第十六章 专题五、六 线段的垂直平分线的运用 最短路径问题-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

专题五线段的垂直 类型1)求图形的周长 1.如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平 分线，AB=4,BC=7,则△ABD的周长 为() A.4 B.7 C.11 D.15 2.如图所示，点A,D分别在BE,CE的垂直平 分线上，A,E,D三点在同一条直线上，如果 AD=5cm,BC=7cm,那么四边形ABCD的 周长为() A.24 cm B.19 cm C.17 cm D.12 cm 类型2》求线段之间的关系 3.如图所示，AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的 垂直平分线上. (1)AB,AC,CE的长度有什么关系？请说明 理由. (2)AB+BD与DE有什么关系？请说明 理由. △八年级·上册·数学.小H 平分线的运用（答案P23) 类型3)求三角形的角的度数 4.如图所示，已知∠A=40°，BA的垂直平分线 MN交AC于点D,则∠ADB= B 5.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平 分AB,如果∠1：∠2=2：3，那么∠B= 类型4)求图形的面积 6.如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高. (1)尺规作图：作AC的垂直平分线，垂足为 F,交BC于点E.(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接AE,若BD=DE,且 AB=5,AD=4,求△ACE的面积. 95 专题六最短路径问题（答案P23) 类型1》两点一线型线段和最小值问题 类型4》造桥选址问题 1.模型观念如图所示，A,B是两个蓄水池，都在 4.应用意识如图所示，直线11，l2表示一条河的 河流α的同侧，为了方便灌溉农作物，要在河 两岸，且11亿2.现要在这条河上建一座桥（桥 边建一个抽水站，将河水送到A,B两地，该站 与河的两岸相互垂直)，使得从村庄P经桥过 建在河边什么地方，可使所修的渠道最短？试 河到村庄Q的路程最短，则应该选择 在图中确定该点.（保留作图痕迹） 路线( A B A.路线：PF→FQ B.路线：PE→EQ 类型2)两点两线型线段和最小值问题 2.如图所示，在△ABC中，D,E为边AC上的两 C.路线：PE→EF→FQ 个点，试在AB,BC上各取一个点M,N,使四 边形DMNE的周长最小.（作图并写出作法） D.路线：PE→EF→FQ 5.模型观念如图①所示，在河的两岸有A,B两 个村庄，A村已通上燃气，燃气公司打算将A 村的管道再接到B村，应如何设计路线才能使 类型3》一点两线型线段和最小值问题 管道最短？ 3.(1)如图①所示，在锐角∠AOB内有一定点 解：如图②所示，管道路线为AM→MN> P,试在OA,OB上确定两点C,D,使△PCD NB.找出以上作法的错误，并改正.（在图① 的周长最小.（保留作图痕迹，不写作法） 中改) (2)如图②所示，在五边形ABCDE中，在BC, DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长 A. 最小.（保留作图痕迹，不写作法） ① 96 14114141314114111111314116.解：(1)如图①所示，过点A,C作直线11，直线11即 为所求. (2)如图②所示，延长BA,CD交于点E,连接AC, BD交于点F,连接EF,直线l2即为所求. (3)如图③所示，连接MA并延长交直线l3于点P, 连接PD并延长，连接MB并延长交直线I?于点 Q,连接QC并延长，交PD的延长线于点N,则 点N即为所求， 第3课时与线段垂直平分线有关的尺规作图 1.D2.C 3.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 4.解：如图所示. (1)作BC的垂直平分线1. (2)作AO⊥1于点O并延长到 点A',使A'O=AO,则点A'是 点A关于1的对称点 (3)由于L为BC的垂直平分线， 所以B,C两点关于1对称， (4)连接A'B,A'C,则△A'CB就是所要求作的三 角形 5.B 6,解：如图所示，△ABC即为所求作的直角三角形 B 专题五 线段的垂直平分线的运用 1.C2.C 3.解：(1)AB=AC=CE.理由： .AD⊥BC,BD=DC, .'.AB=AC. 又点C在AE的垂直平分线上， ..AC=CE, .'.AB=AC=CE. (2)AB+BD=DE.理由： .AB=AC=CE,BD=CD, ..CE+CD=AB+BD, ∴.DE=CE+CD=AB+BD. 4.1005.27 6.解：(1)如图所示，EF为所作， (2)连接AE,如图所示. .BD=ED,AD是BC边上的高， ∴.AD垂直平分BE DE ..AB=AE=5. ,EF垂直平分AC, ∴.EA=EC=5, △ACE的面积为分×CE×AD=名×5X4=10, 专题六最短路径问题 1.解：如图所示，作点A关于直线a对称的点C,连接 BC,交a于点P,则点P就是抽水站的位置. B 2.解：如图所示，作点D关于AB的对称点D',作点E 关于BC的对称点E',连接D'E分别交AB,BC于 点M,N,连接DM,EN,此时四边形DMNE的周 长最小. D 3.解：(1)如图①所示，点C,D即为所求， (2)如图②所示，点M,N即为所求. E ①D ② 4.C 5.解：受思维定式的影响，以为先画BB'垂直于河岸且 BB′等于河宽，再连线是最短路径.实际上，根据“两 点之间线段最短”，可得连接A,B两点的线段应是 最短的. 正确的作法：如图所示，管道路线为AB. A 3