17.1 等腰三角形-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

第十七章 特殊三角形 /1///1I 大单元建构 /1/1/11A 两个锐角万余 轴对称形 斜边上的中线等 丁斜边的·半 等边对等角· 性质 质 30°角所对的古角 线合 边等于斜边的一半 等腰三角形 定义 勾股定理 判定 直角三角形 两个角互余的一角形 等角对等边· 判定 勾股定理的逆定理 三条边相等 市角三角形例 SAS,ASA,AAS, 特殊三角形 全等的判定 SSS,HL 三个角都相等 每个角都等于60° 沟股定理 勾股定理 定义 等边三角形 勾股定理的逆定理； 三条边相等的三角形 +假设命题的论不正确 判定 三个角都相等的二角形 反证法 步骤 从假设出发，经过推理论证， 得出矛盾 有一个角是60°的等腰三角形 ·判断假设不成立，原结论正确 1/111/1/ ·本章核心素养· /1111/1 学科核心素养 具体内容 价值 通过对等腰三角形、直角三角形的性质和判定的研究，在推理 推理能力有助于逐步养成重论 推理能力 计算的过程中感受数学知识之间的联系，形成有依据、有条 据、合乎逻辑的思维习惯，形成实 理、合乎逻辑的思维习惯，进一步提高逻辑推理能力 事求是的科学态度与理性精神 通过对等腰三角形和直角三角形操作、探索并证明研究的过 几何直观有助于把握问题的本 几何直观 程，培养几何直观能力 质，明晰思维的路径 运算能力有助于形成规范化思考 根据特殊三角形的性质、勾股定理，发展对图形性质和数量关 运算能力 问题的品质，养成一丝不苟、严谨 系的猜想及验证能力，求相关角和线段 求实的科学态度 应用意识有助于用学过的知识和 运用勾股定理及其逆定理，解决简单的实际问题，感悟数学源 方法解决简单的实际问题，养成 应用意识 于生活、应用于生活，并能解决生活中的很多实际问题 理论联系实际的习惯，发展实践 能力 110 17.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质（答案P26)》 ·通基础 *iHuIHIHMiIHu 知识点3等边三角形的性质 6.(衡水期中)如图所示，将一块等边三角形纸板 知识点1等腰三角形的有关概念 与直尺叠放在一起，且等边三角形纸板的一个 1.(廊坊期中)等腰△ABC的周长为16，则底边 顶点在直尺的一边上，则a与3的数量关系 BC长不可能为() 为( A.3 B.5 C.7 D.9 A.a+B=180° B.&+3=120° 知识点2等腰三角形的性质 C.a=3 D.a-3=60° 2.如图所示，在△ABC中，AB=AC,若∠1= 100°，则∠2的度数为() A.160°B.140° C.100° D.80° 第6题图 第7题图 7.如图所示，点H,M在线段AC上，点G在线 段HF上，且△ABC,△DHF和△GMN均是 第2题图 第3题图 等边三角形，那么∠1十∠2+∠3=() 3.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD为中 A.160° B.100° C.150° D.180° 线，∠B=70°，则∠1=() 8.如图所示，在等边三角形ABC中，点D在边 A.20° B.35 C.40 D.70 AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，点A 4.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD是高， 恰好落在BC边上的点F处，则∠BDF十 下列结论不正确的是() ∠CEF= A.∠B与∠BAD互余 B.BD=CD C.∠BAC=2∠BAD 第8题图 第9题图 D.AB-2AD 9.如图所示，△ABC和△BDE都是等边三角 5.如图所示，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC 形，如果∠ABE=40°，那么∠CBD的度 边上，且BD=CE.求证：∠BAD=∠CAE, 数为 ☆易错点利用等腰三角形的性质求角度时漏解 10.已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则 这个等腰三角形顶角的度数为() A.100 B.80° C.50°或80° D.20°或80° △八年级·上册·数学.J)H 111 通能力 LLE1A1112111E1411111 (1)求∠BDE的度数. (2)求∠ADE的度数. 11.若实数m,n满足等式m一2+n一4=0，且 m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则 △ABC的周长是() A.12B.10 C.8 D.6 12.（唐山期末)如图所示，已知等腰三角形 ABC,AB=AC,若以点B为圆心、BC的长 为半径画弧，交腰AC于点E,则下列结论 定正确的是() A.∠EBC=∠BACB.∠EBC=∠ABE C.AE=EC D.AE=BE 通素养》 BETMD1ELTH1H1 16.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC, 点D在BC上，且AD=AE 第12题图 第13题图 (1)若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC 13.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD是 的度数， △ABC的中线，边AB的垂直平分线交AC (2)若∠BAC=a(a>30°)，∠BAD=30°，求 于点E,连接BE,交AD于点F.若∠C= ∠EDC的度数 66°，则∠AFE的度数为() (3)猜想∠EDC与∠BAD的数量关系.（不 A.48°B.62° C.72° D.82° 必证明)》 14.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，AD 是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是 AC上的一点，若AE=2,当EM+CM取得 最小值时，则∠ECM的度数为() A.15° B.22.5° C.30° D.45 15.几何直观如图所示，在△ABC中，AB=AC, 点D是BC的中点，点E在AB上，BE= BD,∠BAC=80°. 112 第2课时 等腰三角形的判定（答案P27) 通基础一M 知识点2等边三角形的判定定理 5.(廊坊月考)下列条件不能判定△ABC是等边 知识点1等腰三角形的判定定理 三角形的是( 1.在如图所示的图形中，共有等腰三角形( A.AB=BC=AC B.∠A=∠B=∠C A.4个 B.5个 C.AB=AC,∠A=60°D.∠A+∠B=2∠C C.3个 D.2个 6.(邢台期末)若一个三角形是轴对称图形，且有 一个内角为60°，则这个三角形的形状 728 728 是() 136 36 A.直角三角形 C 第1题图 第2题图 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 2.(唐山期中)如图所示，在△ABC中，CD和BE D.上述三种情形都有可能 分别是∠ACB,∠ABC的平分线，DE∥BC,与 AC交于点P.若BD=6,CP=3.5,则EP的 知识点3用尺规作等腰三角形 长为( 7.几何直观如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB= A.4 B.3.5 C.3 D.2.5 90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺作图，把它 3.如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的 分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角 平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB 形，其作法错误的是( 于点M,交AC于点N.若BM+CN=9,则线 段MN的长为 4.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CE是 斜边AB上的高，∠ABC的平分线BD交CE C D 于点M. 8.如图所示，已知等腰三角形的底边长为a,顶角 求证：△CDM是等腰三角形 的平分线长为b,求作这个等腰三角形， 个八年级·上册·数学.J小HH 113 通能力 13.(沧州期中)如图所示，在△ABC中，AB= AC,D是边AB上一个动点，DF⊥BC于点 9.几何直观如图所示，每个小方格的边长为1， F,交CA延长线于点E. A,B两点都在小方格的顶点上，点C也是图 (1)判断△ADE的形状，并说明理由. 中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形， (2)当点D在BA的延长线上时，其他条件不 那么满足题意的点C有( ) 变，(1)中的结论是否还成立？请说明理由. A.1个B.2个 C.3个 D.4个 IN K 70° 35 备用图 第9题图 第10题图 10.(沧州月考)如图所示，上午8时，一条船从海 岛A出发，以20海里/时的速度向北航行， 10时到达海岛B处，分别从A,B两海岛望 灯塔C,测得∠NAC=35°，∠NBC=70°，则 从海岛B到灯塔C的距离为( A.25海里 B.30海里 通素养 C.35海里 D.40海里 14.(廊坊期中)如图所示，在△ABC中，AB= 11.如图所示，∠MON=90°，以点O为圆心，任 AC=2,∠B=40°，点D在线段BC上运动 意长为半径画弧，分别交OM,ON于点A, (点D不与点B,C重合)，连接AD,作 D,再以点A为圆心，AO长为半径画弧，与 ∠ADE=40°，DE交线段AC于点E 弧AD交于点B,连接OB,AB,AB的延长 (1)当∠BDA=115时，∠EDC=, 线交ON于点C.若OD=4,则CB的长 ∠AED= 为() (2)若DC=2,试说明△ABD≌△DCE. A.3 B.4 C.5 D.6 (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可 7 以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度 1 数；若不可以，请说明理由. 4040 第11题图 第12题图 D 12.如图所示，直线a,b交于点O,∠a=40°，点A 是直线a上的一个定点，点B在直线b上运 动，若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三 角形，则∠OAB的度数为 114【思想方法归纳】 【例1】证明：BD平分∠ABC,∴.∠DBA=∠DBE. 又AB=BE,BD=BD, ∴.△ABD≌△EBD(SAS),.DA=DE. ,点D恰好在线段AC的垂直平分线上， .'.DA=DC,.'.DE=DC. ∴.点D在线段CE的垂直平分线上. 【变式训练1】解：(1)证明：，EF垂直平分AC, ..AE=EC. .AD LBC,BD=DE,..AB=AE, .'.AB=EC. (2),△ABC的周长为20cm,∴.AB+BC+AC 20 cm..'AC=7 cm,..AB+BC=13 cm. .AB=EC,BD=DE, ..AB+BD=DE+EC=DC. .AB+BC=AB+BD+DC=2DC=13 cm, DC=13 2 cm. 【例2】D 【变式训练2】D 【变式训练3】B 【通模拟】 1.D2.D3.A4.A5.A6.C 7.78.BC=DE9.26 10.解：(1)由作图知AN是∠BAC的平分线， ∴.∠BAN=∠CAN. 又.AN=AN,∠ABC=∠C, .△ABN≌△ACN,..AB=AC=6. ∴.△ABC的周长为AB+AC+BC=16. (2)过点O作OM⊥AC于点M,如图所示. .AB=6=AC,CD=2, .∴.AD=AC-CD=4. 由作图痕迹可知AN平分 ∠BAC,且DE⊥AB, ..OM=OE 1 S△an=2AD·OM, 1 S△aMB=2AB·OE, ∴.S△AoD:S△A0B=AD:AB=2:3. (3):∠ABC=∠C=70°，∴.∠BAC=40°. :AN平分∠BAC,∠BAN=号∠BAC=20 DE垂直平分边AB,∴.OA=OB,.△AOE △BOE,∴.∠BAN=∠ABO=20°， .∠OBC=∠ABC-∠ABO=50°. 11.解：(1)，EF⊥AB,∠AEF=50°， ..∠FAE=90°-50°=40°. .∠BAD=100°，.∠CAD=180°-100° 40°=40°. (2)如图所示，过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥ BC于点H. B DH 设EG=x,由(1)，得∠FAE=∠CAD, AC为∠DAF的平分线. 又EF⊥AB,EG⊥AD,EF=EG. ,BE是∠ABC的平分线，∴.EF=EH, ..EG=EH,..EF=EH=EG=x. S△AD=15,AD=4,CD=8, 号AD:EG+2CD·EH=15, 即4z+8x=30,解得x=7,EF=x。 2 Sm吉AB5F=X9X名 24 12.解：(1)证明：连接PF,PE. .OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PH⊥OB, ∴.∠PDO=∠PHO=90°，PD=PH. 在△PHF和△PDE中， (PH=PD, ∠PHF=∠PDE, FH=ED, .△PHF≌△PDE(SAS),.PF=PE, 点P在线段EF的垂直平分线上. (2)结论依然成立. 理由：如图所示，连接PE,PF. PD⊥OA,PH⊥OB, ∴.∠PDE=∠PHF=90° .OP是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PH⊥OB,.PD=PH. 在△PED和△PFH中， (PD=PH, ∠PDE=∠PHF=90°， DE=HF, .△PED≌△PFH(SAS),.PE=PF, 点P在线段EF的垂直平分线上. 【通中考】 13.B14.B15.A16.C 第十七章特殊三角形 17.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.D2.A3.A4.D 5.证明：.AB=AC,∴.∠B=∠C 26 又，BD=CE,.△ABD≌△ACE(SAS), ∴.∠BAD=∠CAE. 6.B7.D8.120°9.40° 10.D11.B12.A13.C14.C 15.解：(1)AB=AC,∠BAC=80°， ∠B=∠C=180-∠BAC)=50 .BD=BE, ∠BDE=∠BED=2(I80°-∠B)=65, (2),点D是BC的中点，.AD⊥BC, ∠ADB=90°， .∠ADE=∠ADB-∠BDE=25°. 16.解：(1)，∠BAC=90°，AB=AC, ∠B=∠C-号180-∠BAC)=45, ∴.∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°. ∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-30°=60， AD=AE, ∠ADE=∠AED=7180-∠DAC)=60. .∠EDC=∠ADC-∠ADE=75°-60°=15°. (2)与1D类似：∠B=∠C-210-∠BAC)- 90°-74∠ADC=∠B+∠BAD=90- 2+ 30r=12w-2 ,∠DAC=∠BAC-∠BAD=a-30°， ∴.∠ADE=∠AED=3(180-∠DAC) 105° 2a,∠EDC=∠ADC-∠ADE= 120-2-(1o5-)-15 (3)∠EDC=2∠BAD. 第2课时等腰三角形的判定 1.B2.D3.9 4.证明：BD平分∠ABC,∴.∠CBD=∠ABD .∠ACB=90°，CE⊥AB, ∴.∠CBD+∠CDB=90°，∠ABD+∠BME=90°. ,∠BME=∠CMD,∴.∠ABD+∠CMD=90°， ∴.∠CDB=∠CMD,∴.CM=CD, ∴△CDM是等腰三角形. 5.D6.C7.C 8.解：①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MD,垂 足为D; ③在DM上截取DC=b; ④连接AC,BC,如图所示，△ABC 就是所求作的三角形. 9.C解析：如图所示： 当AB为腰时，分别以A,B点为顶 点，以AB为半径作圆，可找出格点C 的个数有2个； 当AB为底时，作AB的垂直平分线， 可找出格点C的个数有1个. ∴.满足题意的点C有3个. 10.D11.B 12.40°或70°或100° 13.解：(1)△ADE是等腰三角形.理由如下： AB=AC,∴.∠B=∠C. DF⊥BC,.∠BDF+∠B=90°，∠C+ ∠E=90°， ∴.∠E=∠BDF ,∠BDF=∠EDA,∴∠E=∠EDA, ..AE=AD, .△ADE是等腰三角形， (2)成立.理由如下：如图所示. ,AB=AC,∠B=∠C. ,DF⊥BC,.∠BDF+∠B= 90°，∠C+∠FEC=90°， ∴.∠FEC=∠BDF. :∠FEC=∠AED, ∴.∠ADE=∠AED, ∴.AE=AD, ∴.△ADE是等腰三角形. 14.解：(1)2565 (2)AB=2,DC=2,.AB=DC. ∠C=40°， .∠DEC+∠EDC=140°， .∠ADE=40°， .∠ADB+∠EDC=140°， ∠ADB=∠DEC. (∠ADB=∠DEC, 在△ABD和△DCE中，∠B=∠C, AB=DC, .△ABD≌△DCE(AAS). (3)△ADE的形状可以是等腰三角形. ①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°， .∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°； ②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°， ∴.∠DAE=100°，此时，点D与点B重合，不符合 题意； ③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=40°， .∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时， △ADE的形状是等腰三角形. 专题八构造等腰三角形的常用方法 1.解：(1)证明：，MNBC,∴∠CBE=∠MEB. :BE平分∠ABC,∴∠MBE=∠CBE, .∠MEB=∠MBE,∴.MB=ME.