第一章 因式分解 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年八年级上册数学课时通（鲁教版五四学制）

本章综合提升（答案P4) 本章识明纳 概念 把一个多项式化成几个 的形式，这种变形叫做因式分解 与整式乘 多项式 因式分解几个整式积的形式 法的关系 整式乘法 依据 am+bm+cm= 提公因式法 找公因式 提公因式 因 方法 步瞬 确定另一个因式 分 u2-62= 公式法 2±2ab+02= 一提：有公因式的先提公因式 二套：套用公式 步骤 三检查：检查因式分解的结哭是否分解彻底 简便计算 应用 求代数式的值 息想方法月纳 6 bb 6 bb 1.数形结合思想 b 数形结合思想是指从几何直观的角度，利用 几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的 ② 解决途径，或用数量关系研究几何图形的性质， 【变式训练1】模型观念》如图所示，六块纸 解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结 板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为α的 合起来，使问题得以解决的一种数学思想 正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为 链授亦章… 《- a,宽为b的矩形(a>b).观察图形，发现多项式 借助拼图解释平方差公式及完全平方公 a2+3ab+2b2可因式分解为 式，解释整式变形并直观地进行因式分解： 【例1】推理能力沙我们在学习代数公式 时，可以用几何图形来推理论证.受此启发，在学 2.整体思想 习因式分解之后，小明同学将图①一张边长为α 所谓整体思想，就是在解题时，从整体考虑 的正方形纸片剪去2个长为a、宽为b的长方形 问题，根据题目结构特征，把一组数或某个代数 以及3个边长为b的正方形之后，拼成了如图② 式看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整 所示的长方形.观察图①和图②的阴影部分，请 体结构、整体与局部的内在联系，获取解题途径 从因式分解的角度，用一个含有a,b的等式表示 利用这种思想方法，常可以化繁为简，化难为易. 从图①到图②的变化过程： 18 优社学泰·课时通一 “【链授亦章…一 (2)若x2-4x+y2+6y+13=0,求(x+ (1)在因式分解中将某些式子看成一个 y)224的值。 整体进行因式分解；(2)利用因式分解进行 (3)若a2-2a-8=0,求a的值. 计算或化简求值时，经常要将某些式子整体 代入求值. 例2】(2023·四川雅安期末改编)已知 a+b=2,则多项式a2-b2+4b+2025的值 为 【变式训练2】已知xy=2,x一3y=3,则 2x3y-12x2y2+18.xy3= 3.转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的 数学思想.在研究数学问题时，我们通常是将未 知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化 为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问 通模拟99>>99 题，将实际问题转化为数学问题. 1.(2024·泰安肥城期中)下列代数式变形中，属 “【学链接本章… 《 于因式分解的是() 利用因式分解进行变形转化，求解代数 A.m(m-2)=m2-2m 式的值，判断几何图形的形状等. .…y B.2m+4=2(m+2) 【例3】已知a2(b+c)=b2(a+c)=2023, 且a,b,c互不相等，则c2(a十b)-2024= n-2+=+ 【变式训练3】阅读下列材料： 2.(2024·淄博张店区期中)下列等式由左边至 配方法是初中数学中经常用到的一个重要 右边的变形中，属于因式分解且因式分解正确 方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮 的是( 助.所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个 A.a2-4b2=(a+4b)(a-4b) 完全平方式，变形一定是恒等的.例如：解方程 B.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x x2-4x十4=0，则(x-2)2=0,∴x1=x2=2.已 C.4xy2-4x2y-y3=y(4xy-4x2-y2) 知x2一2x+y2十4y+5=0,求x,y的值，则有 D.x2-5x+6=(x-2)(x-3) (x2-2x+1)+(y2+4y十4)=0，.(x-1)2+ 3.(2024·烟台芝罘区期中)下列因式分解正确 （y十2)2=0，解得x=1,y=一2.解方程x2- 的是( ) 2x-3=0,则有x2一2x+1-1-3=0,.(x A.ax+y=a(x+y) 1)2=4,解得x1=3,x2=一1. B.x2+x-2=x(x+1)-2 根据以上材料解答下列各题： C.2x2-x=x(2x-1) (1)若a2+4a+4=0,求a的值. D.x2-16=(x-4)2 一八年级·上册·数学，色教版 19 4.(2024·济宁任城区期中)下列多项式中，能用9.(2024·烟台芝罘区期中)因式分解： 完全平方公式分解的有() (1)2.x2y-8xy+8y; ①x2-4x+4;②9x2-3.x+1;③4x2+4x-1; ①25x-20y+16y回2+1-. (2)(m2-5)2+2(m2-5)+1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2023·淄博临淄区期中)若4x2一(k一1)x+ 9能用完全平方公式因式分解，则k的值 是() 10.(2024·济宁任城区月考)观察下列式子的因 A.13 B.13或-11 式分解做法： C.-11 D.无法确定 ①x2-1=(x-1)(x+1); 6.(2024·济宁任城区月考)一个长方形的长与 ②x3-1=(x-1)(x2+x+1): 宽分别为a,b,若周长为10，面积为5，则 ③x4-1=(x-1)(x3+x2+x+1) ab3+2a2b2+a3b的值为 (1)模仿以上做法，尝试对x5一1进行因式分 7.几何直观我们在学习许多代数公式时，可以 解：x5-1= 用几何图形来推理验证.如图所示，观察图①， (2)观察以上结果，猜想x”一1= a2-1=a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a+1). (n为正整数，直接写结果，不用验证) 接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解： (3)试求25+2+2+23+22十2+1的值. a3-1= a-1 ① e 8.(2024·泰安肥城期中)请将下列式子进行因 式分解： (1)n3(m-2)+n(2-m); 通中考》学9对 11.(2023·济宁中考)下列各式从左到右的变 形，因式分解正确的是() A.(a+3)2=a2+6a+9 (2)(a2+4)2-16a2. B.a2-4a+4=a(a-4)+4 C.5a.x2-5ay2=5a(x+y)(x-y) D.a2-2a-8=(a-2)(a+4) 12.(2023·淄博中考)因式分解：2a2-8b2= 20 优社学奉·课时通7.A8.A 9.解：不能构成三角形.理由：α2+b2十 cia+6+2-ac-灰=02-ac+子)十 6-c+)=0(。2)+6-)°=0 a-2c=0咀6-c=0,即a=且6=20 .a十b=c,∴.无法构成三角形. 10.证明：原式=-2x2(x2-6x+9)=-2x2(x-3)2. .-2.x2≤0，(x-3)2≥0， .一2x2(x一3)2≤0，.不论x取何实数，原式的 值都不会是正数. 11.解：(1)(b-a)(5a+b)5(a+b)(a-b) (2)(x-y+1)2(a+b-2)2 (3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1 =(n2+3n+2)(n2+3n)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2. 所以若n为正整数，则式子(n十1)(n十2)(n2+ 3n)+1的值一定是某一个正整数n2+3n+1的 平方. 本章综合提升 【本章知识归纳】 整式的积m(a十b十c)(a+b)(a-b)(a士b)2 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：利用代数式分别表示出图①，图②阴 影部分面积即可解答问题. a2-2ab-3b2=(a十b)(a-3b)解析：由题可知，题 图①阴影部分面积为a-2ab-3b2,题图②是长为 a十b,宽为a-3b的长方形，因此面积为(a十b)(a 3b). ,两个图形阴影部分面积相等， .a2-2ab-3b2=(a+b)(a-3b). 【变式训练1】(a+b)(a+2b) 【例2】思路分析：首先利用公式法将a2一b2因式分解， 再将a十b看成一个整体，充分化简运算. 2029 【变式训练2】36 【例3】思路分析：通过已知条件，找到a,b,c的关系： ab十ac=-bc,ac+bc=-ab,abc=-2023,即可获 得答案. -1解析：.a2(b+c)=b2(a十c), ..a'b+a2c-ab2-b2c=0, .ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0, .(a-b)(ab+ac+bc)=0. .a≠b, .a一b≠0， .∴.ab+ac+bc=0,即ab+ac=-bc,ac+bc=-ab. ,a2(b+c)=a(ab+ac)=2023, .∴.a(-bc)=2023, ..-abc=2023, .∴.abc=-2023, .c2(a+b)-2024=c(ac+bc)-2024=c(-ab) 2024=-abc-2024=-1. 【变式训练3】解：(1)直接配方，得(a十2)2=0，解得 a1=a2=-2. (2).x2-4x+y2+6y+13=0, .(x-2)2+(y+3)2=0, 解得x=2,y=一3. .(.x十y)2024=(2-3)-2024=(-1)-2024=1. (3)a2-2a-8=0, .(a-1)2=9, 两边开平方，得a-1=士3， ∴.a1=4,a2=-2. 【通模拟】 1.B2.D3.C4.B5.B6.125 7.a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)(a-1)(a2+a+1) 8.解：(1)原式=n3(m-2)-n(m-2) =n(m-2)(n2-1) =n(m-2)(+1)(n-1). (2)原式=(a2+4+4a)(a2+4-4a) =(a+2)2(a-2)2. 9.解：(1)原式=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2. (2)原式=(m2-5+1)2 =(m2-4)2=[(m+2)(m-2)]2 =(m+2)2(m-2)2. 10.解：(1)(x-1)(x4+x3+x2+x+1) (2)(.-1)(x"-1十x”-2+…十x+1) (3)根据上述规律，可得2一1=(2-1)(2+2+ 2+23+22+2+1), .26+2+2+23+22+2+1=27-1. 【通中考】 11.C 12.2(a+2b)(a-2b) 第二章分式与分式方程 1认识分式 第1课时认识分式 2S 1.B2.C3m+n 4.A5.B6.-3 7.解：0要使有意义，需2x-3≠0. 解得x≠1.5. 当1.5时二号有意义。 6(x-3)」 (2)要使x-12有意义，需1x-12≠0. 解得x≠士12. 当士12时二2有意义 （3)要使十6有意义，需x2+1≠0. x2+1 肖x为任意实数时，有意义， (4)要使x2-4x十4 1 意义，需x2-4x十4≠0. 即(x-2)2≠0，∴x≠2. 当x≠2时，x2-4x+4 1 有意义. 8.A