精品解析：江苏省泰州市姜堰区第一教研站2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

八年级数学上学期第一次学情检测 一、选择题：（每小题3分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，, B. ,, C. ，, D. ,, 2. 如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N．若的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 5. 如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（每小题3分） 7. 若等腰三角形的底角为，则它的顶角为_____． 8. 使有意义的的取值范围是_____． 9. 直角三角形斜边上的高与中线分别是5和8，则它的面积是_________． 10. 与的三边长如图所示．若，则_______． 11. 如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=7 cm，CF=4 cm，则BD=_________cm． 12. 如图，在中，点D、E分别在、上，，，，则_______． 13. 如图，为的角平分线，，，则______． 14. 如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则_____． 15. 如图，在中，，，是的中点，点、分别在、上，且，，则四边形的面积为_____． 16. 如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点M，N分别是，的中点，则的最小值为_____． 三、解答题（共计102分） 17. （1）计算：； （2）求的值：． 18. 已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求b2﹣a2的平方根． 19. 如图，，且 （1）若，求的度数； （2）若，，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 20. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，在正方形网格中，的顶点均在正方形网格格点上．用无刻度的直尺完成下列作图： （1）在网格线中画出以为一边且与全等（不与重合）的； （2）在直线上找一点，使周长最小（不写作法，保留作图痕迹）． 22. 如图，中，点、分别在、上，且，点O在上，连接 ． （1）给出下列选项：①平分；②平分；③．请你选用其中的两个选项作为补充条件，余下的选项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；你补充的条件是_____，结论是_____．（填序号） （2）在（1）的条件下，若的周长为6，，求的周长． 23. 如图，在中，，点为的中点，，过点分别作、，垂足分别为，，连接，． （1）求证：平分； （2）若，求的度数； 24. 如图，在中，于，于，为的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 25. 如图，边长为2的等边三角形中，D点在边上运动（不与B、C重合），点在边的延长线上，点在边的延长线上，． （1）若，求的度数； （2）求证： （3）点在边上从至的运动过程中，的周长变化规律为_____． A．不变 B．一直变大 C．先变大后变小 D．先变小后变大 26. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． （1）【初步尝试】如图，在中，，，，，点P上一点，当_____时，与为积等三角形． （2）【理解运用】如图，与为积等三角形，若，，且线段长为正偶数，求AD的长． （3）【综合应用】如图，在中，，分别以，边向外作正方形和正方形，连接EG，求证：和为积等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第一次学情检测 一、选择题：（每小题3分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，, B. ,, C. ，, D. ,, 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断． 【详解】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 2. 如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，已知，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故D符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N．若的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的任意一点到线段两边的距离相等即可解题． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点N， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形特殊点(重心、内心、垂心、外心)的性质，解题的关键是理解 “游戏公平” 意味着凳子到 A、B、C 三点的距离相等，进而判断哪种特殊点到三角形三个顶点的距离相等． 先明确 “公平” 的本质：凳子位置到 A、B、C 三点距离相等；再分别回忆各选项特殊点的性质 —— 三边中线交点(重心)到顶点距离与到对边中点距离成；三条角平分线交点(内心)到三边距离相等；三边上高的交点(垂心)是高的交点，无到顶点距离相等的性质；三条垂直平分线交点(外心)到三个顶点距离相等，据此匹配符合条件的选项． 【详解】解：A、选项为三边中线的交点(重心) 重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； B、选项为三条角平分线的交点(内心) 内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； C、选项为三边上高的交点(垂心) 垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； D、选项为三条垂直平分线的交点(外心) 外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项A；利用角平分线的定义判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：A、∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴结论A正确，故该选项不符合题意； B、∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴结论B正确，故该选项不符合题意； C、∵是的中线， ∴， ∴， 即， ∴结论C正确，故该选项不符合题意； D、∵，但不一定小于， 故选项D错误，符合题意， 故选：D． 6. 如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题是旋转的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．过点作于，再过点作边上的高，证明，可得，再用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，过点作于，再过点作边上的高， 在中，，，， ，， 由旋转的性质可得，， ， ， ， ， ． 故选：D 二、填空题：（每小题3分） 7. 若等腰三角形的底角为，则它的顶角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：等腰三角形的底角为， ∴它的顶角为， 故答案为：． 8. 使有意义的的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 直角三角形斜边上的高与中线分别是5和8，则它的面积是_________． 【答案】40 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，是的斜边的中线，是的斜边的高， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 10. 与的三边长如图所示．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等解答即可． 【详解】解：因为， 所以，， 所以， 故答案为：． 11. 如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=7 cm，CF=4 cm，则BD=_________cm． 【答案】3 【解析】 【详解】试题解析：∵AB∥FC， ∴∠ADE=∠EFC， ∵E是DF的中点， ∴DE=EF， 在△ADE与△CFE中， ∴△ADE≌△CFE（ASA）， ∴AD=CF=4cm， ∴BD=AB-AD=7-4=3（cm）． 12. 如图，在中，点D、E分别在、上，，，，则_______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 故答案为：100． 13. 如图，为的角平分线，，，则______． 【答案】15 【解析】 【分析】由为的角平分线可得点D到与的距离相等，进而求解． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴点D到线段的距离与点D到线段的距离相等， 设点B到线段与的距离为h， 则， 解得， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解题关键是掌握角平分线的性质，掌握三角形面积的求法． 14. 如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解答本题的关键是掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 设，则， ∵，． ∴， ∴，， ∴． 故答案为：5． 15. 如图，在中，，，是的中点，点、分别在、上，且，，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质等，连接，可证，得到，进而得到，再求出的面积即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点M，N分别是，的中点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．连接、 ，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据直角三角形斜边中线的性质求得 ，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接、 ，则当C，M，N三点同一条直线上时，取最小值，     ∵，，，点M、N分别是，的中点， ∴ ，， ∴的最小值为． 故答案为：. 三、解答题（共计102分） 17. （1）计算：； （2）求的值：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，立方根，准确计算是解题的关键． （1）先根据算术平方根、立方根、乘方计算，再算加减法即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 移项得，， 二次项系数化为1得，， 开平方得，． 18. 已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求b2﹣a2的平方根． 【答案】（1）4；5 （2）±3 【解析】 【分析】（1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． 19. 如图，，且 （1）若，求度数； （2）若，，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）36° （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得解； （2）由等边对等角结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴. 20. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）11 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在正方形网格中，的顶点均在正方形网格格点上．用无刻度的直尺完成下列作图： （1）在网格线中画出以为一边且与全等（不与重合）的； （2）在直线上找一点，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，全等三角形的判定． （1）利用全等三角形的判定方法作图； （2）作A关于直线的对称点，连接，与直线于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，以为一边且与全等（不与重合）的即为所求； 【小问2详解】 解：作A关于直线的对称点，连接，与直线于点P， 此时，利用“两点之间线段最短”得出的周长最小，点P即为所求． 22. 如图，在中，点、分别在、上，且，点O在上，连接 ． （1）给出下列选项：①平分；②平分；③．请你选用其中的两个选项作为补充条件，余下的选项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；你补充的条件是_____，结论是_____．（填序号） （2）在（1）的条件下，若的周长为6，，求的周长． 【答案】（1）①②，③． （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的面积的应用，能求出是解此题的关键． （1）先选择条件与结论，再根据角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质证明即可； （2）先求出的周长，再求出的周长即可． 【小问1详解】 方法一：条件是：①②，结论是：③． 证明：∵， ∴ ， ∵平分； ∴， ∴ ， ∴， 同理， ∴； 故答案为：①②，③． 方法二：条件是：①③，结论是：②； 证明：∵， ∴ ， ∵平分； ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴平分， 故答案为：①③，② ； 方法三：条件是：②③，结论是：①． 证明：∵， ∴ ∵平分， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴平分； 故答案为：②③， ①（答案不唯一）. 【小问2详解】 ∵的周长 ； ∴的周长． 23. 如图，在中，，点为的中点，，过点分别作、，垂足分别为，，连接，． （1）求证：平分； （2）若，求的度数； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，由线段垂直平分线的性质得，进而可证，得到，再根据角平分线的判定即可求证； （）由四边形内角和可得，由全等三角形的性质得，进而得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵点为的中点，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，在中，于，于，为的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟记性质并求出、与的关系是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，，再根据三角形的内角和定理求出，然后利用平角等于列式计算得出． 【小问1详解】 证明：∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 25. 如图，边长为2的等边三角形中，D点在边上运动（不与B、C重合），点在边的延长线上，点在边的延长线上，． （1）若，求的度数； （2）求证： （3）点在边上从至的运动过程中，的周长变化规律为_____． A．不变 B．一直变大 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】（1） （2）见解析 （3）D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明是本题关键． （1）由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，由三角形内角和定理可求解； （2）先利用等腰三角形的性质和外角的性质推导出，，再由可证； （3）由全等三角形的性质可得，，进而可得周长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∴周长， ∵点D在边上从B至C的运动过程中，的长先变小后变大， ∴周长先变小后变大， 故选：D． 26. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． （1）【初步尝试】如图，在中，，，，，点P为上一点，当_____时，与为积等三角形． （2）【理解运用】如图，与为积等三角形，若，，且线段长为正偶数，求AD的长． （3）【综合应用】如图，在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接EG，求证：和为积等三角形． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形中线的性质及积等三角形的定义即可解决问题； （2）过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作，交延长线于点H，先证明，得到，依据三角形的面积公式可知，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【小问1详解】 解：如图1，中， ∴； ∵与不全等，与为积等三角形， ∴ ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵线段长为正偶数 ∴. 【小问3详解】 如图，过点作，交的延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵； ∴ ∵是直角三角形，为钝角三角形， ∴和为不全等， ∴和为积等三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的中线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，三角形的分类等知识．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $