65.