17.2 直角三角形 课时作业 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

冀教版八年级上册　第十七章　17.2 直角三角形　课时作业 冀教版 · 八年级上册 · 第十七章 特殊三角形 17.2　直角三角形 （课时作业 · 含知识点梳理、典型例题、分层练习、答案与解析） 班级：__________ 姓名：__________ 学号：________ 用时：约45分钟 一、学习目标 1．掌握直角三角形的性质“两个锐角互余”，以及判定“有两个角互余的三角形是直角三角形”． 2．掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，并能用它解决线段、角度问题． 3．掌握“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及其逆命题． 4．能综合运用直角三角形的性质进行计算和证明，体会转化与方程思想． 二、知识梳理 知识点1　直角三角形的概念及表示 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边． 图1　Rt△ABC与斜边上的中线CD 知识点2　直角三角形两锐角的关系 性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余． 几何语言：在Rt△ABC中，∵ ∠C＝90°，∴ ∠A＋∠B＝90°． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 几何语言：在△ABC中，∵ ∠A＋∠B＝90°，∴ △ABC是直角三角形（∠C＝90°）． 知识点3　直角三角形斜边上的中线 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 几何语言（如图1）：在Rt△ABC中，∵ ∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴ ． 推论：由CD＝AD＝BD可得△ACD，△BCD都是等腰三角形，这是求角度的重要依据． 知识点4　含30°角的直角三角形 定理及其逆命题 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言（如图2）：在Rt△ABC中，∵ ∠C＝90°，∠A＝30°，∴ ． 逆命题（也成立）：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 图2　含30°角的直角三角形 知识点5　直角三角形中的常用结论 （1）直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个小直角三角形中，与原三角形有相等的锐角．如图，若∠ACB＝90°，CD⊥AB，则∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A． （2）面积法：若直角三角形两直角边为a，b，斜边为c，斜边上的高为h，则 ，所以 ． （3）使用“30°角所对直角边等于斜边一半”时，一定要在直角三角形中，且是30°角所对的直角边． 三、典型例题 例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A比∠B大20°，求∠A，∠B的度数． 解：∵ ∠C＝90°，∴ ∠A＋∠B＝90°．又∵ ∠A－∠B＝20°， 解得∠A＝55°，∠B＝35°． 例2　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．求证：∠ACD＝∠B． （例2图） 证明：∵ CD⊥AB，∴ ∠ADC＝90°，∴ ∠ACD＋∠A＝90°． ∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠B＋∠A＝90°． ∴ ∠ACD＝∠B（同角的余角相等）． 例3　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∠A＝35°，AB＝10．求CD的长及∠BCD的度数． （例3图） 解：∵ ∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴ ． ∵ ∠A＝35°，∴ ∠B＝90°－35°＝55°． ∵ CD＝BD，∴ ∠BCD＝∠B＝55°． 例4　如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3．求BC的长． （例4图） 解：∵ ∠C＝90°，∠B＝30°，∴ ∠BAC＝60°． ∵ AD平分∠BAC，∴ ∠CAD＝∠BAD＝30°． 在Rt△ACD中，∵ ∠CAD＝30°，∴ AD＝2CD＝6． ∵ ∠BAD＝∠B＝30°，∴ BD＝AD＝6． ∴ BC＝BD＋CD＝6＋3＝9． 点评：本题两次“借助30°角”：一次在直角三角形中得AD＝2CD，一次用“等角对等边”得BD＝AD． 例5　如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：MN⊥BD． （例5图） 证明：连接BM，DM． ∵ ∠ABC＝90°，M是AC的中点，∴ ． 同理，．∴ BM＝DM． ∵ N是BD的中点，∴ MN⊥BD（三线合一）． 例6　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是斜边AB上的中线．求△BCD的周长． 解：∵ ∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴ AB＝2BC＝4，∠B＝60°． ∵ CD是斜边上的中线，∴ ． ∴ △BCD是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形， ∴ △BCD的周长为 2×3＝6． 四、课时作业 （一）基础巩固 一、选择题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．55° C．65° D．75° 2．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＋∠B＝2∠C C．∠A＝∠B＝30° D． 3．直角三角形斜边上的中线长为5，则斜边长为（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．20 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，则BC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝40°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° （第5题图） 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．若∠B＝34°，则∠ACD的度数为（　　） A．34° B．56° C．66° D．68° （第6题图） 7．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，AB＝6，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，它的最短边长为2，则最长边长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 9．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．若AB＝12，则CD＝________． （第10题图） 11．等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的腰长为________． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则∠B＝________． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D．若CD＝2，则AD＝________． （第13题图） 14．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形顶角的度数为__________． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1，则AB＝________． （第15题图） （二）能力提升 三、解答题 16．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝∠DAC．求证：△ABC是直角三角形． （第16题图） 17．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，M是BC的中点，连接ME，MF，EF． （1）求证：ME＝MF；　（2）若∠A＝60°，BC＝8，求△MEF的周长． （第17题图） 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，AB＝8．求BD和AD的长． （第18题图） 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D．求证：BC＝3BD． （第19题图） 20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E，F分别是AB，AC的中点．若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长． （第20题图） 21．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东30°方向上；轮船航行2小时后到达B处，测得灯塔C在北偏东60°方向上． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）若轮船继续向正北方向航行，还需航行多少小时，轮船离灯塔C最近？ （第21题图） （三）拓展探究 22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E．若DE＝2，求BC的长． （第22题图） 23．请你证明定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．求证：． （提示：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD．） （第23题图） （四）易错专练 24．直角三角形斜边上的中线与斜边上的高分别为5和4，则这个直角三角形的面积为________． 25．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是________三角形；若它的最长边为10，则最短边为________． 26．在△ABC中，AB＝AC＝8，∠B＝15°，CD是腰AB上的高．求CD的长． 五、参考答案与解析 （一）基础巩固 1．【答案】C 【解析】∠B＝90°－25°＝65°． 2．【答案】D 【解析】D项设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，由 x＋2x＋3x＝180°得x＝30°，∠C＝90°．A项∠A∶∠B∶∠C＝6∶3∶2，最大角约为98°；B项∠C＝60°；C项∠C＝120°． 3．【答案】C 【解析】斜边长＝2×5＝10． 4．【答案】B 【解析】BC是30°角所对的直角边，． 5．【答案】B 【解析】∠BCD与∠A都是∠B的余角，所以∠BCD＝∠A＝40°． 6．【答案】B 【解析】∠A＝90°－34°＝56°．∵ CD＝AD，∴ ∠ACD＝∠A＝56°． 7．【答案】A 【解析】由∠A＋∠B＝90°，∠B＝2∠A，得∠A＝30°．BC是∠A所对的直角边，所以 ． 8．【答案】C 【解析】三个角分别为30°，60°，90°，最短边是30°角所对的边，斜边（最长边）＝2×2＝4． 9．【答案】18° 【解析】设较小锐角为x，则 x＋4x＝90°，x＝18°． 10．【答案】6 【解析】． 11．【答案】6 【解析】底角为30°，底边上的高与腰、半条底边构成直角三角形，高是30°角所对的直角边，所以腰长＝2×3＝6． 12．【答案】30° 【解析】由逆命题知，AC所对的角∠B＝30°． 13．【答案】4 【解析】∠ABC＝60°，∠CBD＝∠ABD＝30°．在Rt△BCD中，BD＝2CD＝4；又∠ABD＝∠A＝30°，所以AD＝BD＝4． 14．【答案】30°或150° 【解析】当顶角为锐角时，高在形内，由“一条直角边等于斜边一半”知顶角为30°；当顶角为钝角时，高在形外，顶角的邻补角为30°，顶角为150°． 15．【答案】4 【解析】∠BCD＝∠A＝30°，在Rt△BCD中，BC＝2BD＝2；在Rt△ABC中，AB＝2BC＝4． （二）能力提升 16．证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝90°，∴ ∠B＋∠BAD＝90°． ∵ ∠B＝∠DAC，∴ ∠DAC＋∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°． ∴ △ABC是直角三角形． 17．（1）证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴ △BCE和△BCF都是以BC为斜边的直角三角形． ∵ M是BC的中点，∴ ，，∴ ME＝MF． （2）解：∵ MB＝MF，MC＝ME，∴ ∠MFB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB， ∴ ∠BMF＝180°－2∠ABC，∠CME＝180°－2∠ACB． ∵ ∠A＝60°，∴ ∠ABC＋∠ACB＝120°， ∴ ∠EMF＝180°－∠BMF－∠CME＝2(∠ABC＋∠ACB)－180°＝60°． 又ME＝MF＝4，∴ △MEF是等边三角形，周长为 4×3＝12． 18．解：在Rt△ABC中，∵ ∠A＝30°，∴ ，∠B＝60°． ∵ CD⊥AB，∴ ∠BCD＝90°－∠B＝30°． 在Rt△BCD中，， ∴ AD＝AB－BD＝8－2＝6． 19．证明：∵ AB＝AC，∠BAC＝120°，∴ ∠B＝∠C＝30°． ∵ AD⊥AC，∴ ∠DAC＝90°，在Rt△ADC中，∠C＝30°，∴ CD＝2AD． ∵ ∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝120°－90°＝30°＝∠B，∴ AD＝BD． ∴ CD＝2BD，∴ BC＝BD＋CD＝3BD． 20．解：∵ AD⊥BC，∴ △ADB和△ADC都是直角三角形． ∵ E是AB的中点，∴ ； ∵ F是AC的中点，∴ ． ∴ 四边形AEDF的周长＝AE＋ED＋DF＋FA＝5＋5＋4＋4＝18． 21．解：（1）由题意得AB＝20×2＝40（海里），∠A＝30°，∠CBD＝60°（D为点C到航线的垂足）． ∵ ∠CBD是△ABC的外角，∴ ∠ACB＝∠CBD－∠A＝60°－30°＝30°＝∠A， ∴ BC＝AB＝40（海里）． （2）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，此时轮船离灯塔最近． 在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴ ∠BCD＝30°，∴ （海里）． 20÷20＝1（小时）．答：还需航行1小时，轮船离灯塔C最近． （三）拓展探究 22．解：连接AD．∵ DE垂直平分AB，∴ AD＝BD，∴ ∠DAB＝∠B＝30°． 在Rt△BDE中，∠B＝30°，∴ BD＝2DE＝4，∴ AD＝4． ∵ ∠BAC＝90°－30°＝60°，∴ ∠CAD＝60°－30°＝30°． 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴ ． ∴ BC＝BD＋CD＝4＋2＝6． 23．证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD． ∵ ∠ACB＝90°，∴ AC⊥BD，又CD＝BC，∴ AC垂直平分BD，∴ AB＝AD． ∵ ∠BAC＝30°，∴ ∠B＝60°． ∴ △ABD是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，∴ BD＝AB． ∴ ． （四）易错专练 24．【答案】20 【解析】斜边＝2×5＝10，面积＝ ×10×4＝20．易错点：误把中线当作高． 25．【答案】直角；5 【解析】三个角为30°，60°，90°，最短边是30°角所对的直角边，等于斜边的一半，即5． 26．解：∵ AB＝AC，∠B＝15°，∴ ∠ACB＝∠B＝15°，∠BAC＝150°，是钝角， ∴ 腰AB上的高CD在三角形外部，垂足D在BA的延长线上（如图）． （第26题图） ∵ ∠DAC是△ABC的外角，∴ ∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30°． 在Rt△ACD中，． 易错点：误认为高在三角形内部而无从下手． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $