第一章 因式分解 限时训练-【优+学案】2025-2026学年八年级上册数学课时通（鲁教版五四学制）

建议用时10分钟，实际用时 分钟 第一章因式分解 1因式分解(1)（答案P29) 1.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)a(x+y)=ax+ay; (2)x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1); (3)ax2-9a=a(x十3)(x-3); 0x+2+=+ 2.若二次项式2x2十bx-5可分解为(2x-1)(x十5)，求b的值. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1因式分解(2)（答案P29) 1.已知x2+2x+5是多项式x4十px十g的一个因式，求x4+px十g的另一个因式. 2.如果多项式6x2一kx一2因式分解后有一个因式为3x一2，求k的值. 一八年级·上册·数学，兰教版 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2提公因式法(1)（答案P29) 把下列各式因式分解： 4 (1)3a2y-3ay+6y2; (2)gcy3 27xy2 (3)2ab2-4a2b2-8a3b2; (4)-12x2y+18xy-15.xy2; (5)πr2h+πr3; (6)2xmy”-1一4xm-1y”(m,n均为大于1的整数). 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2提公因式法(2)（答案P29) 1.把下列各式因式分解： (1)-14abc-7ab+49ab2c; (2)-3a2x+6axy-3a. 2.利用因式分解的方法计算： (1)(-2)101+(-2)100+299: (2)29×20.14+72×20.14+13×20.14-20.14×14. 2》 优计学案~课时通一 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2提公因式法(3)（答案P29) 1.把下列各式因式分解： (1)2a(x-y)-6b(y-x);(2)(a-1)2-b(a-1);(3)2.x(y-x)+(x+y)(x-y). 12x+y=6, 2.不解方程组 求7y(x-3y)2-2(3y一x)3的值. x-3y=1, 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2提公因式法(4)（答案P30) 1.把下列各式因式分解： (1)3.x(m-n)-6y(n-m); (2)-5a2b3+20ab2-5ab; (3)(x+y)(x-y)-(x+y)2; (4)8a(x-y)2-4b(y-x). 2已知3江-y司xy=3,求6y-2xg的值 一八年级·上册·数学，兰教版 3》 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3公式法(1)（答案P30) 把下列各式因式分解： (1)-36+a2b2; (2)(x-1)2+2(x-5): (3)(x-2)2-4; (4)16x4-1; (5)(x+2y)2-(x-y)2; (6)(x+1)(x-4)+3.x. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3公式法(2)（答案P30) 1.把下列各式因式分解： (1)2x3-32x; (2)x”-xn+2; (3)(x-2a)3+(2a-x); (4)a2(a-b)+b2(b-a);(5)a(a2-1)-(a2-1); (6)x2-16+2(.x+4). 2计算-0-0-0-1-22 4》 优计学素~课时通一 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3公式法(3)（答案P30) 把下列各式因式分解： 10(x十4)(x+5)+4 (2)9-12a+4a2; (3)(2x-3y)2-2x(2x-3y)+x2; (4)(m-n)2+6(n-m)+9; (5)(a+b)2-4(a+b)+4: (6)4-12(y-x)+9(x-y)2. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3公式法(4)（答案P30) 1.把下列各式因式分解： (1)ab3-10a2b2+25a3b; (2)2.x2y+4.xy2+2y3; (3)-3x3+6x2y-3xy2; (4)(x+2y)2-6.x(x+2y)+9x2. 2.先阅读下面的内容，再解答问题. 【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2-6n十13的最小值. 解：m2+2mn+2n2-6n+13=(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)+4=(m+n)2+(n-3)2+ 4..(m十n)2≥0，(n-3)2≥0，.多项式m2+2mn十2n2-6n+13的最小值是4. 【解答问题】(1)例题解答过程中因式分解运用的公式是 (2)求多项式-2x2+4xy-3y2-6y+7的最大值. 一八年级·上册·数学·当教版 5 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3公式法(5)（答案P30) 把下列各式因式分解： (1)3m2n+18mn+27n; (2)2a2(b-2)-8b+16; (3)8(a2+1)-16a; (4)(m2-5)2+8(m2-5)+16; (5)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1); (6)(x-1)(x-3)+1. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3公式法(6)（答案P30) 1.已知m+4|与n2-2n+1互为相反数，把多项式(x2+4y2)一(m.xy十n)因式分解. 2.若a十6=-3a6=1,求2a6+a6+2ab的值. 3.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x2-6xy十9y2的值. 6 优计学案~课时通一若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ,.t= 5 15-3t,1=4 当5≤t≤10时，若四边形PQCD是平行四边形，则 PD=CQ, ∴.10-t=30-3t,∴.t=10(不合题意，舍去). 若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ, 5 .t=3t-15,.t=2 综上断述4的值为号或只或号 15 【通模拟】 1.B2.A3.C4.3605.①②③④ 6.9或10或11 7.解：设这个多边形的边数是n,由题意，得 4(n-2)×180°-360°=90. 1 解得n=12, 答：这个多边形的边数是12. 8.证明：如图所示，连接AC,交BD于点O,连接 OE,OF. D G B .四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC 点E,F分别是边AB,BC的中点， ..AE=BE,BF=CF ,.OEBC,OF∥AB. .四边形OEBF是平行四边形， ..EG=GF. 9.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AD=BC,∠BAD=∠DCB. △ABE和△CDF是等边三角形， .BE=AE=AB=CD =CF=DF,/BAE= ∠DCF=60°， ∴.∠DCB-∠DCF=∠DAB-∠BAE, 即∠DAE=∠FCB. (AD=CB, 在△ADE和△CBF中，∠DAE=∠BCF, AE=CF, .△ADE≌△CBF(SAS), .DE=BF.又，BE=DF, ∴.四边形BFDE为平行四边形 【通中考】 10.C11.C12.五13.1260 14.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..AB//CD,AB=CD, .∠B=∠DCE 在△ABC和△DCE中， (AB=DC, ∠B=∠DCE, BC=CE, .∴.△ABC≌△DCE(SAS). 限时训练 第一章因式分解 1因式分解(1) 1.解：(3)是因式分解，(1)，(2)，(4)不是因式分解. (1)是整式的乘法，故(1)不是因式分解. (2)没把一个多项式转化成几个整式积的形式， 故(2)不是因式分解. (3)把一个多项式转化成几个整式积的形式，故(3) 是因式分解. (④)+2+不是整式，放()不是因式分解， 2.解：(2x-1)(x+5)=2.x2+9x-5=2.x2+ bx-5, .b=9. 1因式分解(2) 1.解：设多项式x4十px十g的另一个因式为x2十 m.x十n,则(.x2+2x+5)(x2+mx十n)=x+px+q. 因为(x2+2.x+5)(.x2+m.x+n)=x4+(m+ 2)x3+(2m+n+5)x2+(5m+2n)x+5n,所以m+ 2=0,2m十n+5=0,解得m=-2,n=一1，所以这个 多项式的另一个因式是x2-2x一1. 2.解：设另一个因式为(ax十b). (3.x-2)(a.x+b)=3a.x2+(3b-2a)x-2b= 6.x2-kx-2, .3a=6,-2b=-2, ∴.a=2,b=1. ..k=2a-3b=1. 2提公因式法(1) 解：(1)原式=3y(a2-a+2y). 2)原式=言w(-号月 (3)原式=2ab2(1-2a-4a2). (4)原式=-3.xy(4x-6+5y). (5)原式=πr2(h+r). (6)原式=2xm-1y”-1(.x-2y). 2提公因式法(2) 1.解：(1)原式=-7ab(2c+1-7bc). (2)原式=-3a(ax-2xy+1). 2.解：(1)原式=-21o1十(-2)10+29 =299×(-22)+299X2+29 =29×(-22+2+1) =-299. (2)原式=20.14×(29+72+13-14)=20.14× 100=2014. 2提公因式法(3) 1.解：(1)原式=2(x-y)(a+3b). (2)原式=(a-1)(a-b-1). (3)原式=(y-x)(2x-x-y)=-(x-y)2. 2.解：7y(x-3y)2-2(3y-x)3=7y(x-3y)2+ 2(x-3y)3=(x-3y)[7y+2(x-3y)]= (x-3y)2(2x+y). 因为2x十y=6所以原式=12×6=6. x-3y=1, 2提公因式法(4) 1.解：(1)3x(m-n)-6y(n-m)=3.x(m-n)+ 6y(m一n)=3(m-n)(x+2y). (2)-5a2b3+20ab2-5ab=-5ab(ab2-4b+1) (3)(x+y)(x-y)-(x+y)2=-2y(x+y). (4)8a(x-y)2-4b(y-x)=4(x-y)(2a.x 2ay+b). 2.解：6.xy3-2x3y=2.x3y3(3x-y). 1 把3x-y=gxy=3代人，得 原式=2X8×日-号 3公式法(1) 解：(1)原式=(ab+6)(ab-6). (2)原式=x2-2x十1+2x-10=x2-9=(x+3)(x-3). (3)原式=(.x-2十2)(.x-2-2)=x(x-4). (4)原式=(4x2+1)(4x2-1)=(4x2+1)(2x+1)(2x-1). (5)原式=(x+2y+x-y)(x+2y-x+y)=3y(2x+y). (6)原式=x2-3.x-4+3x=x2-4=(x+2)(x-2). 3公式法(2) 1.解：(1)原式=2x(x2-16)=2.x(x+4)(x-4). (2)原式=x”(1-x2)=x”(1十x)(1-x). (3)原式=(x-2a)3-(x-2a)=(x-2a)[(x-2a)2 1]=(x-2a)(x-2a+1)(.x-2a-1). (4)原式=a2(a-b)-b2(a-b)=(a2-b2)(a-b)= (a-b)(a+b). (5)原式=(a2-1)(a-1)=(a+1)(a-1)(a 1)=(a+1)(a-1)2. (6)原式=(.x+4)(x-4)+2(x+4)=(x+4)(x 4+2)=(x+4)(x-2). 2.解：-201-是)1-)1-22） =(1+21-2(1+号)(1-号）(1+202a 1-2024） 4 2023、2025 2024×2024 =1×20252025 =2×2024-4048 3 公式法(3) 解：1)原式=+9x+20+(c+ (2)原式=(3-2a)2. (3)原式=(2x-3y-x)2=(x-3y)2. (4)原式=(m-n-3)2。 (5)原式=(a十b-2)2. (6)原式=[2+3(x-y)]=(2+3.x-3y). 3公式法(4) 1.解：(1)原式=ab(b2-10ab+25a2)=ab(b-5a)2. (2)原式=2y(x2+2.xy+y2)=2y(x+y)2. (3)原式=-3x(x2-2xy+y2)=-3x(x-y)2 (4)原式=(x十2y-3.x)2=(2y-2x)2= 4(y-x)2. 2.解：(1)完全平方公式 (2)-2x2+4.xy-3y2-6y+7 =-2x2+4xy-2y2-y2-6y-9+16 =-2(x-y)2-(y+3)2+16. -2(x-y)2≤0，-(y+3)2≤0， .多项式-2x2+4.xy-3y2-6y+7的最大值 是16. 3公式法(5) 1.解：(1)3m2n+18mn+27n=3n(m2+6m+9)= 3n(m+3)2. (2)2a2(b-2)-8b+16=2a2(b-2)-8(b-2)= 2(b-2)(a2-4)=2(b-2)(a+2)(a-2). (3)8(a2+1)-16a=8(a-1)2. (4)(m2-5)2+8(m2-5)+16=(m2-5+4)2= (m2-1)2=(m-1)2(m+1)2. (5)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1) =(y2-1)(x2+2x+1) =(y+1)(y-1)(x+1)2. (6)(x-1)(x-3)+1= x2-4.x+3十1=x2-4x+4=(x-2)2. 3公式法(6) 1.解：由题意，得m十4十(n2-2n+1)=0, 即m+4|+(n-1)2=0, /m+4=0, n-1=0, 解得n=一4， n=1. .(x2+4y2)-(m.xy+n) =x2+4y2+4xy-1 =(x+2y)2-1 =(x+2y+1)(x+2y-1). 2.解：当a+b=-3,ab=1时， ab(a2bab(a 原式=1 1 9 1×(-3)2= 2 3.解：.x2+y2-4x十6y+13=(x-2)2+(y+3)=0, ∴x-2=0,y+3=0,∴x=2,y=-3. 则原式=(x-3y)2=112=121. 第二章 分式与分式方程 1 认识分式(1) 1解：②⑤⑥⑧⑨是分式，①③④⑦是整式. 2.解：)x≠-1.(2)x≠3 4 (3)x≠士3. 1认识分式(2) 3 1.解：1)x=-2·(2)x=0.(3)x=-1. 2.解：1当2-3x=0时，分式无意义，即x=名， (2)y的值是零，即x一1=0且2一3.x≠0，解得 x=1.