第十二章 分式和分式方程 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

本章综合提升（答案P8) 1/111111/ ·本章知识归纳 //111/ 分式的定义：形如的代数式叫作分式.其巾， 分式的基木质：⑤ A,B都是整式，且B含行① 分式君有意义的条件：② 分式的约分：⑥ 分式值为0的条件：③ ；④ 通分：⑦ 分式 分式的 的概念 基本性质 分式和 分式方程 分式 分式方程 的运算 分式的乘除运算和减运算法则 分式方程的概念 用字母分别表示：⑧ 解分式方程的步骤：⑩ 分式方程的应州 分式的混合运算：运算顺序是⑨ 思想方法归纳 11111111111i (变式训练1】若】十=2，则代数式 m 11 1.整体思想 5m一2mn十5n的值为( ) 整体思想的核心就是把所研究对象的一部 -1m—n A.-4 B.-3 C.3 D.4 分或全部视为一个整体运用在解题过程中.这种 2.转化思想 思想在解题时把注意力和着眼点放在问题的整 在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题 体结构上，从而触及问题的本质，避开不必要的 转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问 计算，使问题得以简化. 题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转 链接本章 化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间 分式化简求值时，经常把一个含有字母 互相转化，最终转化为有章可循，容易解决的问题. 的代数式整体代入，求得分式的值. 爱链接本章 (1)解分式方程时，先把分式方程去分 【例1】运算能力先化简，再求值： 母，转化为整式方程，再解这个整式方程 h-4+4 x2-4+2其中x2+2x-1=0. (2)分式的加减运算，异分母的通分转化 为同分母进行运算；分式的除法运算转化为乘 法运算，再运用分式的乘法法则进行运算， △八年级·上册·数学.J小H 27 【例2】(沧州黄骅模拟)小敏在做数学作业 通模拟 时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即 $$\left( \frac { a ^ { 2 } - 2 a } { a ^ { 2 } - 1 } - 1 \right) \div \pi ，$$ 通过查看答案，答案为 $$\frac { 1 } { 1 - a } ，$$ 1.(唐山滦州期末)下列式子是分式的是() 则被污染的代数式*为() $$A . \frac { 1 } { 5 }$$ $$B . \frac { a } { x - 2 }$$ $$C . \frac { x + 3 } { 4 }$$ D.x-2 $$A . \frac { 2 a + 1 } { a + 1 }$$ $$B . \frac { a + 1 } { 2 a - 1 }$$ 2.(承德期末)下列各式中，不论 x 取何值分式都 $$C . \frac { 2 a - 1 } { a + 1 }$$ $$D . \frac { a + 1 } { 2 a - 2 }$$ 有意义的是() 【变式训练2】(石家庄桥西区模拟)有一个分 $$A . \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } + 1 } B . \frac { 1 } { 2 x + 1 }$$ $$C . \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$ $$D . \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } }$$ 数，分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所 3.(沧州吴桥期末)下列分式为最简分式的 得分数的值为 .若设该分数的分子为x，依题 是() 意，下面所列方程正确的是() $$A . \frac { 3 a } { 5 a ^ { 3 } b ^ { 2 } }$$ $$B . \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + 3 a }$$ $$\overline { 3 a } C$$ $$C . \frac { a + 2 } { a ^ { 2 } + 2 }$$ $$D . \frac { a ^ { 2 } - a b } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }$$ $$A . \frac { 4 x - 1 } { x + 1 } = \frac { 2 } { 3 }$$ $$B . \frac { x } { 4 x - 1 } + 1 = \frac { 2 } { 3 }$$ 4.(秦皇岛一模)试卷上一个正确的式子 $$C . \frac { x + 1 } { 4 x - 1 } = \frac { 2 } { 3 }$$ $$D . \frac { x + 1 } { 4 \left( x + 1 \right) - 1 } = \frac { 2 } { 3 }$$ $$\left( \frac { 1 } { a + b } - \frac { 1 } { a - b } \right) \cdot x = \frac { 2 } { a + b }$$ 被小明同学不小 【变式训练3】(保定雄县期末)已知分式方程 滴上墨汁.被墨汁遮住部分*处的代数式 $$\frac { 3 } { 1 + x } - \frac { x } { 1 + x } =$$ ■有解，其中“■”表示一个数. (1)若“■”表示的数为7，求分式方程的解. (2)嘉淇回忆说：由于抄题时等号右边的数 $$A . \frac { - b } { a - b }$$ $$B . \frac { a - b } { - b }$$ 值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是 ”是一1或0，试确定“■”表示的数. $$C . \frac { a } { a + b }$$ $$D . \frac { - a } { a + b }$$ 5.(石家庄新乐开学)已知P为整式，若计算 $$\left( P + \frac { 5 } { 2 - x } \right) \div \frac { 3 - x } { x - 2 }$$ 的结果为 -x-3， 则 P=() A.2+x B.2x C.x $$D . 4 - x ^ { 2 }$$ 6.(廊坊霸州期末) 甲、乙两地相距skm， 李明原 计划骑车从甲地到乙地，需用时th，后因天气 原因，改乘公交车前往，结果提前1h到达乙 地，则公交车的速度是() $$A . \frac { s } { t } k m / h$$ $$B . \frac { s t } { t - 1 } k m / h$$ $$C . \frac { s } { t + 1 } k m / h$$ $$D . \frac { s } { t - 1 } k m / h$$ 28 7.(保定正定期末)下表是张亮的答卷，他的得分 1 应是() 1-32 2241的 专8则方程x☆(-2)一之 ) 判断题（每题2分，共10分） 解是( A.x=7B.x=6C.x=5D.x=4 (1)当x≠0时，分式二有意义.（√） 11.(石家庄桥西区期末)若x十y=2,xy=一2， 3)当x=-1时，分式的值为0.√) 则义+= y (3)42+6 a+b =a+b.(×) 12.（石家庄新乐期末)若解分式方程飞。 x-2 (4)”=n .(√) 飞一工-3产生增根，则飞的值为 m mn 2-x (5)22 3 ÷x=x-1.(/) 13.(沧州任丘期末)(1)解分式方程： x+1 A.4分 B.6分 C.8分 D.10分 x+2 x(1-z)=0: 8.(承德平泉期末)“某学校改造过程中整修门口 1500m的道路，但是在实际施工时…求实 际每天整修道路多少米.”在这个题日中，若设 1500 实际每天整修道路xm,可得方程 x-5 1500=10,则题目中用“…”表示的条件应 是() A.每天比原计划多修5m,结果延期10天 完成 2无化商：再求值(6。》“。× ab B.每天比原计划多修5m,结果提前10天 完成 （日+)，其中a=3,6=-5. C.每天比原计划少修5m,结果延期10天 完成 D.每天比原计划少修5m,结果提前10天 完成 9(邯物轮县期末)关于x的方程，3=2 无解，则k的值为(） 3-x A.±3 B.3 C.-3 D.无法确定 10.(石家庄桥西区期末)对于实数a,b,定义一种 新运算“☆“为：a安6=。6例如：1女3 △八年级·上册·数学.J小H 29 14.（承德兴隆期末)如图所示，已知点A,B,C在 ②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别 同一直线上，AB=6km,AC=10km,甲、乙 为5096元和7346元.问：每年行驶里程为 两人同时从A地出发，同向而行，分别前往B 多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费 地和C地，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比 用=年行驶费用十年其他费用) 乙提前20min到达目的地， B (1)设甲的速度为3xkm/h,完成下表： 人物 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 甲 6 3x 6 3.x 10 (2)求甲、乙的速度. 通中考 HIH1/1//H111/l/1/I1/ 16.(河北中考)化简x(仪 的结果是( A.xy6 B.cy C.x2y5 D.x2y5 15.(承德宽城期末)近年来，新能源汽车特别是 纯电动汽车受到越来越多消费者的关注.某 17.(河北中考)已知A为整式，若计算A xy+y2 师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款 y 的结果为2一)，则A=( 国产车. x2-xy xy A.x B.y C.x+y D.x-v 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池电量：70千瓦时 18(订免中考》白2本：一号位的正负可以比较 油价：7元/升 电价：0.5元千瓦时 续航里程：a千米 续航里程：a千米 士C与，的大小，下列正确的是(） A= 2+c 每千米行驶费用： 每千米行驶费用： 50×7 元 元 A.当c=一2时，4=7 (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米 B.当c=0时，A≠ 行驶费用是 元 (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车 C.当c<-2时，A> 2 多0.45元. n当0时A号 ①分别求出这两款车的每千米行驶费用. 30a a ②当A2a+1=-3时.A=2a+1-3=2a+ 6a十3_-5a-3_5a+3 2a+12a+1 2a+1 客：分式门的关梦分式为或班是 _5a+3 4.解：(1)一元一次方程3-2(1-x)=x与分式方程 号1一3是相似方程 理由：解一元一次方程，得x=一1， 解分式方程，得x=-1, 所以一元一次方程3-2(1一x)=x与分式方程 中号1-三是相似方程 (2)不存在实数a,使关于x的一元一次方程(2一 a)x十2=x与分式方程二g-2=1是“相伴方 Ex-2x 程” 理由：解(2-a)x十2=x,得x=a-了 2 当a=一1时，x的整数解为x=一1； 当a=0时，x的整数解为x=一2； 当a=2时，x的整数解为x=2; 当a=3时，x的整数解为x=1. 解分式方图-号是1得=是且≠2 当a=1时，x的整数解为x=4; 当a=4时，x的整数解为x=1; 当a=一1时，x的整数解为x=一4； 当a=一2时，x的整数解为x=一2； 当a=一4时，x的整数解为x=-1. 综上所述：不存在实数a,使方程(2-a)x十2=x与 x一a_2=1是“相伴方程”. x-2 x 6解：1因为兴吕3= 所以，4与，的老值是3 (2)①18+6x ②当C=18+6x时，分式，C-18+6r=6 g-x2=9-x2-3-x 由于此分式的值为正整数，x是正整数， 所以3-x=1或3-x=2或3-x=3或3-x=6, 所以x=2或x=1(0和负值舍去). 当x=2时，分式。6=6 =6, 3-x3-2 当-1时，分式2g3 所以分式。C 二元的值为6或3. 7.解：(1)当m=-10时，-10十=-10n,解得 10 （2）-2m+n+3m2n- -2(m)2+3n2n2 (2m+2n)2 (22n)2 m2n21 4n'n=4 8.解：(1)432 (2)因为(4,12]=a,(4,5]=b,(4,y]=c,所以4“= 12,4=5,4°=y,因为a+b=c,所以4“+6=4，即 4·4=4°，所以y=12×5=60. (3)①因为(5,10]=a,(2,10]=b,所以5“=10， 20=10, 所以524=100,26=1000， 所以25“=100,8=1000，所以 251001 80-1000-10 ②因为(5“)=10，所以5=10°， 所以(5,10]=ab. 由①，知5”=10,2=10，所以5·5=10×5= 2X50=10, 所以5a+b=10,所以(5,10]=a十b, 所以ab=a十b. 因为t=ab a+6:所以t=1. 本章综合提升 【本章知识归纳】 ①字母②B≠0③A=0④B≠0⑤A=AXM B BXM M是不等于0的整式)：合-公好(M是不等0 的整式) ⑥把分式中分子和分母的公因式约去 ⑦把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母 分式 ®哈·6-含：6会6-合2-a:2g± CAD,BCAD土BC D-BD士BD=BD ⑨先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号 里面的⑩去分母变为整式方程，解这个整式方程， 检验 【思想方法归纳】 【例1】解：因为x2十2x-1=0,所以x2+2x=1. 原式=x-2.(x-2)(x+2)x+4 (x-2)2 x十2 =x十2x+44 xx+2x(x+2) 又因为x(x+2)=x2+2x=1,所以原式==4 【变式训练1】A 【例2】C 【变式训圳练2】C 【变式训练3】解：(1)由题意，得 2=7, 3 方程两边同乘(1+x),得3-x=7(1十x), 去括号，得3-x=7+7x, 移项、合并同类项，得一8.x=4, 系数化为1，得x=- 1 2’ 经检验=一号是分式方程的解。 (2)若“■”是-1，则方程为十x一1十x 3 =-1, 方程两边同乘(1+x),得3一x=一(1十x), 去括号，得3一x=一1一x, 移项、合并同类项，得0=4， 则此时方程无解，与题意不符； 若"■是0，则方程为。千一 =0, 方程两边同乘(1十x),得3x=0, 移项，得x=3, 经检验，x=3是分式方程的解，符合题意. 综上，“■”表示的数是0. 【通模拟】 1.B2.A3.C4.B5.A6.D7.B8.B9 10.C11.-412.1 1展：1吕+0… 两边同乘x（1一x),得 -3x十x十2=0， 解得x=1, 检验：当x=1时，x(1一x)=0, 所以x=1是分式方程的增根，原方程无解. a(。”)×日+》 =a-2b×ab×a+b a-ba-2bab _a+6 a-b 当a=3,b=-5时， 原式=a十b3-5 1 a-b3-(-5)= 4 10 14.解：(1)4x Ax (2)由题意，得4x3x60 .10620 解得x=1.5, 经检验，x=1.5是原方程的解，且符合题意， 所以3.x=3×1.5=4.5, 4x=4×1.5=6. 答：甲的速度为4.5km/h,乙的速度为6km/h. 15.解：1)35 a (2)①根据题意，得 50×7_35=0.45, a a 解得a=700. 经检验，a=700是原方程的解. 50×7-0.5, 5=0.05. 答：新能源车的每千米行驶费用为0.05元，燃油车 的每千米行驶费用为0.5元 ②设每年行驶里程为x千米时，新能源车的年费用 更低， 根据题意，得0.05.x+7346<0.5x十5096， 解得x>5000. 所以每年行驶里程大于5000千米时，新能源车的 年费用更低， 答：每年行驶里程大于5000千米时，新能源车的 年费用更低 【通中考】 16.A17.A18.C 第十三章 全等三角形 13.1命题与证明 1.C B 2.若两个角分别是一个锐角和一个钝角，则这两个角 互补 3.D4.A 5.-2(答案不唯一)6.C7.A 8.解：（答案不唯一）已知：AC∥DE,DC∥EF,CD平 分∠BCA.求证：EF平分∠BED, 证明：如图所示. .AC∥DE,.∠BCA=∠BED, 即∠1+∠2=∠4+∠5. ∵DCEF,∴∠2=∠5. .CD平分∠BCA,∴.∠1=∠2， ∠4=∠5，∴.EF平分∠BED. 13.2全等图形 1.D2.C3.B 4.AC和BD,BC和AD,AB和BA ∠CAB和 ∠DBA,∠C和∠D,∠ABC和∠BAD 5.B6.A7.C8.30°9.1917 10.解：(1)，△ABC≌△DEB,DE=10,BC=6, ..AB DE=10,BE BC=6,.AE=AB- BE=4. (2),△ABC≌△DEB,∠D=30°，∠C=70°， ∴.∠BAC=∠D=30°，∠DBE=∠C=70°， ∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-30° 70°=80°， .∠DBC=∠ABC-∠DBE=80°-70°=10°. 11.5或412.C13.D14.7519 15.解：(1)证明：△ABD≌△CFD, ∴.∠BAD=∠DCF.又.∠AFE=∠CFD,AD⊥