精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

建平县实验中学高二数学月考 第一卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数z满足，则为（    ） A. 2 B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 4. 已知平面，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 5. 在中，已知，，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于原点对称 D. 直线是的图象的对称轴 10. 在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 11. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是的，中点，G是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 点H到平面的距离为 D. 二面角的余弦值为 三、填空题 12. 已知向量满足，则__________. 13. “大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角，则塔高为____m． 14. 如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时，__________. 四、解答题 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A； （2）若，求的面积． 16. 如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为侧棱的中点，求证：平面； （3）设平面平面，求证：. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 18. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 19. 如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平县实验中学高二数学月考 第一卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数z满足，则为（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和模的概念即可计算． 【详解】由，得 ， 则， 故选：D 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，平方即可得出的值. 【详解】由题意，， ∴， 解得：． 故选：A. 3. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 4. 已知平面，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的性质、平行性的性质、面面平行的性质逐一判断即可. 【详解】A：当时，也可以满足，，因此本选项结论不正确； B：当时，直线可以是异面直线，因此本选项结论不正确； C：设过直线的平面与平面相交于直线， 根据直线与平面平行的性质定理可知，因为，且， 所以，而，所以，因此本选项结论正确； D：当时，可以成立，所以本选项结论不正确， 故选：C 5. 在中，已知，，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积和模的坐标表示求出，，，再由三角形的面积公式求解即得. 【详解】由，， 则，， ， 所以， 因，故， 则， 所以的面积为. 故选：A. 6. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件得到该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球，结合图象，根据等面积法，求得内切球的半径，即可求解. 【详解】如图为圆锥及圆锥内半径最大球的轴截面图，球心为，设球半径为，则，， 则，所以， ，由等面积法， 可得， 故选：C. 7. 如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，取的中点为，连接，则得，即异面直线AM和CN 所成角或其补角，求出相关边长，借助于，利用余弦定理即可求得. 【详解】 如图，连接，取的中点为，连接，因M、N分别是BC与AD的中点，故， 则即异面直线AM和CN 所成角或其补角，又因正四面体，则， 则，易知，则， 在中，由余弦定理，. 故选：A. 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接，，，.在正方体中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【详解】 取的中点，的中点，连接，，，，如图所示. 在正方体中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知，∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在正方形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值. 此时， 即的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题的解题关键是：根据平面分析出动点的运动轨迹，在三角形中利用平面几何即可求解. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于原点对称 D. 直线是的图象的对称轴 【答案】AC 【解析】 【分析】A项，由图象即可得出的值；B项，由图象得出周期的长度，求出周期，即可得出的值；C项，写出的表达式，得出的表达式，令得出，即得出关于原点对称；D项，将代入表达式，求出，写出的对称轴满足的方程，得出不存在整数使得时，，进而得出结论. 【详解】由题意及图得， 在中， ，，故A正确， ∴，，故B错误， ∴， ∵图像过， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴的图象关于原点对称，C正确； 当时，， 当直线满足时，为的对称轴， ∴不存在整数使得时，，即， 故D错误； 故选：AC. 10. 在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】在正三棱柱中，，又，故与不平行，A错误； 由题得，，， 所以，所以，B正确； 因为平面，平面，， 且在平面与平面的交线上，与不垂直， 所以平面与平面不垂直，C错误； 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，且，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，D正确． 故选：BD. 11. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是的，中点，G是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 点H到平面的距离为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由线面垂直的判定定理证明平面，即可得证；对B，由两两互相垂直，可得三棱锥的外接球即所在长方体的外接球，运算得解；对C，由三棱锥等体积，运算得解；对D，由题可得就是二面角的平面角，在中，运算得解. 【详解】对于A，，，，平面， 平面，又平面，，故A正确； 对于B，因为两两互相垂直，，， 所以三棱锥的外接球即所在长方体的外接球，如图， 所以外接球直径，则， 所以三棱锥的外接球的体积为，故B错误； 对于C，因为分别是的中点，可得，， 且，，，，， 设点到平面的距离为，则， ，解得，即点到平面的距离为，故C正确； 对于D，由，所以就是二面角的平面角， 在中，由，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知向量满足，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得，而， 则，解得. 故答案为：1 13. “大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角，则塔高为____m． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角和及正弦定理可求得，再由正切函数即可求解. 【详解】在中，由三角形内角和定理可得， 再由正弦定理得：， 再解直角三角形可得：， 故答案为： 14. 如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时，__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理，结合平行线的性质进行求解即可. 【详解】如图，连结交于点，连结. 因为，所以， 因为平面，平面平面平面， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而得解； （2）由余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，又， ，即，由，得. 【小问2详解】 由余弦定理知， 即，则，解得（负值舍去）， . 16. 如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为侧棱的中点，求证：平面； （3）设平面平面，求证：. 【答案】（1） 设，连接，因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2） 若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. （3） 因为，平面，平面，故平面. 又平面平面，平面，故 【解析】 【分析】（1）设，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； （3）根据线面平行的判定与性质证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）因为底面，平面， 所以， 又，， 所以平面， 而平面， 所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面； （2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 [方法一]：相似三角形法 由（1）可知． 于是，故． 因为，所以，即． 故四棱锥的体积． [方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法 由（2）知,所以． 建立如图所示的平面直角坐标系，设． 因为，所以，，，． 从而． 所以，即．下同方法一. [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，所以，，，，． 所以，，． 所以． 所以，即．下同方法一. [方法四]：空间向量法 由，得． 所以． 即． 又底面，在平面内， 因此，所以． 所以， 由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义， 得，即． 所以，即．下同方法一. 【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解； 方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长. 18. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，则； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用向量夹角和线面角之间的关系求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 设与平面所成角为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为. 19. 如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明：，，所以 又，， 又，，，. （2）证明：在直四棱柱中，平面，又平面，所以，， ，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量， 令，得，. 设平面的一个法向量，则，取. ，又平面与平面不重合， 平面平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）求出，即可得到，结合，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，即可证明； （3）设，即可表示出的坐标，设直线与平面所成角为，利用向量法求出，再根据二次函数的性质求出的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，为平面的一个法向量，， 则， 设， ，， 设直线与平面所成角为， ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $