17.4-17.5 直角三角形全等的判定 反证法-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

17.4直角三角形 之通基f础恤 知识点1利用“HL”判定直角三角形全等 1.(保定期中)如图所示，∠B=4D ∠DEF=90°，AB=DE.要根 据“HL”判定△ABC≌Bb △DEF,则需添加的条件是( A.BC=EF B.AC=DF C.∠A=∠D D.∠ACB=∠F 2.(廊坊期中)如图所示，在△ABC中，点D在边 BC上，DB=DC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 别为E,F,DE=DF. B 求证：Rt△DEB≌Rt△DFC. 以下是排乱的证明过程： ①.在Rt△DEB和Rt△DFC中， DB=DC, DE=DF, ②.Rt△DEB≌Rt△DFC(HL). ③∴.∠BED=∠CFD=90°. ④.DE⊥AB,DF⊥AC 证明过程正确的顺序是( ) A.④→②→③→①B.④→③→①→② C.③→②→①→④D.③→①→④→② 3.推理能力如图所示，Rt△ABC与Rt△DEF 的顶点A,F,C,D在同一条直线上，AB与 EF交于点G,BC与DE交于点H,∠B ∠E=90°，AF=CD,AB=DE. (1)求证：Rt△ABC≌Rt△DEF. △八年级·上册·数学.J小1H 全等的判定（答案P31) (2)若GF=2,求线段CH的长. 知识点2利用“HL”作直角三角形 4.几何直观如图所示，点M,N到直线l的距离 为MA,ND,垂足分别为A,D,B为AD的中 点，作MN的垂直平分线交直线l于点C,连 接MB,MC,NC,AM=CD,现给出下列结论： ①∠CNM=∠CMN:②△ACM≌△DNC: ③∠MCN=88°；④若CN=13,CD=5,则 BC=4.其中正确的结论是 .(填序号) BD 5.如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高. (1)尺规作图：作∠ABC的平分线1（保留作图 痕迹，不写作法，不写结论). (2)在已作图形中，若1与AD交于点E,且 BE=AC,BD=AD.求证：l⊥AC. 129 知识点3角平分线性质定理的逆定理 6.如图所示，已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于 点C,且DB=DC,∠BAC=40°，∠ADG=130°， 则∠DGF的度数为 7.已知：如图所示，P是OC上一点，PD⊥OA于 点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB 上的点，且PF=PG,DF=EG.求证：OC是 ∠AOB的平分线. ←通能力w 8.如图所示，D为△BAC的外角∠FAC平分线 上一点并且D在BC的垂直平分线上，过点D 作DE⊥AC于点E,DF⊥AB交BA的延长 线于点F,则下列结论：①△CDE≌△BDF; ②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC; ④∠DAF=∠ACD.其中正确的结论有() A.1个B.2个C.3个 D.4个 9.如图所示，BD=CF,FD⊥BC于点D,DEI AB于点E,BE=CD.若∠AFD=145°，则 ∠EDF= 130 10.如图所示，在四边形OACB中，CE⊥OA于 点E,∠1=∠2，CA=CB.求证：∠3+∠4= 180°；OA+OB=2OE. B 2 4 11.运算能力如图所示，有一直角三角形ABC, ∠C=90°，AC=10cm,BC=5cm,一条线段 PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过A点且 垂直于AC的射线AM上运动.问：当P点运 动到AC的什么位置时，△ABC才能和以A, P,Q为顶点的三角形全等？ 511154141445114144534 12.如图所示，BD=CD,∠ABD=∠ACD= 90°，点E,F分别在AB,AC上，若ED平 分∠BEF. (1)求证：FD平分∠EFC. (2)若EF=4,求BE+CF的值. B C △八年级·上册·数学.J小Hn 通素养一mu 13.推理能力如图所示，在△ABC中，AB=AC, DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D, CE⊥DE于点E (1)若B,C在直线DE的同侧（如图①所 示)，且AD=CE,求证： ①AB⊥AC ②DE=BD+CE. (2)若B,C在直线DE的两侧（如图②所 示)，且AD=CE,其他条件不变，AB与AC 垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请 说明理由. ② 131 17.5 反证法（答案P33) 通基础 LELEL111121414111111411113441 通能力 i881418241111774 知识点反证法 5.如图所示，在△ABC中， 1.用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直 AB≠AC. 角”应先假设这个三角形中( 求证：∠B≠∠C A.至少有两个内角是直角 证明：假设 B.没有一个内角是直角 则 (等角对等边). C.至少有一个内角是直角 这与 矛盾，假设不成立. D.每一个内角都不是直角 2.已知在△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°. 6.推理能力求证：两直线平行，内错角相等」 下面写出运用反证法证明这个命题的四个 如图①所示，若ABCD,且AB,CD被EF所 步骤： 截，求证：∠AOF=∠EO'D. ①∴.∠A十∠B+∠C>180°，这与三角形内角 B 和为180°矛盾： 0' ②因此假设不成立.∴.∠B<90°； ① ② ③假设在△ABC中，∠B≥90°； 以下是打乱的用反证法证明的过程： ④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即∠B+ ①如图②所示，过点O作直线A'B',使 ∠C≥180°. ∠A'OF=∠EO'D: 这四个步骤正确的顺序应是() ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得 A.④③①② B.③④②① A'B'∥CD: C.①②③④ D.③④①② ③假设∠AOF≠∠EO'D: 3下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线 ④∴.∠AOF=∠EO'D; 上符号代表的内容，则回答不正确的是( ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已 已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c, 知直线平行”矛盾，假设不成立. AC=b,BC=a. 证明步骤的正确顺序是 利用反证法求证：a2十b2≠c2. 7.用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角」 证明：假设在△ABC中，回，则由勾股 定理的逆定理可知#，这与已知中的 ※矛盾，故假设不成立，所以★· A.回代表a2+b2=c2B.#代表∠C=90° C.※代表∠C≠90°D.★代表a2+b2>c 4.判断命题“如果n≤1，那么n2一1<0”是假命 题，只需举一个反例，反例中的可以 是 132..BC=DC+BD=40+16=56(m). 即这栋楼的高度为56m. 14.解：(1)n2-12n2+1 (2)以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 理由：，a=n2-1,b=2,c=n2+1, .a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-22+1+ 4n2=n4十2n2十1=(n2十1)2. .c2=(n2+1)2, .a2+b2=c2 ∴.根据勾股定理的逆定理，得以a,b,c为边的三角 形是直角三角形 专题九巧用勾股定理解决问题 1.C 2.解：(1)证明：由折叠可得△BDE≌△CDE, ∴.CE=BE=13. 在△ACE中，CE=13,AC=12,AE=5, .AC2+AE2=122+52=169,CE2=169, .AC2+AE2=CE2,.∠A=90°. (2)由折叠可得△BDE≌△CDE, ..BD=CD=5,..BC=BD+DC=10. ∠A=90°，AC=6, 在Rt△ABC中， 根据勾股定理，得AB2+AC2=BC2, .AB=√/102-62=8. ,CE=BE,.△AEC的周长为AE+CE+AC= AB+AC=8+6=14. 3.D4.B 5.解：在Rt△ACD中，，∠ADC=90°，∠CAD=30°， CD=30米，.AC=2CD=60米， AD=√JAC2-CD=30W5米. ∠CBD=60°， ∴.∠BCA=∠BAC=30°，∴AB=BC 在Rt△BCD中，.'∠BCD=30°， ∴BC=2BD. ,BD2+CD2=BC2,.BD2+302=(2BD)2, 解得BD=10√3米， .AB=AD-BD=20W3≈34.6（米）. ,校车从A到B用时4秒， ∴.速度为34.6÷4≈8.65（米秒）. 8.65×3.6=31.14(千米时). ,31.14<40,.这辆校车在AB段不超速。 阶段检测五（17.1~17.3) 1.D2.D3.A4.C5.B6.C7.D 8.39.1510.2 11.(1)12(2)6+4/3 12.(1)4(2)10解析：(1)在△ABC中，AB= AC=2√2，∠BAC=90°， .BC=√JAB+AC2=√/(2√2)2+(22)2=4. (2)如图所示，连接CE. ,在△ABC中，AB=AC= 2√2，∠BAC=90°， .∴.∠ABC=∠ACB=45°， ∠BAD+∠DAC=90°. .AD⊥AE,∴.∠DAE=90°， .∠CAE+∠DAC=90°，∴.∠BAD=∠CAE. (AB=AC, 在△BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE, AD=AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS), ∴.CE=BD=1,∠ACE=∠ABD=45°， .∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°. CD=BC-BD=4-1=3, ∴.DE=√CD+CE2=√32+1'=/10. 13.证明：DEBN,∴∠NBD=∠BDE. ,BD平分∠CBN,.∠NBD=∠DBE, .∠BDE=∠DBE,EB=ED .AM∥BN,∴.DE∥AM, ∴.∠EDC=∠DCM. .CD平分∠BCM,∴.∠DCM=∠ECD, ∴∠EDC=∠ECD, .EC=ED,∴.EB=EC .AB=AC,.AE⊥BC. 14.证明：，△ABC为等边三角形， ∴.∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC, ∴.∠EAF=∠EBD=120°. .BE=CD, ∴.BE+AB=BC+CD,即AE=BD. 在△BDE和△AEF中， (BE=AF, ∠EBD=∠EAF, BD=AE, .△BDE≌△AEF(SAS),∴.EF=ED 同理可得△AEF≌△CFD, ∴.EF=FD,∴.EF=ED=FD, ∴△DEF为等边三角形. 15.解：(1)△ACD是直角三角形.理由如下： .AC=6.5千米，DC=2.5千米，AD=6千米， .AD2+DC2=62十2.52=42.25，AC2=6.52= 42.25, .AD2+DC2=AC2,∴.△ACD是直角三角形. (2)由(1)可知AD⊥BC, 设BD=x千米，则BA=BC=(x十2.5)千米. 在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2, .62+x2=(x+2.5)2, 解得x=5.95,.AB=8.45千米。 17.4直角三角形全等的判定 1.B2.B 3.解：(1)证明：AF=CD,∴.AF+FC=CD+CF, 即AC=DF. 在R△ABC和R△DEF中，AB=DE, (AC=DF, ,.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). (2),Rt△ABC≌Rt△DEF, ∴.∠A=∠D,∠BCA=∠EFD, ∴.180°-∠BCA=180°-∠EFD, 即∠DCH=∠AFG. ∠A=∠D, 在△AGF和△DHC中，3AF=DC, ∠AFG=∠DCH, .△AGF≌△DHC(ASA), ∴.GF=CH.GF=2,∴.CH=2. 4.①② 5.解：(1)如图所示，l即为所求， (2)证明：AD为△ABC的高， .∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△BDE和Rt△ADC中， (BE=AC, BD-AD. .Rt△BDE≌Rt△ADC(HL),∴.∠BED=∠C. 又.∠CAD+∠C=90°，∠BED=∠AEO, ∴.∠CAD+∠AEO=90°，∴.∠AOE=90°， .l⊥AC. 6.150° 7.证明：，PD⊥OA,PE⊥OB,∴.∠PDF= ∠PEG=90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中，.PF=PG, DF=EG, .Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴.PD=PE P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB, .OC是∠AOB的平分线. 8.C解析：如图所示.，AD平 分∠CAF,DE⊥AC, DF⊥AB,.DE=DF ,D在BC的垂直平分线上， ..BD=CD. 在Rt△CDE和Rt△BDF中， (CD=BD, DE-DF. ∴.Rt△CDE≌Rt△BDF(HL),故①正确： ,∴.CE=BF 在Rt△ADE和Ri△ADF中，DE=DF, AD=AD, ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴.AE=AF, ∴.CE=BF=AB十AF=AB十AE,故②正确； Rt△CDE≌Rt△BDF,.∠DBF=∠DCE. ,∠AOB=∠DOC,∠BAC=180°-∠AOB ∠DBF,∠BDC=180°-∠DOC一∠DCE, ,∴.∠BDC=∠BAC,故③正确； 在△ABD中，∠DAF是△ABD的外角，∠DAF> ∠DBF=∠ACD,故④错误. 综上所述，①②③正确，共3个」 9.55° 10.证明：如图所示，过点C作CF⊥ OB于点F,则∠F=∠CEO=90°. B .∠1=∠2，OC=OC, ∴.△FOC≌△EOC, ..CE=CF,OE=OF. .CA=CB,∠CEA=∠CFB=90°， .Rt△CAE≌Rt△CBF(HL), ∴.∠4=∠CBF,AE=BF .∠3+∠CBF=180°，.∠3+∠4=180°. OA+OB=(OE+AE)+(OF-BF)=OE+ OF=20E. 11.解：①当点P运动到PA=BC时， 由题意知，∠C=∠QAP=90°. 在Rt△ABC和Rt△QPA中， (AB=QP, BC=PA. .Rt△ABC≌Rt△QPA(HL), ∴.PA=BC=5cm, 此时点P为AC的中点； ②当点P运动到与点C重合，即AP=AC时， 在Rt△BCA和Rt△QAP中， (AB=PQ, AC=PA, .Rt△BCA≌Rt△QAP(HL), .'.AP=AC=10 cm. 此时点P与点C重合， 综上所述，当点P运动到AC的中点或点P与点C 重合时，△ABC才能和以A,P,Q为顶点的三角 形全等. 12.解：(1)证明：如图所示，过点D 作DM⊥EF,垂足为M. ED平分∠BEF,DB⊥AB, .'BD=DM. B .'BD=CD,.'DC=DM. ∠ACD=90°， ∴.FD平分∠EFC (2)ED平分∠BEF,.∠DEB=∠DEM. 在△BDE和△MDE中， ∠B=∠EMD, ∠DEB=∠DEM, DE-DE, .△BDE≌△MDE(AAS), .EB=EM.同理CF=MF. .BE+CF=EF=4. 13.解：(1)证明：①，BD⊥DE,CE⊥DE, ..∠ADB=∠AEC=90°. 32 在Rt△ABD和Rt△CAE中， AB=CA, AD=CE, ∴.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), .∴.∠DBA=∠EAC,AE=BD. .∠BAD+∠DBA=90°， ∴.∠BAD+∠CAE=90°， .∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE)=90°， .AB⊥AC ②，AD=CE,AE=BD, .DE=AD+AE=CE+BD. (2)结论：AB⊥AC. 证明：，BD⊥DE,CE⊥DE, ∴.∠ADB=∠AEC=90°. 在Rt△ABD和Rt△CAE中， AB=CA, AD=CE, ∴.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), .∠DAB=∠ECA. ,∠CAE+∠ECA=90°， ∴.∠CAE+∠BAD=90°， 即∠BAC=90°，∴.AB⊥AC 17.5反证法 1.A2.D3.D4.-2(答案不唯一) 5.∠B=∠CAB=AC已知AB≠AC ∠B≠∠C 6.③①②⑤④ 7.解：已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B,∠C必 为锐角. 证明：假设∠B,∠C不是锐角，则可能有两种情况： ①∠B=∠C=90°；②∠B=∠C>90. 若∠B=∠C=90°，则∠A+∠B+∠C>180°，这与 三角形内角和定理矛盾。 若∠B=∠C>90°，则∠A+∠B+∠C>180°，这与 三角形内角和定理矛盾. 所以假设不成立，故∠B,∠C必为锐角. 即等腰三角形的底角是锐角. 本章综合提升 【本章知识归纳】 ①两个底角②高线③中线④顶角的平分线 ⑤两个角⑥60°⑦等腰⑧斜边的一半⑨斜边 的一半@⑩a2+b2=c2①a2十b2=c2@斜边和 条直角边 【思想方法归纳】 【例1】A 【变式训练1C 【变式训练2】解：(1)如图所示. AB=√22+22=2√2， AB即为所求 (2)如图所示， 根据网格特点，∠ABC=90°，AB=2√2，AC= √52+1=√26，BC=√32+32=3√2，AC2= AB2+BC2, ∴.AB<BC<AC,∠ABC=90°， ∴.Rt△ABC即为所求， (3)由(2)，得AB=2√2，BC=3√2， SR△ABC= 2ABXBC- 2×22X32=6. 【例2】B解析：作AB的垂直平分线，如图所示，没有 符合条件的点： 以点B为圆心，AB长为半径画孤，如图所示，有 5个符合条件的点； 以，点A为圆心，AB长为半径画孤，如图所示，有 3个符合条件的点 C 综上所述，符合条件的点C有8个。 【变式训练3】解：①当底边长为5，两腰长为6时，此时 能构成三角形， 周长为5+6+6=17： ②当底边长为6，两腰长为5时，此时能构成三角形， 周长为5+5+6=16. 综上所述，等腰三角形的周长为17或16. 【变式训练4】解：(1)(8-2t) (2).在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC= 6 cm,AC=8 cm, 1 S△A=2 XACXBC=24(cm). 3