第2章 整式的加减单元复习（全章知识点总结+14种题型举一反三）2025-2026学年数学七年级上册专题复习（新教材华东师大版）

第1章 有理数全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.代数式 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或字母也叫代数式（如、）。 书写规范：①数字与字母相乘，数字写在字母前，乘号可省略（如，不写)；②带分数化为假分数(如改为)；③除法写成分数形式(如改为)；④和差形式带单位时，整体加括号(如元)。 代数式求值：用具体数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算结果，步骤为“代入(注意符号、乘号还原)→计算”。 2.整式的基本概念 单项式：数或字母的积组成的代数式(如)，单独的数或字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数(如的系数为，的系数为)。 次数：所有字母的指数和(如的次数为，常数项次数为)。 多项式：几个单项式的和(如)。 项：组成多项式的每个单项式(如的项为、、，常数项为)。 次数：次数最高项的次数(如是二次三项式)。 整式：单项式与多项式的统称(分母含字母的式子不是整式，如)。 3.同类项与合并同类项 同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项(如与，常数项都是同类项)。 合并同类项法则：同类项的系数相加，字母及字母的指数保持不变(如)。 4.去括号与添括号法则 去括号：①括号前是“”，去掉括号和“”，括号内各项符号不变(如)；②括号前是“”，去掉括号和“”，括号内各项符号改变(如)。 添括号：①括号前是“”，括到括号内的各项符号不变(如)；②括号前是“”，括到括号内的各项符号改变(如)。 5.整式的加减 本质：去括号后合并同类项，步骤为“去括号→找同类项→合并同类项”(如)。 6.规律探索 数字规律：分析数列中相邻数的和、差、积、商或与序号的关系(如的第项为)。 图形规律：观察图形个数、边长等与序号的关系，用整式表示规律(如第个图形有个小正方形)。 二、重难点突破 1.重点突破 同类项判断：紧扣“两相同”(字母相同、相同字母指数相同)，与系数、字母顺序无关(如与是同类项，与不是)。 去括号符号变化：括号前是“”时，括号内每一项都要变号，避免漏变(如，不是)。 代数式求值：复杂代数式优先化简(如先合并同类项)，再代入计算；无法求单个字母值时，用整体代入(如已知，求，可化为)。 2.难点突破 整式加减中“不含某项”“与字母无关”问题：合并同类项后，令该项的系数为0(如代数式不含项，则，)。 规律探索：多列前3-5项，分析“序号”与“结果”的关系，用特殊值验证规律(如第1个图形有5个点，第2个有8个，第3个有11个，差为3，规律为)。 三、高频易错点警示 1.概念混淆 误将多项式当作单项式(如是多项式，不是单项式)； 错算单项式次数(如的次数是，不是或)； 漏算多项式的项(如有3项，不是2项，常数项是，不是)。 2.运算错误 去括号漏变号(如，易写成)； 合并同类项时字母指数改变(如，易写成)； 整式加减顺序混乱(应先去括号，再合并同类项，不是先合并再去括号)。 3.书写与代入错误 代数式书写不规范(如应写，应写)； 代入负数或分数时不加括号(如代入，应写，不是)。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】列代数式 1.核心知识点总结 紧扣题目中的“和、差、积、商、倍、分”等关键词(如“的3倍与的差”表示为)； 复杂关系需用括号明确运算顺序(如“与的和的平方”表示为，不是)。 2.高频考点梳理 结合实际场景列代数式(如价格、路程、图形周长/面积)； 含多个数量关系的代数式(如“比的2倍多3的数与的商”表示为)。 3.易错点警示 混淆运算顺序(如“减去的2倍”易写成，正确为)； 遗漏单位括号(如代数式为和差形式时，单位前需加括号，如千克)。 4.解题技巧拆解 第一步：圈出关键词(如“倍”“差”“平方”)，明确运算类型； 第二步：按“先读先写”原则列式，复杂关系用括号分层表示； 第三步：验证代数式是否符合实际意义(如路程不能为负，需确保式子合理性)。 【例题1】．（2024-2025•石家庄期末）用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 【变式题1-1】．（2024-2025•河口区期末）用代数式表示a与5的差的2倍，正确的是（　　） A．a﹣5×2 B．a+5×2 C．2（a﹣5） D．2（a+5） 【变式题1-2】．（2024-2025•海淀区校级月考）一种商品成本为a元，按成本增加23%定价，售出60件，可盈利 　 　 元（用含a的式子表示）． 【变式题1-3】．（2024-2025•上海校级月考）如图是一组有规律的图案，图案1由5颗棋子组成，图案2由8颗棋子组成，…，第n（n是正整数）个图案由 　 　 个棋子组成（用n的代数式表示）． 【题型2】代数式求值 1.核心知识点总结 求值步骤：“代入(用具体数值替换字母)→计算(按先乘方、再乘除、后加减的顺序)”； 代入时需还原乘号，负数/分数加括号(如代入，写)。 2.高频考点梳理 直接代入求值(已知字母具体值，如，求)； 间接代入求值(已知字母的关系式，如，求)。 3.易错点警示 代入时漏写乘号(如代入，易写成，正确为)； 负数平方计算错误(如代入，易写成，正确为)。 4.解题技巧拆解 直接代入：先化简代数式(若复杂)，再代入数值计算； 间接代入：将代数式变形为含已知关系式的形式(如)，再整体代入。 【例题2】．（2024-2025•海南一模）已知m＝1，n＝﹣2，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣3 D．4 【变式题2-1】．（2024-2025•重庆校级月考）若|a|＝3，|b|＝8，a＜b，则a+b为（　　） A．﹣11 B．﹣11或﹣5 C．5 D．11或5 【变式题2-2】．（2024-2025•贵州期末）已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的负整数，m，n互为倒数，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式题2-3】．（2024-2025•凉州区校级期末）若x﹣3y＝5，则式子2x﹣6y+2023的值为 　 　 ． 【题型3】单项式与多项式的概念辨析 1.核心知识点总结 单项式：数或字母的积，系数为数字因数，次数为所有字母指数和； 多项式：几个单项式的和，项数为单项式个数，次数为最高次项的次数。 2.高频考点梳理 判断单项式的系数与次数(如的系数为，次数为)； 判断多项式的项数与次数(如是四次四项式)。 3.易错点警示 忽略是常数(如的系数是，不是)； 错算多项式次数(如的最高次项是，次数为，不是)； 漏算常数项(如的常数项是，不是)。 4.解题技巧拆解 单项式辨析：先判断是否为“积”形式，再找数字因数(系数)、算字母指数和(次数)； 多项式辨析：先拆分为单项式(注意符号)，再数项数、找最高次项并算次数。 【例题3】．（2024-2025•自贡校级期末）下列说法正确的是（　　） A．单项式22x3y4的次数是9 B．不是单项式 C．x3﹣2x2y2+3y2是三次三项式 D．单项式的系数是 【变式题3-1】．（2024-2025•松山区期末）下列结论正确的个数是（　　） ①﹣1不是单项式； ②多项式5x3y﹣2xy﹣7是三次三项式； ③的系数是，次数是6； ④﹣22m3n的次数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-2】．（2024-2025•凤台县期末）单项式的系数是　 　 ，次数是　 　 ． 【变式题3-3】．（2024-2025•淄博期末）单项式的系数是　 　 ，次数是　 　 ． 【题型4】同类项的判断与相关计算 1.核心知识点总结 同类项需满足“两相同”：所含字母相同、相同字母的指数相同(与系数、字母顺序无关)； 同类项的应用：若两个单项式是同类项，可列方程求字母指数(如与是同类项，则，)。 2.高频考点梳理 判断两组代数式是否为同类项(如与是同类项，与不是)； 已知同类项求字母值(如与是同类项，求)。 3.易错点警示 只看字母相同，忽略指数(如认为与是同类项)； 忽略常数项是同类项(如与是同类项，可合并为)。 4.解题技巧拆解 第一步：列出两个代数式的字母及对应指数； 第二步：对比“字母是否完全相同”“相同字母的指数是否相等”，满足则为同类项； 第三步：若为同类项，列等式求字母值(如，，解得，)。 【例题4】．（2024-2025•西平县期末）已知单项式xyb+1与是同类项，则ab的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变式题4-1】．（2024-2025•洮北区期末）下列各组单项式中，为同类项的是（　　） A．a3与a2 B．﹣3与a C．2xy与2x D．与2a2 【变式题4-2】．（2024-2025•河口区期末）已知2a2mb3n与3a4b3是同类项，则（n﹣m）2025＝　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•三台县期末）已知A＝﹣2（a2+2b）﹣3ab，B＝﹣a2﹣2ab． （1）化简2A﹣3B； （2）若单项式3x|b|y2与﹣2x2ya是同类项，求2A﹣3B的值． 【题型5】合并同类项 1.核心知识点总结 法则：系数相加，字母及字母的指数保持不变； 步骤：先找同类项(可用不同符号标记)，再合并系数，最后整理结果。 2.高频考点梳理 直接合并同类项(如)； 含多重括号的合并(先去括号，再合并同类项，如)。 3.易错点警示 合并时改变字母指数(如，易写成)； 漏合并同类项(如易写成，未合并为)。 4.解题技巧拆解 第一步：去括号(若有)，按去括号法则处理符号； 第二步：标记同类项(如用“Δ”标项，“○”标项)； 第三步：合并系数(系数相加，符号随系数)，字母及指数不变； 第四步：按某一字母降幂(或升幂)排列结果(如，不写)。 【例题5】．（2024-2025•临沧开学）已知单项式2xm﹣2y3与﹣xnym能合并成一项，那么m，n的值分别是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-1】．（2024-2025•北关区校级期末）下列合并同类项正确的有（　　） A．2a+4a＝8a2 B．3x+2y＝5xy C．9a2b﹣9ba2＝0 D．7x2﹣3x2＝4 【变式题5-2】．（2024-2025•秦州区校级月考）先去括号，再合并同类项： （1）2y+（3x2﹣4y）﹣3（x2﹣y）； （2）1﹣3（2ab+a）+[1﹣2（2a﹣3ab）]． 【变式题5-3】．（2024-2025•肥城市期末）先去括号，再合并同类项： （1）； （2）3x2﹣[7x﹣（4x﹣3）﹣2x2]； （3）先化简，再求值：2（2xy2﹣x2y）﹣（x2y+6xy2）+3x2y，其中x，y满足． 【题型6】去括号与添括号(提升) 1.核心知识点总结 去括号：“+”不变，“-”全变；添括号：“+”不变，“-”全变； 多重括号：可从内到外或从外到内去括号，每步只处理一层括号。 2.高频考点梳理 去多重括号(如)； 添括号变形(如将变形为)。 3.易错点警示 去括号时漏变某一项符号(如，易写成)； 添括号时括号前是“-”，括号内项未全变号(如变形为，不是)。 4.解题技巧拆解 去括号：分层处理，每去一层括号，检查一次符号(可先标括号内各项符号，再根据括号前符号调整)； 添括号：先确定括号位置和括号前符号，再将对应项放入括号，调整符号后验证(如，验证：，正确)。 【例题6】．（2024-2025•沐川县期末）下列去括号（或添括号）变形正确的是（　　） A．a﹣（b+c）＝a﹣b+c B．a+2（b+c）＝a+2b+c C．a+ab﹣b＝a+（ab+b） D．a﹣3b+3c＝a﹣3（b﹣c） 【变式题6-1】．（2024-2025•泰山区期末）下列各式由等号左边变到右边正确的是（　　） A．a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c B．（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+2y2 C．﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a+b+x﹣y D．﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x﹣3y+a﹣b 【变式题6-2】．（2024-2025•云州区期末）下列计算正确的是（　　） A．5x+3y＝8xy B．7a2b﹣4ab2＝3a2b C．x﹣（3y﹣2）＝x﹣3y﹣2 D．﹣2（x+y）＝﹣2x﹣2y 【变式题6-3】．（2024-2025•社旗县期末）在横线上填上适当的项：3﹣x2+3xy﹣y3＝3﹣　 　 ． 【题型7】整式的加减运算(提升) 1.核心知识点总结 本质：去括号+合并同类项，结果为最简整式(无同类项)； 步骤：①去括号(按法则)；②找同类项；③合并同类项；④整理结果。 2.高频考点梳理 整式的加减计算(如)； 整式的加减与括号结合(如计算，其中，)。 3.易错点警示 去括号时漏乘系数(如，易写成)； 合并同类项时系数计算错误(如，易写成)。 4.解题技巧拆解 第一步：若有已知整式(如、)，先代入表达式(如)； 第二步：去括号，注意系数乘括号内每一项(如)； 第三步：合并同类项(如)； 第四步：验证结果是否最简(无同类项，按字母降幂排列)。 【例题7】．（2024-2025•青山区期末）计算： （1）； （2）4（3a2b+ab2）﹣（3ab2﹣a2b）． 【变式题7-1】．（2024-2025•商南县期末）计算： （1）﹣22+|4﹣8|+24÷（﹣3）； （2）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]． 【变式题7-2】．（2024-2025•镇平县期末）计算： （1）； （2）﹣2（xy3﹣y2）+（3x3y﹣xy3）﹣2y2． 【变式题7-3】．（2024-2025•高青县期末）化简： （1）2x+1﹣（3﹣x）； （2）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）+2xy． 【题型8】整式化简求值(提升) 1.核心知识点总结 流程：“先化简(去括号、合并同类项)→再代入(用具体值替换字母)→最后计算”； 关键：化简后再求值，可简化计算(避免直接代入复杂式子)。 2.高频考点梳理 直接化简求值(如化简，再代入，)； 化简后含多个字母求值(如化简，再代入，)。 3.易错点警示 未化简直接代入(如直接代入到，计算繁琐易出错)； 代入时符号错误(如代入，易写成，正确为，若漏负号则错)。 4.解题技巧拆解 第一步：化简整式，确保结果最简(无同类项)； 第二步：整理代入的字母值(如，，明确正负)； 第三步：代入化简后的式子，按运算顺序计算(先乘方，再乘除，后加减)； 第四步：验证计算结果(可反向代入检查)。 【例题8】．（2024-2025•大武口区期末）先化简，再求值：2x2y﹣[2x2y﹣（2xy﹣3x2y）]+3xy2，其中x＝3，． 【变式题8-1】．（2024-2025•东西湖区期末）先化简，再求值：6y3+4（x3﹣2xy）﹣2（3y3﹣xy），其中x＝﹣2，y＝3． 【变式题8-2】．（2024-2025•纳溪区期末）已知A＝﹣（x2+2y）﹣xy，B＝﹣x2﹣xy． （1）化简A﹣3B； （2）若，求A﹣3B的值． 【变式题8-3】．（2024-2025•安康期末）已知关于x的多项式A、B，其中A＝2mx2+7x﹣3，B＝x2﹣nx+5． （1）化简3B﹣A； （2）若3B﹣A的结果与x的取值无关，求m、n的值． 【题型9】整式加减中“不含某项”与“与字母取值无关”问题（提升） 1.核心知识点总结 本质：均通过合并同类项后令对应项系数为0求解； 区别：①“不含某项”：仅目标项的系数为0（如不含项，令项系数为0）；②“与字母取值无关”：所有含该字母的项系数均为0（如与无关，令、项系数均为0）。 2.高频考点梳理 不含单一项（如代数式不含项，求）； 与单个字母无关（如代数式与无关，求、）。 3.易错点警示 合并同类项后漏找目标系数（如与无关，易漏项系数）； 解方程时符号错误（如，误解得）。 4.解题技巧拆解 第一步：化简整式（去括号、合并同类项）； 第二步：定位目标项（“不含某项”找单一项，“与字母无关”找所有含该字母的项）； 第三步：令对应项系数为0，列方程求解（如不含项则，与无关则）； 第四步：验证（代入原式，确认满足条件）。 【例题9】．（2024-2025•千阳县期末）多项式2x3﹣10x2+4x﹣1与多项式3x3﹣4x﹣5x2+3相加，合并后不含的项是（　　） A．三次项 B．二次项 C．一次项 D．常数项 【变式题9-1】．（2024-2025•无棣县期末）多项式3x2+4x+6与多项式相减后，结果不含x2项，则常数m的值为　 　 ． 【变式题9-2】．（2024-2025•衡东县期末）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝2a﹣3b，例如：1⊕2＝2×1﹣3×2＝﹣4． （1）求﹣2⊕3的值； （2）化简并求值：（x+3ay）⊕（x﹣2by），其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． （3）已知x2⊕a与3⊕ax2的差中不含x2项，求a的值． 【变式题9-3】．（2024-2025•钢城区期末）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，其中a+3＝0，则a＝﹣3． 【方法应用】 （1）当b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 时，关于x的多项式3x4﹣（b+5）x3+（c﹣1）x2﹣5x+1不含x3项和x2项． （2）已知A＝﹣3x2﹣2xy+3y+1，B＝2x2+2xy﹣1，且2A+3B的值与y的取值无关，求x的值． 【拓展延伸】 （3）淇淇用6张长为b，宽为a的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为S1，右下角部分的面积为S2．当AD的长发生变化时，5S2﹣2S1的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【题型10】整体代入求值(培优) 1.核心知识点总结 思想：将代数式中的某一部分看成一个整体(如把看成)，代入计算； 适用场景：无法求出单个字母值，但已知整体关系式(如已知，求)。 2.高频考点梳理 直接整体代入(如已知，求)； 变形后整体代入(如已知，求)。 3.易错点警示 整体变形时符号错误(如，易写成)； 漏乘系数(如，易写成)。 4.解题技巧拆解 第一步：观察已知关系式与所求代数式的联系(如已知，所求含，是2倍关系)； 第二步：将所求代数式变形为含已知整体的形式(如提取系数，凑出整体)； 第三步：代入整体值计算(如，代入)； 第四步：验证结果(反向变形检查，确保变形正确)。 【例题10】．（2024-2025•天宁区校级二模）若b＝a+2，则（b﹣a）3＝　 　 ． 【变式题10-1】．（2024-2025•河南校级三模）已知代数式x2+2y的值为2，则3x2+6y﹣1的值是　 　 ． 【变式题10-2】．（2024-2025•即墨区期末）已知x2﹣2x﹣3＝0，则代数式4x﹣2x2的值为 　 　 ． 【变式题10-3】．（2024-2025•郯城县期末）若a2﹣b＝﹣3，则代数式6+2a2﹣2b的值为　 　 ． 【题型11】整式与数轴/绝对值综合(培优) 1.核心知识点总结 数轴与整式：用数轴上点的位置判断字母正负(如在原点左侧，)； 绝对值与整式：根据字母正负去绝对值符号(如，则)，再化简整式。 2.高频考点梳理 数轴上字母关系化简整式(如，，化简)； 绝对值与整式加减结合(如已知，求)。 3.易错点警示 误判字母正负(如数轴上在左侧，易认为，但需结合原点位置，若在原点右侧，在左侧，则)； 去绝对值符号错误(如，易写成，正确为)。 4.解题技巧拆解 第一步：根据数轴或绝对值非负性确定字母正负、字母间关系(如，则，)； 第二步：去绝对值符号(根据“正数绝对值是本身，负数是相反数，0是0”)； 第三步：化简整式(去括号、合并同类项)； 第四步：代入计算(若有具体值)或整理结果。 【例题11】．（2024-2025•象州县期末）（1）计算﹣14+[2﹣（﹣3）]+1； （2）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，b与c互为相反数，化简代数式|b+c|+|a+c|﹣|a+b|（结果用c表示）． 【变式题11-1】．（2024-2025•青羊区校级月考）如图所示，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别为﹣3、﹣2、2，试回答下列问题． （1）A、C两点间的距离是　 　 ； （2）若E点到B点的距离是8，则E点表示的数是　 　 ； （3）若m，n互为相反数，p，q互为倒数，求的值． 【变式题11-2】．（2024-2025•牡丹江期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若数轴上有一点C，且3AC＝BC，求点C对应的数； （3）若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点．设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及PQ+MN的长度． 【变式题11-3】．（2024-2025•滑县期末）阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A，B要比较大小，只要计算A﹣B的值，即若A﹣B＞0，则A＞B； 若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： （1）比较大小：① 　 　 ；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示， ①则4a﹣3b 　 　 3a﹣4b；（填“＞”“＜”或“＝”） ②若，，用作差法比较代数式M与N的大小；并结合数轴自行赋予a，b合适的值，求出M﹣N的值． 【题型12】数字与图形规律探索(培优) 1.核心知识点总结 数字规律：分析数列与序号的关系(差、积、平方、倍数等)； 图形规律：观察图形个数、边长、面积等与序号的关系，用整式表示。 2.高频考点梳理 数字规律(如的第项为)； 图形规律(如第个图形有个小三角形)。 3.易错点警示 规律归纳不全面(如数列，易认为第项是，正确为)； 图形计数错误(如漏数重叠部分或边缘部分的图形)。 4.解题技巧拆解 数字规律：①列序号；②写对应数值；③找数值与的关系(差、积、乘方等)；④用表示规律，验证前3项； 图形规律：①数前3-5个图形的关键量(如个数、边长)；②列对应序号与关键量的表格；③找关系，用整式表示；④验证第4个图形，确认规律。 【例题12】．（2024-2025•沙坪坝区校级期中）用大小相同的“〇”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有5个“〇”，第②个图案有11个“〇”，第③个图案有20个“〇”，按此规律排列下去，则第⑥个图案中“〇”的个数为（　　） A．62 B．65 C．68 D．71 【变式题12-1】．（2024-2025•官渡区校级模拟）按一定规律排列的单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，﹣32x6，…，第n个单项式为（　　） A．（﹣1）n2nxn B．（﹣1）n+12nxn C．（﹣1）n+12n﹣1xn D．（﹣1）n2n+1xn 【变式题12-2】．（2024-2025•海珠区校级期末）如图所示，观察下列图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第n个图形中共有（　　）个三角形． A．2n+1 B．n+3 C．4n﹣1 D．4n+1 【变式题12-3】．（2024-2025•碑林区校级月考）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 则（a+b）10中，第三项系数为（　　） A．45 B．50 C．55 D．60 【题型13】整式加减的实际应用(培优) 1.核心知识点总结 步骤：“审题(找数量关系)→列整式(表示未知量)→整式加减(计算)→验证(符合实际)”； 常见场景：价格计算、路程问题、图形周长/面积、分段计费。 2.高频考点梳理 价格与数量(如买件单价为元的商品，再打8折，总费用为元)； 分段计费(如水费：不超过按元/，超过部分按元/，时，费用为元)。 3.易错点警示 列整式时遗漏条件(如分段计费漏算基础部分，易写成，正确为)； 单位不统一(如路程问题中速度单位是km/h，时间是分钟，未转化为小时)。 4.解题技巧拆解 第一步：审题，圈出关键信息(单价、数量、分段标准等)； 第二步：用字母表示未知量(如设用水量为)； 第三步：列整式(分情况讨论分段问题，如和)； 第四步：整式加减计算(如求总费用、差值)； 第五步：验证结果(代入特殊值，如，费用为元，手动计算验证：元，正确）。 【例题13】．（2024-2025•安岳县期末）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）当m＝5，n＝2时，大长方形的面积为 　 　 ； （2）请用含m，n的代数式表示下面的问题：大长方形的长：　 　 ；阴影A的面积：　 　 ；阴影B的周长 　 　 ； （3）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【变式题3-1】．（2024-2025•睢阳区期末）书籍是人类进步的阶梯!为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本数学课本如图1所示，其长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去x cm，封皮展开后如图所示，求： （1）小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含x的代数式表示） （2）当封面和封底各折进去2cm时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少cm2？ 【变式题3-2】．（2024-2025•纳溪区期末）今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定： 月用水量（吨） 单价（元/吨） 不大于10吨部分 1.5 大于10吨不大于50吨部分 2 大于50吨部分 3 （1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费； （2）记该用户六月份用水量为x吨，试用含x的代数式表示其所需缴纳水费y（单位：元）． （3）某用户某月交水费125元，该用户用水多少吨？ 【变式题3-3】．（2024-2025•成都期末）购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元/（kW•h），请你分析他购买、使用哪款空调综合费用（购买空调费用+使用空调的电费费用）较低．（根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起））． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/（kW•h） 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 （1）设空调的使用年限数为t（单位：年），求1级和3级能效空调的综合费用（单位：元）； （2）求使用年限是多少年时，两款空调的综合费用相同； （3）通过列式并计算说明哪一款空调的综合费用较低． 【题型14】整式加减的阅读材料题(培优) 【例题14】．（2024-2025•无棣县期末）（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图：若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似的我们可以把（a+b）看成一个整体．则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．请尝试解决： 若a2+2ab＝﹣3，b2﹣ab＝6，求的值． 【变式题14-1】．（2024-2025•克州期末）阅读下列材料，我们知道，5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，类似的，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）+3（a+b）﹣4（a+b）＝（5+3﹣4）（a+b）＝4（a+b），“整体思想“是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用； （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2的结果 　 　 ． （2）已知m+n＝15，3a﹣2b＝11，求2m+6a﹣（4b﹣2n）的值． （3）拓展探索：已知a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，求（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c）的值． 【变式题14-2】．（2024-2025•邗江区校级月考）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯+22020+22021的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+⋯+22020+22021①，则2S＝2+22+⋯+22021+22022②，②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．请仿照小明的方法解决以下问题： （1）2+22+⋯+220＝ 　 　 ； （2）求 　 　 ； （3）求（﹣2）+（﹣2）2+⋯+（﹣2）100的和．（请写出计算过程） 【变式题14-3】．（2024-2025•荔城区期末）【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的排列顺序如下： abcdefghijklmnopqrstuvwxyz 如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，我们可以用英语26个字母来编制密码．例如，对于密文“Ldpdvwxhqw”如果给一把破译它的“钥匙”是“x﹣3”（其中x代表字母表中的任意一个字母，﹣3表示将该字母换成向前移动3位所得到的字母），按这个规律就有Ldpdvwxhqw→Iamastudent．这样就能把密文“Ldpdvwxhqw”破译成明文“Iamastudent”，从而解读出密文的意思了，“x﹣3”就是密文到明文的破译密码钥匙． （1）根据材料填空：密文“krsh”可破译成明文　 　 ． 【类比研究】 （2）将26个英文字母a，b，c，⋯，z依次对应序号1，2，3，…，26，如图．对于密文“20 25 18”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为，则将密文破译成英文字母表示的明文为　 　 ． 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【研究拓展】 （3）小明沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a，b，c，⋯，z依次对应序号1，2，3，…，26，把密文“teacher”译成明文“jocidoi”，你能找到该密文到明文的破译密码钥匙吗？请写出它的破译密码钥匙． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．当x＝1时，代数式5x﹣3的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 2．下列说法正确的是（　　） A．1是单项式 B．5πR2的系数是5 C．23a2是5次单项式 D．x2y的系数是0 3．若a+2b＝3，则2a+4b的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 4．有两个依次排列的代数式：x2，x2﹣4x+4，用第二个代数式减去第一个代数式得到a1，将a1加8得到a2，将第2个代数式与a2相加得到第3个代数式，将a2加8得到a3，将第3个代数式与a3相加得到第四个代数式，……依此类推．则以下结论： ①a6＝﹣4x+44； ②当第2024个代数式的值为36时，x＝4042或4054； ③（n为正整数）．其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2024次输出的结果为（　　） A．27 B．9 C．3 D．1 二．填空题（共4小题） 6．若代数式是五次二项式，则a的值为　 　 ． 7．单项式的系数为　 　 ． 8．有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是 　 　 cm（用含n的式子表示）． 9．多项式x2y+3xy2﹣2xy+3的次数是 　 　 ． 三．解答题（共11小题） 10．已知|x+3|+|y﹣2|＝0，求x+2y的相反数． 11．已知有理数a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，有理数e和﹣2在数轴上表示的点相距3个单位长度，求的值． 12．先化简，再求值：（2xy2﹣3x2y）﹣3（xy2﹣x2y），其中x＝8，． 13．（1）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a+b|﹣|c﹣b|； （2）已知|x﹣3|+|y+5|＝0，求|x+y|的值． 14．观察下列三行数： 第一行：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，⋯； 第二行：1，4，9，16，25，⋯； 第三行：0，3，8，15，24，⋯． （1）第三行第8个数是　 　 ； （2）取每行的第10个数，请计算出这三个数的和是多少？ 15．小虎同学做一道题，已知两个多项式A，B，其中B＝3x2﹣3y﹣1，在计算A﹣B时，他误将“A﹣B”看成了“A+B”，求得的结果是5x2﹣y． （1）求多项式A； （2）若|x﹣1|与（y+1）2互为相反数，求A﹣B的值． 16．已知：A＝﹣2（mn﹣m2+2m）﹣[2m2﹣（4m+n2）+2mn]． （1）化简A； （2）若关于x的多项式x2+mx+nx2﹣3x+1的值与x无关． ①求m、n的值； ②求A的值． 17．如图，正方形ABCD的边长为a． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （2）当a＝6，b＝2时，求阴影部分的面积． 18．有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示． （1）在数轴上画出表示﹣a的点； （2）在横线上用“＞”或“＜”填空：a+b　 　 0，c﹣a　 　 0； （3）化简：|c|＝　 　 ．（结果用含c的式子表示） |a+b|＝　 　 ．（结果用含a，b的式子表示） |a﹣b|＝　 　 ．（结果用含a，b的式子表示） 19．用数学的眼光观察： 对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等． 用数学的思维思考： （1）设是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3整除．请将下面的验证过程补充完整： ＝　 　 +（a+b+c） ＝3　 　 +（a+b+c） 显然　 　 能被3整除，因此，如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除．用数学的语言表达： （2）设是一个四位数，若a+b+c+d可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 20．【项目式学习】 【项目主题】探究包装盒的打包方式 【项目背景】学习了课本中“项目式学习2：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【项目素材】某电商在包装商品时，用到长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm）的箱子，并发现有如图所示的甲、乙、丙三种打包方式（打包带不计接头处的长度）． 任务一：用含a、b，c的式子表示甲、乙、丙三种打包方式所用的打包带的长度，甲需要 　 　 cm，乙需要 　 　 cm，丙需要 　 　 cm． 任务二：当a＞b＞c时，三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.代数式 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或字母也叫代数式（如、）。 书写规范：①数字与字母相乘，数字写在字母前，乘号可省略（如，不写)；②带分数化为假分数(如改为)；③除法写成分数形式(如改为)；④和差形式带单位时，整体加括号(如元)。 代数式求值：用具体数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算结果，步骤为“代入(注意符号、乘号还原)→计算”。 2.整式的基本概念 单项式：数或字母的积组成的代数式(如)，单独的数或字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数(如的系数为，的系数为)。 次数：所有字母的指数和(如的次数为，常数项次数为)。 多项式：几个单项式的和(如)。 项：组成多项式的每个单项式(如的项为、、，常数项为)。 次数：次数最高项的次数(如是二次三项式)。 整式：单项式与多项式的统称(分母含字母的式子不是整式，如)。 3.同类项与合并同类项 同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项(如与，常数项都是同类项)。 合并同类项法则：同类项的系数相加，字母及字母的指数保持不变(如)。 4.去括号与添括号法则 去括号：①括号前是“”，去掉括号和“”，括号内各项符号不变(如)；②括号前是“”，去掉括号和“”，括号内各项符号改变(如)。 添括号：①括号前是“”，括到括号内的各项符号不变(如)；②括号前是“”，括到括号内的各项符号改变(如)。 5.整式的加减 本质：去括号后合并同类项，步骤为“去括号→找同类项→合并同类项”(如)。 6.规律探索 数字规律：分析数列中相邻数的和、差、积、商或与序号的关系(如的第项为)。 图形规律：观察图形个数、边长等与序号的关系，用整式表示规律(如第个图形有个小正方形)。 二、重难点突破 1.重点突破 同类项判断：紧扣“两相同”(字母相同、相同字母指数相同)，与系数、字母顺序无关(如与是同类项，与不是)。 去括号符号变化：括号前是“”时，括号内每一项都要变号，避免漏变(如，不是)。 代数式求值：复杂代数式优先化简(如先合并同类项)，再代入计算；无法求单个字母值时，用整体代入(如已知，求，可化为)。 2.难点突破 整式加减中“不含某项”“与字母无关”问题：合并同类项后，令该项的系数为0(如代数式不含项，则，)。 规律探索：多列前3-5项，分析“序号”与“结果”的关系，用特殊值验证规律(如第1个图形有5个点，第2个有8个，第3个有11个，差为3，规律为)。 三、高频易错点警示 1.概念混淆 误将多项式当作单项式(如是多项式，不是单项式)； 错算单项式次数(如的次数是，不是或)； 漏算多项式的项(如有3项，不是2项，常数项是，不是)。 2.运算错误 去括号漏变号(如，易写成)； 合并同类项时字母指数改变(如，易写成)； 整式加减顺序混乱(应先去括号，再合并同类项，不是先合并再去括号)。 3.书写与代入错误 代数式书写不规范(如应写，应写)； 代入负数或分数时不加括号(如代入，应写，不是)。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】列代数式 1.核心知识点总结 紧扣题目中的“和、差、积、商、倍、分”等关键词(如“的3倍与的差”表示为)； 复杂关系需用括号明确运算顺序(如“与的和的平方”表示为，不是)。 2.高频考点梳理 结合实际场景列代数式(如价格、路程、图形周长/面积)； 含多个数量关系的代数式(如“比的2倍多3的数与的商”表示为)。 3.易错点警示 混淆运算顺序(如“减去的2倍”易写成，正确为)； 遗漏单位括号(如代数式为和差形式时，单位前需加括号，如千克)。 4.解题技巧拆解 第一步：圈出关键词(如“倍”“差”“平方”)，明确运算类型； 第二步：按“先读先写”原则列式，复杂关系用括号分层表示； 第三步：验证代数式是否符合实际意义(如路程不能为负，需确保式子合理性)。 【例题1】．（2024-2025•石家庄期末）用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 【变式题1-1】．（2024-2025•河口区期末）用代数式表示a与5的差的2倍，正确的是（　　） A．a﹣5×2 B．a+5×2 C．2（a﹣5） D．2（a+5） 【变式题1-2】．（2024-2025•海淀区校级月考）一种商品成本为a元，按成本增加23%定价，售出60件，可盈利 　 　 元（用含a的式子表示）． 【变式题1-3】．（2024-2025•上海校级月考）如图是一组有规律的图案，图案1由5颗棋子组成，图案2由8颗棋子组成，…，第n（n是正整数）个图案由 　 　 个棋子组成（用n的代数式表示）． 【题型2】代数式求值 1.核心知识点总结 求值步骤：“代入(用具体数值替换字母)→计算(按先乘方、再乘除、后加减的顺序)”； 代入时需还原乘号，负数/分数加括号(如代入，写)。 2.高频考点梳理 直接代入求值(已知字母具体值，如，求)； 间接代入求值(已知字母的关系式，如，求)。 3.易错点警示 代入时漏写乘号(如代入，易写成，正确为)； 负数平方计算错误(如代入，易写成，正确为)。 4.解题技巧拆解 直接代入：先化简代数式(若复杂)，再代入数值计算； 间接代入：将代数式变形为含已知关系式的形式(如)，再整体代入。 【例题2】．（2024-2025•海南一模）已知m＝1，n＝﹣2，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣3 D．4 【变式题2-1】．（2024-2025•重庆校级月考）若|a|＝3，|b|＝8，a＜b，则a+b为（　　） A．﹣11 B．﹣11或﹣5 C．5 D．11或5 【变式题2-2】．（2024-2025•贵州期末）已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的负整数，m，n互为倒数，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式题2-3】．（2024-2025•凉州区校级期末）若x﹣3y＝5，则式子2x﹣6y+2023的值为 　 　 ． 【题型3】单项式与多项式的概念辨析 1.核心知识点总结 单项式：数或字母的积，系数为数字因数，次数为所有字母指数和； 多项式：几个单项式的和，项数为单项式个数，次数为最高次项的次数。 2.高频考点梳理 判断单项式的系数与次数(如的系数为，次数为)； 判断多项式的项数与次数(如是四次四项式)。 3.易错点警示 忽略是常数(如的系数是，不是)； 错算多项式次数(如的最高次项是，次数为，不是)； 漏算常数项(如的常数项是，不是)。 4.解题技巧拆解 单项式辨析：先判断是否为“积”形式，再找数字因数(系数)、算字母指数和(次数)； 多项式辨析：先拆分为单项式(注意符号)，再数项数、找最高次项并算次数。 【例题3】．（2024-2025•自贡校级期末）下列说法正确的是（　　） A．单项式22x3y4的次数是9 B．不是单项式 C．x3﹣2x2y2+3y2是三次三项式 D．单项式的系数是 【变式题3-1】．（2024-2025•松山区期末）下列结论正确的个数是（　　） ①﹣1不是单项式； ②多项式5x3y﹣2xy﹣7是三次三项式； ③的系数是，次数是6； ④﹣22m3n的次数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-2】．（2024-2025•凤台县期末）单项式的系数是　 　 ，次数是　 　 ． 【变式题3-3】．（2024-2025•淄博期末）单项式的系数是　 　 ，次数是　 　 ． 【题型4】同类项的判断与相关计算 1.核心知识点总结 同类项需满足“两相同”：所含字母相同、相同字母的指数相同(与系数、字母顺序无关)； 同类项的应用：若两个单项式是同类项，可列方程求字母指数(如与是同类项，则，)。 2.高频考点梳理 判断两组代数式是否为同类项(如与是同类项，与不是)； 已知同类项求字母值(如与是同类项，求)。 3.易错点警示 只看字母相同，忽略指数(如认为与是同类项)； 忽略常数项是同类项(如与是同类项，可合并为)。 4.解题技巧拆解 第一步：列出两个代数式的字母及对应指数； 第二步：对比“字母是否完全相同”“相同字母的指数是否相等”，满足则为同类项； 第三步：若为同类项，列等式求字母值(如，，解得，)。 【例题4】．（2024-2025•西平县期末）已知单项式xyb+1与是同类项，则ab的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变式题4-1】．（2024-2025•洮北区期末）下列各组单项式中，为同类项的是（　　） A．a3与a2 B．﹣3与a C．2xy与2x D．与2a2 【变式题4-2】．（2024-2025•河口区期末）已知2a2mb3n与3a4b3是同类项，则（n﹣m）2025＝　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•三台县期末）已知A＝﹣2（a2+2b）﹣3ab，B＝﹣a2﹣2ab． （1）化简2A﹣3B； （2）若单项式3x|b|y2与﹣2x2ya是同类项，求2A﹣3B的值． 【题型5】合并同类项 1.核心知识点总结 法则：系数相加，字母及字母的指数保持不变； 步骤：先找同类项(可用不同符号标记)，再合并系数，最后整理结果。 2.高频考点梳理 直接合并同类项(如)； 含多重括号的合并(先去括号，再合并同类项，如)。 3.易错点警示 合并时改变字母指数(如，易写成)； 漏合并同类项(如易写成，未合并为)。 4.解题技巧拆解 第一步：去括号(若有)，按去括号法则处理符号； 第二步：标记同类项(如用“Δ”标项，“○”标项)； 第三步：合并系数(系数相加，符号随系数)，字母及指数不变； 第四步：按某一字母降幂(或升幂)排列结果(如，不写)。 【例题5】．（2024-2025•临沧开学）已知单项式2xm﹣2y3与﹣xnym能合并成一项，那么m，n的值分别是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-1】．（2024-2025•北关区校级期末）下列合并同类项正确的有（　　） A．2a+4a＝8a2 B．3x+2y＝5xy C．9a2b﹣9ba2＝0 D．7x2﹣3x2＝4 【变式题5-2】．（2024-2025•秦州区校级月考）先去括号，再合并同类项： （1）2y+（3x2﹣4y）﹣3（x2﹣y）； （2）1﹣3（2ab+a）+[1﹣2（2a﹣3ab）]． 【变式题5-3】．（2024-2025•肥城市期末）先去括号，再合并同类项： （1）； （2）3x2﹣[7x﹣（4x﹣3）﹣2x2]； （3）先化简，再求值：2（2xy2﹣x2y）﹣（x2y+6xy2）+3x2y，其中x，y满足． 【题型6】去括号与添括号(提升) 1.核心知识点总结 去括号：“+”不变，“-”全变；添括号：“+”不变，“-”全变； 多重括号：可从内到外或从外到内去括号，每步只处理一层括号。 2.高频考点梳理 去多重括号(如)； 添括号变形(如将变形为)。 3.易错点警示 去括号时漏变某一项符号(如，易写成)； 添括号时括号前是“-”，括号内项未全变号(如变形为，不是)。 4.解题技巧拆解 去括号：分层处理，每去一层括号，检查一次符号(可先标括号内各项符号，再根据括号前符号调整)； 添括号：先确定括号位置和括号前符号，再将对应项放入括号，调整符号后验证(如，验证：，正确)。 【例题6】．（2024-2025•沐川县期末）下列去括号（或添括号）变形正确的是（　　） A．a﹣（b+c）＝a﹣b+c B．a+2（b+c）＝a+2b+c C．a+ab﹣b＝a+（ab+b） D．a﹣3b+3c＝a﹣3（b﹣c） 【变式题6-1】．（2024-2025•泰山区期末）下列各式由等号左边变到右边正确的是（　　） A．a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c B．（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+2y2 C．﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a+b+x﹣y D．﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x﹣3y+a﹣b 【变式题6-2】．（2024-2025•云州区期末）下列计算正确的是（　　） A．5x+3y＝8xy B．7a2b﹣4ab2＝3a2b C．x﹣（3y﹣2）＝x﹣3y﹣2 D．﹣2（x+y）＝﹣2x﹣2y 【变式题6-3】．（2024-2025•社旗县期末）在横线上填上适当的项：3﹣x2+3xy﹣y3＝3﹣　 　 ． 【题型7】整式的加减运算(提升) 1.核心知识点总结 本质：去括号+合并同类项，结果为最简整式(无同类项)； 步骤：①去括号(按法则)；②找同类项；③合并同类项；④整理结果。 2.高频考点梳理 整式的加减计算(如)； 整式的加减与括号结合(如计算，其中，)。 3.易错点警示 去括号时漏乘系数(如，易写成)； 合并同类项时系数计算错误(如，易写成)。 4.解题技巧拆解 第一步：若有已知整式(如、)，先代入表达式(如)； 第二步：去括号，注意系数乘括号内每一项(如)； 第三步：合并同类项(如)； 第四步：验证结果是否最简(无同类项，按字母降幂排列)。 【例题7】．（2024-2025•青山区期末）计算： （1）； （2）4（3a2b+ab2）﹣（3ab2﹣a2b）． 【变式题7-1】．（2024-2025•商南县期末）计算： （1）﹣22+|4﹣8|+24÷（﹣3）； （2）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]． 【变式题7-2】．（2024-2025•镇平县期末）计算： （1）； （2）﹣2（xy3﹣y2）+（3x3y﹣xy3）﹣2y2． 【变式题7-3】．（2024-2025•高青县期末）化简： （1）2x+1﹣（3﹣x）； （2）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）+2xy． 【题型8】整式化简求值(提升) 1.核心知识点总结 流程：“先化简(去括号、合并同类项)→再代入(用具体值替换字母)→最后计算”； 关键：化简后再求值，可简化计算(避免直接代入复杂式子)。 2.高频考点梳理 直接化简求值(如化简，再代入，)； 化简后含多个字母求值(如化简，再代入，)。 3.易错点警示 未化简直接代入(如直接代入到，计算繁琐易出错)； 代入时符号错误(如代入，易写成，正确为，若漏负号则错)。 4.解题技巧拆解 第一步：化简整式，确保结果最简(无同类项)； 第二步：整理代入的字母值(如，，明确正负)； 第三步：代入化简后的式子，按运算顺序计算(先乘方，再乘除，后加减)； 第四步：验证计算结果(可反向代入检查)。 【例题8】．（2024-2025•大武口区期末）先化简，再求值：2x2y﹣[2x2y﹣（2xy﹣3x2y）]+3xy2，其中x＝3，． 【变式题8-1】．（2024-2025•东西湖区期末）先化简，再求值：6y3+4（x3﹣2xy）﹣2（3y3﹣xy），其中x＝﹣2，y＝3． 【变式题8-2】．（2024-2025•纳溪区期末）已知A＝﹣（x2+2y）﹣xy，B＝﹣x2﹣xy． （1）化简A﹣3B； （2）若，求A﹣3B的值． 【变式题8-3】．（2024-2025•安康期末）已知关于x的多项式A、B，其中A＝2mx2+7x﹣3，B＝x2﹣nx+5． （1）化简3B﹣A； （2）若3B﹣A的结果与x的取值无关，求m、n的值． 【题型9】整式加减中“不含某项”与“与字母取值无关”问题（提升） 1.核心知识点总结 本质：均通过合并同类项后令对应项系数为0求解； 区别：①“不含某项”：仅目标项的系数为0（如不含项，令项系数为0）；②“与字母取值无关”：所有含该字母的项系数均为0（如与无关，令、项系数均为0）。 2.高频考点梳理 不含单一项（如代数式不含项，求）； 与单个字母无关（如代数式与无关，求、）。 3.易错点警示 合并同类项后漏找目标系数（如与无关，易漏项系数）； 解方程时符号错误（如，误解得）。 4.解题技巧拆解 第一步：化简整式（去括号、合并同类项）； 第二步：定位目标项（“不含某项”找单一项，“与字母无关”找所有含该字母的项）； 第三步：令对应项系数为0，列方程求解（如不含项则，与无关则）； 第四步：验证（代入原式，确认满足条件）。 【例题9】．（2024-2025•千阳县期末）多项式2x3﹣10x2+4x﹣1与多项式3x3﹣4x﹣5x2+3相加，合并后不含的项是（　　） A．三次项 B．二次项 C．一次项 D．常数项 【变式题9-1】．（2024-2025•无棣县期末）多项式3x2+4x+6与多项式相减后，结果不含x2项，则常数m的值为　 　 ． 【变式题9-2】．（2024-2025•衡东县期末）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝2a﹣3b，例如：1⊕2＝2×1﹣3×2＝﹣4． （1）求﹣2⊕3的值； （2）化简并求值：（x+3ay）⊕（x﹣2by），其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． （3）已知x2⊕a与3⊕ax2的差中不含x2项，求a的值． 【变式题9-3】．（2024-2025•钢城区期末）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，其中a+3＝0，则a＝﹣3． 【方法应用】 （1）当b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 时，关于x的多项式3x4﹣（b+5）x3+（c﹣1）x2﹣5x+1不含x3项和x2项． （2）已知A＝﹣3x2﹣2xy+3y+1，B＝2x2+2xy﹣1，且2A+3B的值与y的取值无关，求x的值． 【拓展延伸】 （3）淇淇用6张长为b，宽为a的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为S1，右下角部分的面积为S2．当AD的长发生变化时，5S2﹣2S1的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【题型10】整体代入求值(培优) 1.核心知识点总结 思想：将代数式中的某一部分看成一个整体(如把看成)，代入计算； 适用场景：无法求出单个字母值，但已知整体关系式(如已知，求)。 2.高频考点梳理 直接整体代入(如已知，求)； 变形后整体代入(如已知，求)。 3.易错点警示 整体变形时符号错误(如，易写成)； 漏乘系数(如，易写成)。 4.解题技巧拆解 第一步：观察已知关系式与所求代数式的联系(如已知，所求含，是2倍关系)； 第二步：将所求代数式变形为含已知整体的形式(如提取系数，凑出整体)； 第三步：代入整体值计算(如，代入)； 第四步：验证结果(反向变形检查，确保变形正确)。 【例题10】．（2024-2025•天宁区校级二模）若b＝a+2，则（b﹣a）3＝　 　 ． 【变式题10-1】．（2024-2025•河南校级三模）已知代数式x2+2y的值为2，则3x2+6y﹣1的值是　 　 ． 【变式题10-2】．（2024-2025•即墨区期末）已知x2﹣2x﹣3＝0，则代数式4x﹣2x2的值为 　 　 ． 【变式题10-3】．（2024-2025•郯城县期末）若a2﹣b＝﹣3，则代数式6+2a2﹣2b的值为　 　 ． 【题型11】整式与数轴/绝对值综合(培优) 1.核心知识点总结 数轴与整式：用数轴上点的位置判断字母正负(如在原点左侧，)； 绝对值与整式：根据字母正负去绝对值符号(如，则)，再化简整式。 2.高频考点梳理 数轴上字母关系化简整式(如，，化简)； 绝对值与整式加减结合(如已知，求)。 3.易错点警示 误判字母正负(如数轴上在左侧，易认为，但需结合原点位置，若在原点右侧，在左侧，则)； 去绝对值符号错误(如，易写成，正确为)。 4.解题技巧拆解 第一步：根据数轴或绝对值非负性确定字母正负、字母间关系(如，则，)； 第二步：去绝对值符号(根据“正数绝对值是本身，负数是相反数，0是0”)； 第三步：化简整式(去括号、合并同类项)； 第四步：代入计算(若有具体值)或整理结果。 【例题11】．（2024-2025•象州县期末）（1）计算﹣14+[2﹣（﹣3）]+1； （2）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，b与c互为相反数，化简代数式|b+c|+|a+c|﹣|a+b|（结果用c表示）． 【变式题11-1】．（2024-2025•青羊区校级月考）如图所示，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别为﹣3、﹣2、2，试回答下列问题． （1）A、C两点间的距离是　 　 ； （2）若E点到B点的距离是8，则E点表示的数是　 　 ； （3）若m，n互为相反数，p，q互为倒数，求的值． 【变式题11-2】．（2024-2025•牡丹江期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若数轴上有一点C，且3AC＝BC，求点C对应的数； （3）若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点．设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及PQ+MN的长度． 【变式题11-3】．（2024-2025•滑县期末）阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A，B要比较大小，只要计算A﹣B的值，即若A﹣B＞0，则A＞B； 若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： （1）比较大小：① 　 　 ；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示， ①则4a﹣3b 　 　 3a﹣4b；（填“＞”“＜”或“＝”） ②若，，用作差法比较代数式M与N的大小；并结合数轴自行赋予a，b合适的值，求出M﹣N的值． 【题型12】数字与图形规律探索(培优) 1.核心知识点总结 数字规律：分析数列与序号的关系(差、积、平方、倍数等)； 图形规律：观察图形个数、边长、面积等与序号的关系，用整式表示。 2.高频考点梳理 数字规律(如的第项为)； 图形规律(如第个图形有个小三角形)。 3.易错点警示 规律归纳不全面(如数列，易认为第项是，正确为)； 图形计数错误(如漏数重叠部分或边缘部分的图形)。 4.解题技巧拆解 数字规律：①列序号；②写对应数值；③找数值与的关系(差、积、乘方等)；④用表示规律，验证前3项； 图形规律：①数前3-5个图形的关键量(如个数、边长)；②列对应序号与关键量的表格；③找关系，用整式表示；④验证第4个图形，确认规律。 【例题12】．（2024-2025•沙坪坝区校级期中）用大小相同的“〇”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有5个“〇”，第②个图案有11个“〇”，第③个图案有20个“〇”，按此规律排列下去，则第⑥个图案中“〇”的个数为（　　） A．62 B．65 C．68 D．71 【变式题12-1】．（2024-2025•官渡区校级模拟）按一定规律排列的单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，﹣32x6，…，第n个单项式为（　　） A．（﹣1）n2nxn B．（﹣1）n+12nxn C．（﹣1）n+12n﹣1xn D．（﹣1）n2n+1xn 【变式题12-2】．（2024-2025•海珠区校级期末）如图所示，观察下列图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第n个图形中共有（　　）个三角形． A．2n+1 B．n+3 C．4n﹣1 D．4n+1 【变式题12-3】．（2024-2025•碑林区校级月考）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 则（a+b）10中，第三项系数为（　　） A．45 B．50 C．55 D．60 【题型13】整式加减的实际应用(培优) 1.核心知识点总结 步骤：“审题(找数量关系)→列整式(表示未知量)→整式加减(计算)→验证(符合实际)”； 常见场景：价格计算、路程问题、图形周长/面积、分段计费。 2.高频考点梳理 价格与数量(如买件单价为元的商品，再打8折，总费用为元)； 分段计费(如水费：不超过按元/，超过部分按元/，时，费用为元)。 3.易错点警示 列整式时遗漏条件(如分段计费漏算基础部分，易写成，正确为)； 单位不统一(如路程问题中速度单位是km/h，时间是分钟，未转化为小时)。 4.解题技巧拆解 第一步：审题，圈出关键信息(单价、数量、分段标准等)； 第二步：用字母表示未知量(如设用水量为)； 第三步：列整式(分情况讨论分段问题，如和)； 第四步：整式加减计算(如求总费用、差值)； 第五步：验证结果(代入特殊值，如，费用为元，手动计算验证：元，正确）。 【例题13】．（2024-2025•安岳县期末）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）当m＝5，n＝2时，大长方形的面积为 　 　 ； （2）请用含m，n的代数式表示下面的问题：大长方形的长：　 　 ；阴影A的面积：　 　 ；阴影B的周长 　 　 ； （3）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【变式题3-1】．（2024-2025•睢阳区期末）书籍是人类进步的阶梯!为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本数学课本如图1所示，其长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去x cm，封皮展开后如图所示，求： （1）小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含x的代数式表示） （2）当封面和封底各折进去2cm时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少cm2？ 【变式题3-2】．（2024-2025•纳溪区期末）今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定： 月用水量（吨） 单价（元/吨） 不大于10吨部分 1.5 大于10吨不大于50吨部分 2 大于50吨部分 3 （1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费； （2）记该用户六月份用水量为x吨，试用含x的代数式表示其所需缴纳水费y（单位：元）． （3）某用户某月交水费125元，该用户用水多少吨？ 【变式题3-3】．（2024-2025•成都期末）购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元/（kW•h），请你分析他购买、使用哪款空调综合费用（购买空调费用+使用空调的电费费用）较低．（根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起））． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/（kW•h） 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 （1）设空调的使用年限数为t（单位：年），求1级和3级能效空调的综合费用（单位：元）； （2）求使用年限是多少年时，两款空调的综合费用相同； （3）通过列式并计算说明哪一款空调的综合费用较低． 【题型14】整式加减的阅读材料题(培优) 【例题14】．（2024-2025•无棣县期末）（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图：若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似的我们可以把（a+b）看成一个整体．则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．请尝试解决： 若a2+2ab＝﹣3，b2﹣ab＝6，求的值． 【变式题14-1】．（2024-2025•克州期末）阅读下列材料，我们知道，5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，类似的，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）+3（a+b）﹣4（a+b）＝（5+3﹣4）（a+b）＝4（a+b），“整体思想“是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用； （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2的结果 　 　 ． （2）已知m+n＝15，3a﹣2b＝11，求2m+6a﹣（4b﹣2n）的值． （3）拓展探索：已知a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，求（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c）的值． 【变式题14-2】．（2024-2025•邗江区校级月考）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯+22020+22021的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+⋯+22020+22021①，则2S＝2+22+⋯+22021+22022②，②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．请仿照小明的方法解决以下问题： （1）2+22+⋯+220＝ 　 　 ； （2）求 　 　 ； （3）求（﹣2）+（﹣2）2+⋯+（﹣2）100的和．（请写出计算过程） 【变式题14-3】．（2024-2025•荔城区期末）【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的排列顺序如下： abcdefghijklmnopqrstuvwxyz 如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，我们可以用英语26个字母来编制密码．例如，对于密文“Ldpdvwxhqw”如果给一把破译它的“钥匙”是“x﹣3”（其中x代表字母表中的任意一个字母，﹣3表示将该字母换成向前移动3位所得到的字母），按这个规律就有Ldpdvwxhqw→Iamastudent．这样就能把密文“Ldpdvwxhqw”破译成明文“Iamastudent”，从而解读出密文的意思了，“x﹣3”就是密文到明文的破译密码钥匙． （1）根据材料填空：密文“krsh”可破译成明文　 　 ． 【类比研究】 （2）将26个英文字母a，b，c，⋯，z依次对应序号1，2，3，…，26，如图．对于密文“20 25 18”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为，则将密文破译成英文字母表示的明文为　 　 ． 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【研究拓展】 （3）小明沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a，b，c，⋯，z依次对应序号1，2，3，…，26，把密文“teacher”译成明文“jocidoi”，你能找到该密文到明文的破译密码钥匙吗？请写出它的破译密码钥匙． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 A． A C C B 一．选择题（共5小题） 1．当x＝1时，代数式5x﹣3的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 【答案】A． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝1时，原式＝5×1﹣3＝2． 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 2．下列说法正确的是（　　） A．1是单项式 B．5πR2的系数是5 C．23a2是5次单项式 D．x2y的系数是0 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：A、1是单项式，符合题意； B、5πR2的系数是5π，不符合题意； C、23a2是2次单项式，不符合题意； D、x2y的系数是1，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了单项式有关概念，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 3．若a+2b＝3，则2a+4b的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当a+2b＝3时，原式＝2（a+2b）＝2×3＝6． 故选：C． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 4．有两个依次排列的代数式：x2，x2﹣4x+4，用第二个代数式减去第一个代数式得到a1，将a1加8得到a2，将第2个代数式与a2相加得到第3个代数式，将a2加8得到a3，将第3个代数式与a3相加得到第四个代数式，……依此类推．则以下结论： ①a6＝﹣4x+44； ②当第2024个代数式的值为36时，x＝4042或4054； ③（n为正整数）．其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题意可推导一般性规律为an＝﹣4x+8n﹣4；第n个代数式为（x﹣2n+2）2；则a6＝﹣4x+8×6﹣4＝﹣4x+44，可判断①的正误；当第2024个代数式的值为36时，（x﹣2×2024+2）2＝36，可求x＝4040或x＝4052，可判断②的正误；a1+a2+a3+⋯+an＝﹣4x+8×1﹣4﹣4x+8×2﹣4+⋯﹣4x+8×n﹣44nx+4n2，可判断③的正误． 【解答】解：由题中给出的代数式之间的关系可得：， a2＝a1+8＝﹣4x+12， 第3个式子为x2﹣4x+4﹣4x+12＝x2﹣8x+16＝（x﹣4）2， a3＝a2+8＝﹣4x+20， 第四个式子为a2+a3＝x2﹣8x+16﹣4x+20＝x2﹣12x+36＝（x﹣6）2， a4＝a3+8＝﹣4x+28， 第5个式子为x2﹣12x+36﹣4x+28＝x2﹣16x+64＝（x﹣8）2， …… ∴an＝﹣4x+8n﹣4； 第n个代数式为（x﹣2n+2）2； ∴a6＝﹣4x+8×6﹣4＝﹣4x+44，正确，故①符合要求； 由题意可得： （x﹣2×2024+2）2＝36， ∴（x﹣4046）2＝36， ∴x﹣4046＝±6， ∴x＝4040或x＝4052，错误，故②不符合要求； a1+a2+a3+⋯+an ＝﹣4x+8×1﹣4﹣4x+8×2﹣4+⋯﹣4x+8×n﹣4 ＝﹣4nx+8（1+2+3+⋯+n）﹣4n ＝﹣4nx+4n2，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减，代数式求值，规律型：数字的变化类．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 5．如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2024次输出的结果为（　　） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】B 【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【解答】解：依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律如下： 第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，1+8＝9， 第6次，， …， 以此类推，从第2次开始以9，3，1循环， ∵（2024﹣1）÷3＝674……1， ∴第2024次输出的结果为9． 故选：B． 【点评】本题考查了求代数式的值，正确找到规律是解题关键． 二．填空题（共4小题） 6．若代数式是五次二项式，则a的值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据多项式的次数定义得出a2﹣1+2＝5且a+2≠0，即可求得a的值． 【解答】解：由题意可得：a2﹣1+2＝5且a+2≠0， ∴a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了多项式的次数与项数的定义，熟记定义是解题的关键． 7．单项式的系数为　　 ． 【答案】． 【分析】根据单项式系数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数． 【解答】解：根据单项式的系数的定义可知：的系数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式系数的定义．确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键． 8．有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是 　2n+8　 cm（用含n的式子表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加2cm，从而可以得到n个杯子叠在一起的高度． 【解答】解：由图可得，每增加一个杯子，高度增加2cm， 则n个这样的杯子叠放在一起高度是：10+2（n﹣1）＝（2n+8）（cm）． 故答案为：2n+8． 【点评】本题考查用代数式表示图形的规律，解答本题的关键是探究出规律，列出相应的代数式． 9．多项式x2y+3xy2﹣2xy+3的次数是 　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据多项式次数的定义求解． 【解答】解：多项式x2y+3xy2﹣2xy+3中最高次项是x2y、3xy2，次数是3． 故答案为：3． 【点评】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 三．解答题（共11小题） 10．已知|x+3|+|y﹣2|＝0，求x+2y的相反数． 【答案】﹣1． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+3|+|y﹣2|＝0， ∴x+3＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣3，y＝2， ∴x+2y＝﹣3+2×2＝1， ∴1的相反数是﹣1， ∴x+2y相反数为﹣1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 11．已知有理数a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，有理数e和﹣2在数轴上表示的点相距3个单位长度，求的值． 【答案】1或25． 【分析】利用相反数，倒数，以及数轴的性质确定出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：a+b＝0，1，cd＝1，e＝1或﹣5， 当e＝1时，原式＝1+1+0﹣1＝1；当e＝﹣5时，原式＝25+1+0﹣1＝25． 【点评】此题考查了有理数的混合运算和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．先化简，再求值：（2xy2﹣3x2y）﹣3（xy2﹣x2y），其中x＝8，． 【答案】﹣xy2；﹣2． 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入求值． 【解答】解：（2xy2﹣3x2y）﹣3（xy2﹣x2y） ＝2xy2﹣3x2y﹣3xy2+3x2y ＝﹣xy2； 当x＝8，y时， 原式＝﹣8×（）2 ＝﹣8 ＝﹣2． 【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则、有理数的混合运算等知识点是解决本题的关键． 13．（1）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a+b|﹣|c﹣b|； （2）已知|x﹣3|+|y+5|＝0，求|x+y|的值． 【答案】（1）2b﹣c； （2）2． 【分析】（1）先观察数轴得﹣1＜a＜0＜1＜b＜c，再化简原式＝﹣a+a+b﹣（c﹣b），然后去括号合并同类项，即可作答． （2）先根据绝对值的非负性得x＝3，y＝﹣5，然后代入|x+y|进行计算，即可作答． 【解答】解：（1）∵﹣1＜a＜0＜1＜b＜c， ∴a+b＞0，c﹣b＞0， 原式＝﹣a+a+b﹣（c﹣b） ＝﹣a+a+b﹣c+b ＝2b﹣c； （2）|x﹣3|+|y+5|＝0， ∴x﹣3＝0且y+5＝0， ∴x＝3，y＝﹣5， ∴|x+y|＝|3﹣5|＝2． 【点评】本题考查了在数轴上表示有理数，化简绝对值，整式的加减运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．观察下列三行数： 第一行：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，⋯； 第二行：1，4，9，16，25，⋯； 第三行：0，3，8，15，24，⋯． （1）第三行第8个数是　63　 ； （2）取每行的第10个数，请计算出这三个数的和是多少？ 【答案】（1）63； （2）这三个数的和为209． 【分析】（1）根据题意可得第一行第n个数为（﹣1）n×n；第二行第n个数为n2；第三行第n个数为n2﹣1；从而把n＝8代入即可求解； （2）根据（1）中规律，然后通过有理数运算法则即可求解． 【解答】解：（1）∵第一行第n个数为（﹣1）n×n；第二行第n个数为n2；第三行第n个数为n2﹣1； ∴当n＝8时，即第三行第8个数为82﹣1＝63， 故答案为：63； （2）由（1）得第一行第n个数为（﹣1）n×n；第二行第n个数为n2；第三行第n个数为n2﹣1； 当n＝10时，第一行第10个数为：（﹣1）10×10＝10；第二行第n个数为：102＝100；第三行第n个数为：102﹣1＝99， ∴这三个数的和为10+100+99＝209． 【点评】本题考查了数字的规律变化，有理数运算，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 15．小虎同学做一道题，已知两个多项式A，B，其中B＝3x2﹣3y﹣1，在计算A﹣B时，他误将“A﹣B”看成了“A+B”，求得的结果是5x2﹣y． （1）求多项式A； （2）若|x﹣1|与（y+1）2互为相反数，求A﹣B的值． 【答案】（1）2x2+2y+1； （2）﹣4． 【分析】（1）根据A+B求得的结果是5x2﹣y列式求出A即可； （2）结合（1）求出A﹣B，再根据非负性及互为相反数求出x，y的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵A+（3x2﹣3y﹣1）＝5x2﹣y， ∴A＝5x2﹣y﹣（3x2﹣3y﹣1）＝5x2﹣y﹣3x2+3y+1＝2x2+2y+1， ∴多项式A是2x2+2y+1． （2）∵|x﹣1|与（y+1）2互为相反数， ∴|x﹣1|+（y+1）2＝0， ∴x﹣1＝0，y+1＝0， 解得x＝1，y＝﹣1， ∵A＝2x2+2y+1，B＝3x2﹣3y﹣1 ∴A﹣B＝2x2+2y+1﹣（3x2﹣3y﹣1）＝﹣x2+5y+2． 把x＝1，y＝﹣1代入得： A﹣B＝﹣x2+5y+2＝﹣12+5×（﹣1）+2＝﹣1﹣5+2＝﹣4， ∴A﹣B的值是﹣4． 【点评】本题考查整式的加减以及求值，绝对值非负性质，解题的关键是根据题意求出多项式A． 16．已知：A＝﹣2（mn﹣m2+2m）﹣[2m2﹣（4m+n2）+2mn]． （1）化简A； （2）若关于x的多项式x2+mx+nx2﹣3x+1的值与x无关． ①求m、n的值； ②求A的值． 【答案】（1）n2﹣4mn； （2）①m＝3，n＝﹣1；②13． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，即可得到结果； （2）①根据题意，得到n+1＝0，m﹣3＝0，从而得到m＝3，n＝﹣1； ②把m，n的值代入到A中，即可得到结果． 【解答】解：（1）A＝﹣2（mn﹣m2+2m）﹣[2m2﹣（4m+n2）+2mn] ＝﹣2mn+2m2﹣4m﹣（2m2﹣4m﹣n2+2mn） ＝﹣2mn+2m2﹣4m﹣2m2+4m+n2﹣2mn ＝n2﹣4mn； （2）①x2+mx+nx2﹣3x+1＝（n+1）x2+（m﹣3）x+1， ∵关于x的多项式x2+mx+nx2﹣3x+1的值与x无关， ∴n+1＝0，m﹣3＝0， ∴m＝3，n＝﹣1； ②A＝n2﹣4mn＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13． 【点评】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 17．如图，正方形ABCD的边长为a． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （2）当a＝6，b＝2时，求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由于阴影部分不规则，所以可考虑用正方形的面积﹣两个三角形的面积； （2）代入计算即可． 【解答】解：（1）S阴影＝S正方形﹣S△ABC﹣S△DEF ＝a2a24b ； （2）当a＝6，b＝2时， S阴影 ＝14． 【点评】本题考查了列代数式和代数式的求值．列出代数式是解决本题的关键． 18．有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示． （1）在数轴上画出表示﹣a的点； （2）在横线上用“＞”或“＜”填空：a+b　＞　 0，c﹣a　＜　 0； （3）化简：|c|＝　﹣c　 ．（结果用含c的式子表示） |a+b|＝　a+b　 ．（结果用含a，b的式子表示） |a﹣b|＝　﹣a+b　 ．（结果用含a，b的式子表示） 【答案】（1）； （2）＞，＜； （3）﹣c，a+b，﹣a+b． 【分析】（1）根据数轴上的点所表示数的特征，在数轴上画出﹣a表示的点即可； （2）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题； （3）根据数轴上的点所表示数的特征及绝对值的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）如图所示， ； （2）由所给数轴可知， c＜a＜0＜b，且|a|＜|b|， 所以a+b＞0，c﹣a＜0． 故答案为：＞，＜； （3）由题知 c＜0，a+b＞0，a﹣b＜0， 所以|c|＝﹣c，|a+b|＝a+b，|a﹣b|＝﹣a+b． 故答案为：﹣c，a+b，﹣a+b． 【点评】本题主要考查了列代数式、数轴、绝对值及有理数大小比较，数轴数轴上的点所表示数的特征及绝对值的性质是解题的关键． 19．用数学的眼光观察： 对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等． 用数学的思维思考： （1）设是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3整除．请将下面的验证过程补充完整： ＝　99a+9b　 +（a+b+c） ＝3　（33a+3b）　 +（a+b+c） 显然　3（33a+3b）　 能被3整除，因此，如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除．用数学的语言表达： （2）设是一个四位数，若a+b+c+d可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据整式加减法则，进行填空即可； （2）仿照（1）中的证明方法，进行作答即可． 【解答】解：（1） ＝（99a+9b）+（a+b+c） ＝3（33a+3b）+（a+b+c） 显然3（33a+3b）能被3整除， 因此，如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除． 故答案为：99a+9b；（33a+3b）；3（33a+3b）；如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除； （2） ＝（999a+99b+9c）+（a+b+c+d） ＝9（111a+11b+c）+（a+b+c+d）， 显然9（111a+11b+c）能被9整除， 因此，如果a+b+c+d可以被9整除，那么就能被9整除． 【点评】本题主要考查了整式的加减，掌握整式加减混合运算是解题的关键． 20．【项目式学习】 【项目主题】探究包装盒的打包方式 【项目背景】学习了课本中“项目式学习2：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【项目素材】某电商在包装商品时，用到长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm）的箱子，并发现有如图所示的甲、乙、丙三种打包方式（打包带不计接头处的长度）． 任务一：用含a、b，c的式子表示甲、乙、丙三种打包方式所用的打包带的长度，甲需要 　（4a+2b+6c）　 cm，乙需要 　（2a+4b+6c）　 cm，丙需要 　（4a+4b+4c）　 cm． 任务二：当a＞b＞c时，三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 【答案】（1）（4a+2b+6c），（2a+4b+6c），（4a+4b+4c）； （2）乙种方式最节省打包带． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）利用作差法求解即可． 【解答】解：（1）甲需要：2×2（a+c）+2（b+c）＝（4a+2b+6c）（厘米）， 乙需要：2（a+c）+2×2（b+c）＝（2a+4b+6c）（厘米）， 丙需要：2（a+b）+2（b+c）+2（a+c）＝（4a+4b+4c）（厘米）， 即甲需要（4a+2b+6c）厘米，乙需要（2a+4b+6c）厘米，丙需要（4a+4b+4c）厘米； 故答案为：（4a+2b+6c），（2a+4b+6c），（4a+4b+4c）； （2）乙种方式节省打包带，证明如下： （4a+2b+6c）﹣（2a+4b+6c） ＝4a+2b+6c﹣2a﹣4b﹣6c ＝2a﹣2b， ∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴2a﹣2b＞0， ∴（4a+2b+6c）＞（2a+4b+6c）， ∴乙种方式比甲节省打包带． （2a+4b+6c）﹣（4a+4b+4c） ＝2a+4b+6c﹣4a﹣4b﹣4c ＝2（c﹣a）， ∵a＞c， ∴c﹣a＜0， ∴2（c﹣a）＜0， ∴（4a+4b+4c）＞（2a+4b+6c）， ∴乙种方式比丙节省打包带． 综上所述，乙种方式最节省打包带． 【点评】本题主要考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意列出对应的代数式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $