17.2 直角三角形-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

17.2直角 ←通基础 知识点1直角三角形的性质定理1 1.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB= 90°，CD⊥AB,则与∠1互余的角有() A.∠B B.∠A C.∠BCD和∠A D.∠BCD 2.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较 小的一个锐角的度数是() A.24° B.34° C.44° D.46° 3.如图所示，将△ABC绕着点C按顺时针方向 旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置， 若AC⊥A'B',则∠BAC的度数是() A.50 B.60° C.70° D.80° 知识点2直角三角形的判定定理 4.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形 的是( ) A.∠A=90°-∠B B.∠A-∠B=∠C C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=3∠C 5.(邯郸期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°， ∠CED=∠A,则△CDE为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上均有可能 △八年级·上册·数学·J小 三角形（答案P28) 知识点3直角三角形的性质定理2 6.(保定月考)如图所示，竖直的墙体AB上斜靠 着一根木条MN,木条的中点Q与墙角B之间 由一条有弹力的绳子（图中虚线）连接，木条沿 墙体AB滑落过程中出现BQ1,BQ2两种情 形，绳子长度分别为α和b,则下列关系正确的 是() A.a<b B.a=b C.a>b D.无法确定 Q B 第6题图 第7题图 7.(保定期末)如图所示，在Rt△ABC中，CD是 斜边AB上的中线.若∠B=70°，则 ∠DCA=() A.10 B.20° C.30° D.40° 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，点M是AB的中 点，∠A=25°，则∠BCM 9.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是 4cm,6cm,则它的面积是 知识点4含30°角的直角三角形 10.(秦皇岛月考)如图所示，梯子与地面的夹角 为60°，上端A靠墙，底端B距离墙角3米， 则梯子的长度为 B/C 77777777777777777777 第10题图 第11题图 11.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B= 30°，CH⊥AB于点H.若AH=2,则 BH= 117 ☆易错点没有将问题考虑全面造成漏解 12.已知AD是△ABC的一条高，∠BAD=70°， ∠CAD=20°，则∠BAC的度数为 ·通能力 BBB1KEBB1111111111111111811 13.(唐山期中)如图所示，在△ABC中，∠C= 60°，AD⊥BC,AE=DE,连接BE并延长交 AC于点F.若∠AFB=90°，EF=3,则BF 的长为( ) A.15 B.20 C.9 D.12 第13题图 第14题图 14.如图所示，△ABC是等边三角形，D为BA 的中点，DE⊥AC,垂足为E,EF∥AB,AE= 1,下列结论错误的是() A.∠ADE=30° B.AD=2 C.△ABC的周长为10 D.△EFC的周长为9 15.如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°，AB= 3,BC=6,点E在BA的延长线上，点D在 BC边上，且ED=EC.若AE=5,则BD的 长等于() 5 A.3 C.2 D. 2 第15题图 第16题图 16.运算能力如图所示，已知∠AOE=∠BOE= 15°，EF∥OB,EC⊥OB.若EC=1, 则EF= 118 17.如图所示，在△ABC中，AD是高，AE,BF 分别是∠BAC,∠ABC的平分线，它们相交 于点O,∠C=70°. (1)求∠AOB的度数. (2)若∠ABC=60°，求∠DAE的度数 ←通素养mL 18.已知在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线 AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D,且M 为EC的中点，连接BM,DM! (1)如图①所示，若点E在线段AB上，直接 写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD 所满足的数量关系。 (2)如图②所示，若点E在BA的延长线上，你 在(1)中得到的结论是否仍然成立？写出你的 猜想并加以证明. 41115441441511414443(2)由(1)，知MB=ME. 同理可得EN=CN. .'AB=8 cm,AC=13 cm, ∴.△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+ MB+AN+NC=AB+AC=21 cm. 2.解：(1)，D是BC边上的中点， .BD=CD. .AB=AC,AD=AD,.△ABD≌△ACD(SSS), .∠BAD=∠CAD=42°，∠ABC=∠C. :∠ABC+∠C+∠BAD+∠CAD=180°， .∠C=∠ABC=48. (2)证明：，BE平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE. ,EF∥BC,.∠FEB=∠CBE, ∠ABE=∠FEB,∴.FB=FE 3.解：(1)证明：四边形EFC'D'是将长方形ABCD中 的四边形CDEF沿EF所在直线折叠得到的， ∴.∠EFC'=∠1. ADBC,.∠1=∠FEC', ∠EFC'=∠FEC',CE=C'F, ∴.△EFC是等腰三角形 (2).∠CFE=∠C'EF=∠1=65°， ∴.∠EC'F=180°-2×65°=50°. ∠D'C'F=∠2+∠EC'F=∠C=90°， ∴.∠2=90°-∠EC'F=40° 4.解：(1)A90 (2)如图所示，连接EF,△AEF是 等腰直角三角形， 理由如下： 由旋转，得△ADE≌△ABF, ∴.AE=AF,∠DAE=∠BAF ,四边形ABCD是正方形， .∠DAB=90°，∴.∠DAE+∠BAE=90°， .∠FAB+∠BAE=90°，即∠FAE=90°， ∴.△AEF是等腰直角三角形 5.证明：(1)，BF=DE,∴.BF+EF=DE+EF,即 BE=DF. AB=CD,∠B=∠D=90°， .△ABE≌△CDF(SAS). (2)由(1)，得△ABE≌△CDF, .∠AEB=∠CFD,∴.OE=OF, ∴△OEF是等腰三角形. 6.解：(1).AB=AC,∴.∠B=∠C ,∠B+∠C=180°-∠A=180°-50°=130°， ∠B=65° (2),AB=AC,∴.∠B=∠C .DE∥AB,.∠B=∠CDE, ∴∠C=∠CDE,CE=DE, ∴.△CDE是等腰三角形 7.解：△ABC是等腰三角形.理由如下： 设∠ACE=x. :∠ACE=∠ACD∠ACD=4∠ACE=4, ∴.∠ECD=∠ACD-∠ACE=3x. :5F平分∠ABC∠CBE-∠ABC :∠A+∠ABC=∠ACD=4x,∠BEC+∠CBE= ∠ECD=3x,∴.∠BEC=3x-∠CBE=3x- 2∠ABC,∠A=4-∠ABC. :∠BBC=∠Ax-3∠ABC=4x-∠ABC. ∴.∠ABC=2x,∴.∠A=4x-∠ABC=2.x, ∠A=∠ABC,.AC=BC,△ABC是等腰三 角形. 8.解：△CDF是等腰三角形. 证明：，△ABC是等边三角形， ∴.∠B=∠A=60°. .EF⊥AB,.∠AEF=∠BED=90°， .∠BDE=180°-∠BED-∠B=180°-90°- 60°=30°， ∠F=180°-∠AEF-∠A=180°-90°-60°=30°. .∠CDF=∠BDE=30°，∴.∠CDF=∠F, .CD=CF,∴.△CDF是等腰三角形. 17.2直角三角形 1.C2.B3.C4.D5.B6.B7.B 8.65°9.24cm210.6米11.6 12.50°或90°13.A14.C15.C16.2 17.解：(1)在△ABC中， ,∠C=70°，.∠ABC+∠BAC=110. :AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线， ∴.∠ABO+∠BAO=55°. .∠A0B=180°-55°=125 (2)在△ABC中，，∠ABC=60°，∠C=70°， .∠BAC=∠180°-60°-70°=50°. ,AE是∠BAC的平分线， .∠CAE=25°. ,AD是△ABC的高， .∠ADC=90. :∠C=70°，∴.∠CAD=20°， .∠DAE=∠CAE-∠CAD=25°-20°=5. 18.解：(1)BM=DM,∠BMD=2∠BCD. (2)在(1)中得到的结论仍然成立. 猜想：BM=DM,∠BMD=2∠BCD, 证明：点M是Rt△BEC的斜边EC的中点， BM-EM-MC-7 EC. 点M是Rt△DEC的斜边EC的中点， DM-EM-MC-7EC.BM-DM. .BM=MC,DM=MC, ∴.∠CBM=∠BCM,∠DCM=∠CDM. 8 '.∠BMD=∠EMB-∠EMD=(∠BCM+ ∠CBM)-(∠DCM+∠CDM)=2∠BCM- 2∠DCM=2(∠BCM一∠DCM)=2∠BCD,即 ∠BMD=2∠BCD. 17.3 勾股定理 第1课时勾股定理 1.B2.A3.B4.C5.C6.B 7.解：Sees=号(EF+AB)·BE= 2(a+b). a+b)=3a+b. .Rt△CDA≌Rt△FGC,∴.∠ACD=∠CFG. .∠CFG+∠GCF=90°，∴.∠ACD+∠GCF=90°， 即∠ACF=90°. ,S梯形ABEF=S△ABe十S△CEF十S△ACF= 12 、`.(a+b)2=1 ,1 ab十ab十Dc， .a2+2ab+b2=2ab+c2,∴.a2+b2=c2 8.C9.D10.C11.C12.B13.A 14.B解析：在Rt△ABC中， .∠BAC=90°，AB=6, H BC=10,.由勾股定理，得 AC=8. 如图所示，延长AB交KLK 于，点P,延长AC交LM于 点Q. 由题意，得∠BAC=∠BPF=∠FBC=90°， BC=BF, ∴.∠ABC+∠ACB=90°=∠PBF+∠ABC, .∠ACB=∠PBF,∴.△ABC≌△PFB(AAS), 同理可证△ABC2△QCG(AAS), ∴.PB=AC=8,CQ=AB=6. 题图②是由题图①放入长方形内得到， ∴.IP=8+6+8=22,DQ=6+8+6=20, .长方形KLMJ的面积为22×20=440. 15.(1)√5(2)6解析：(1)如图所示. -… 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB= WAC2十BC2=√/22+1=√/5. (2)如图所示，满足条件的格点C共有6个. -1- 5 16.> 17.解：如图示，连接AC,过点 C作CE⊥AD于点E. ,AB⊥BC,AB=5, BC=12, B◇ .AC=√AB+BC2 √/52+122=13. ,CD=13,∴.AC=CD=13. AD=10,CE⊥AD, ·.AE=2AD=5. .CE=√AC2-AE=/132-52=12. ÷Sawn=Sae十SAm=专AB·BC十 2AD·CE=号×5X12+号×10X12=80+ 60=90. 18.解：点D是BC的中点，MB=MC,∴.MD⊥BC. :BC=10BD=2BC=5. MB=13,.MD=√/MB2-BD2=12. ∠CBE=45°，∠DFB=45°， .DF=BD=5,..MF=MD-DF=7. 19.解：(1)根据正方形的面积公式，得 S=BC2,S2=AC2,S3=AB2. 根据勾股定理，得BC2十AC2=AB2, S1+S2=S3. (2)根据圆的面积公式，得 s=2)-c, s=9-4ac. 根据勾股定理，得BC2十AC2=AB2. S+5-5DC+gAC-后AB=S 第2课时勾股定理的应用 1.C 2.B解析：由题意，知∠CAB=180°-42°-48°=90°， AC=0.5×16=8(海里)，BC=17海里. 由勾股定理，得AB=√BC2-AC2=15海里， ∴.乙船的航速是15÷0.5=30（海里/时）. 3.C 4.B解析：如图所示， 当吸管底部在底面圆心时，吸管在罐 内部分最短， 此时吸管在罐内的长度就是圆柱形的 高，即12， B飞 .a=16-12=4;