14.1 平方根-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

第十四章 实数 1/A1A11 大单元建构 ● /1/11 概念 +按定义分类 分类 性质 平方根 概念 按大小分类 算术平方根 比较大小 概念 -- 性质 立方根 开立方 轰 识实数 与数轴的关系 比较大小 ·实数的估算 用计算器求平方根与立方根 四舍五入法+ 绝对值 进一法 取法封 近似数 性质 倒数 去尾法· 相反数 精确度 /11//11/ ·本章核心素养 f/111/11 学科核心素养 具体内容 价值 ①了解开平方与平方互为逆运算，会求一个非负数的 运算能力有助于形成规范化思考问题的 运算能力 平方根和算术平方根； 品质，养成一丝不荷、严谨求实的科学 ②了解开立方与立方互为逆运算，会利用开立方运算 求某些数的立方根 态度 充分理解无理数的概念，能用无理数的有关知识解决 应用意识有助于用学过的知识和方法解 应用意识 决简单的实际问题，养成理论联系实际 实际问题 的习惯，发展实践能力 创新意识 通过探究感受无理数的存在，会探究不同方法比较实 创新意识有助于形成独立思考、敢于质 数的大小 疑的科学态度与理性精神 ①了解准确数与近似数的概念，能通过推理区分准确 数与近似数； 推理能力有助于逐步养成重论据、合乎 推理能力 ②掌握求近似数的方法，会按要求取一个数的近似数， 逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学 态度与理性精神 并能根据近似数推理出原数或原数的范围 △八年级·上册·数学.J小HH 55 14.1 平方根 第1课时 平方根（答案P15) 通基础L 7.(唐山期中)如果m是2的平方根，下列说法错 误的是( 知识点1平方根 A.22=m B.m2=2 1.(石家庄期中)关于平方根的说法：①1是1的 C.m可以是2 D.m可以是一√2 平方根；②1的平方根是1；③一1的平方根是 8.下列六个命题：①只有正数才有平方根；②一2 一1；④2是22的平方根；⑤（一2）2的平方根是 是4的平方根；③5的平方根是√5；④±3都 一2.若正确的用“√”，错误的用“×”.下列判 是3的平方根；⑤（一2）2的平方根是一2； 断正确的是() ⑥一32的平方根是士3.其中正确的命题 A.①/②X③X④/⑤X 是() B.①×②/③X ④×⑤X A.①②③ B.③④⑤ C.①×②×③× ④√⑤X C.③④⑥ D.②④ D.①X②X ③/④X⑤/ 9.求下列各数的平方根： 知识点2平方根的性质 (1)64; (2)0.16; 2.下面各数没有平方根的是( (3)201 A.55 B.(-3)2C.0 D.-22 3.已知下列各数：π，0，一4，一32，一一3,3.14一π， a2+b2.其中有平方根的数有( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.要使分式 3 有意义，则x的取值范围 (4)(-15)2: (5)5) √/x-2 是() A.x≥2 B.x<2 C.x=-2 D.x>2 5.若一个数的平方根就是它本身，则这个数 是 知识点3开平方 ☆易错点忽略正数有两个平方根而漏解 6用数学式子表示的平方根是士3应 4 10.若√x=7,则x的平方根是 为() 通能力 LLEAE1E1417261171E1111171647 9 B.± W16 二士4 11.一个正数的两个平方根分别为2m一1与2一 C.3 93 3 m,则这个正数为() D.一 W16 4 A.-1B.2 C.4 D.9 56 1411114144 12.（保定易县期中)若2(x一1)2=18，则x等20.当x取何值时，下列代数式的值有平方根？ 于() (1)x-5: (2)x+5: (3)5-x. A.4 B.-2 C.士3 D.-2或4 13.(石家庄赵县月考)下列说法正确的有() ①（一3）2的平方根是+3： ②一m2没有平方根； ③非负数a的平方根是非负数： ④负数没有平方根： ⑤0和1的平方根等于本身， 21.若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m是9的 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 平方根，求a2-b2+(cd)3÷(1-2m+m2) 14.如果一个正数的正的平方根是，那么比这 的值. 个正数大1的数的平方根是( A.m+1 B.士√m+1 C.√m2+1 D.士√m2+1 15.运算能力若式子√a+2+b一3|=0，则 2a+3b= 16.若x2+1=1.81,则x= 通素养 17.定义新运算：2*3=2x十3y,3*2=3x十2y. 22.跨学科·生物全球气候变暖导致一些冰川融 若2*3=5,3*2=10，则3x+3y的平方 化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植 根是 物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都 18.运算能力求下列各式中x的值： 会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限 1分2-18=0： (2)(1-x)2=25. 近似地满足如下的关系式：d=7×√t一12 (t≥12).其中d(厘米)代表苔藓的直径， t(年)代表冰川消失的时间. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径。 (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，那 么冰川约是在多少年前消失的？ 19.方程-mr-5的解为x=-3,求代数式 m2一2m十169的平方根. △八年级·上册·数学.JHn 57 第2课时 算术平方根（答案P16) 通基础 9.有一个底面为正方形的水池，水池深2m,容积 为11.52m3,则此水池底面正方形的边长 知识点1算术平方根 为() 1.4的算术平方根是( A.2.4m B.4.2m A.2 B.±2 C.2 D.16 C.9.25m D.13.52m 2.(沧州期中)若n满足|n一16|=0，则n的算术 10.应用意识某地气象资料表明：某地雷雨持续 平方根是() 的时间t(h)可以用下面的公式来估计：t= A.-4 B.±4 C.0 D.4 d2 0,其中d(km)是雷雨区域的直径. 3.(廊坊期末)下列各数中，不是某个数的算术平 方根的数是() (1)如果雷雨区域的直径为8km,那么这场 A.-11B.0 C.6 D.2 雷雨大约能持续多长时间？ (2)如果一场雷雨持续了2h,那么这场雷雨 4.若√m=1,则m的值为( ) 区域的直径大约是多少？ A.-1 B.1 C.0 D.±1 5.81的算术平方根是 ,81的平方根是 ,√8I的算术平方根是 6.(保定期末)如果某个数的一个平方根是一5， 那么这个数的算术平方根是 7.求下列各数的算术平方根： a8+(←： (2)√/-0.25)」 知识点2算术平方根的应用 8.如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面 积分别是x2(x>0)和4，那么阴影部分的面积 为() ☆易错点1平方根和算术平方根概念混淆 11.√（一5）2的算术平方根是 ;√625的 平方根是 ☆易错点2√a2化简错误 A.2x+4 B.2x-4 12.化简√（一3）的结果是( C.x2-4 D.2x-2 A.-3B.±3 C.3 D.9 58 411444144514145144 通能力 L11E11110111114111111 20.创新意识已知一个正数的算术平方根是5， 它的另一个平方根是2a-1,求a的值 13.下列各式计算正确的是() (1)一变：若一个正数的两个平方根分别是 A.(-2)2=-2 B.√22=2 2a-1与a+4,求a及这个正数的值， C.√16=8 D.士√9=3 (2)二变：若2a一1与a+4是一个数m的平 14.(广东中考)完全相同的4个正方形面积之和 方根，求a及m的值. 是100，则正方形的边长是( ) A.2 B.5 C.10 D.20 15.下列关于√(2一√3)2的描述错误的 是() A.面积为(2一√3)2的正方形的边长 B.(√2一√3)2的算术平方根 C.方程x2=(2一3)2中，未知数x的其中 一个值 D.化简结果为2一3 通素养之 16.推理能力下列关于√a的说法错误的是( 21.推理能力先观察下列各式：/1=1；√1+3 A.a可以是负数 √4=2；√/1+3+5=√9=3；√/1+3十5+7= B.a可以是0 √16=4. C.√a是a的算术平方根 (1)计算：√1+3+5+7+9 D.√a不可能是负数 (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写 17.如图所示，把左边两个面积为2的小正方形 出√/1+3+5+7+9+11+…+(2n-1)= 沿着对角线（图中虚线）剪开拼成右边一个既 无重叠部分，又没有空隙的大正方形，则估计 (3)应用上述结论，计算 大正方形的边长应是( √1+3+5+7+9十…+101的值. A.5 B.4 C.3 D.2 18.请写出一个正整数m的值，使得√8m也是整 数，则m的最小值是 19.若√a=1.2,则a= ；若√m2=2,则 2= △八年级·上册·数学·)H 598.解：(1)如图所示， ,CM和DM的夹角为90°， D .∠1+∠2=90°. ,∠DBA=90°， .∠2+∠D=90°， .∠1=∠D. 在△CAM和△MBD中， ∠A=∠B, ∠1=∠D, CM=MD, ..△CAM≌△MBD(AAS), ∴.AM=DB,AC=MB. .'AC=3 m,..MB=3 m, .AB=12m,∴.AM=9m,∴.DB=9m. (2)9÷0.5=18(s). 答：小强从点M到达点A还需要18秒. 9.解：(1)如图所示，△ACD为所求作的图形. (2)如图所示，△A'B'D'为所求作的图形. (3SSS 10.解：(1)证明：①，∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE, 即∠ACE=∠BCD. 又.CA=CB,CE=CD, ∴.△ACE≌△BCD(SAS) ②设AE,BC交于点O,如图① 所示 △ACE≌△BCD, ∴.∠CAF=∠CBD. .∠CAF+∠COA=90°， ∠COA=∠FOB, '∠CBD+∠FOB=90°， ∴.∠AFB=180°-（∠CBD+∠FOB)=90°， 即AE⊥BD. (2)设AE,BC交于点G,如图②所示 ∠ACB=∠DCE, .∠ACB+∠BCE=∠DCE+ ∠BCE,即∠ACE=∠BCD. 又'CE=CD,AC=BC, .△ACE≌△BCD(SAS). ∠CAE=∠CBD ,∠AGC=∠BGF, .∠ACB=∠AFB. ∠ACB=a=60°，∠AFB=60. (3)180°-a 【通中考】 11.A 12.解：(1)证明：，P是AB的中点， ∴.PA=PB. 在△APM和△BPN中， ∠A=∠B, PA=PB, .△APM≌△BPN(ASA). ∠APM=∠BPN, (2)由(1)，得△APM≌△BPN, ∴.PM=PN..MN=2PN. .MN=2BN,.BN=PN,过点N作∠PNB的 平分线交PB于点E,则∠PVE=∠BNE (PN=BN, 在△PNE与△BNE中，∠PNE=∠BNE, NE=NE, ∴.△PNE≌△BNE(SAS),.∠BPN=∠B, ..a=∠B=50°. 13.解：(1)证明：BF=CE, ∴.BF+FC=FC+CE,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， AB=DE, AC=DF,.△ABC≌△DEF(SSS). BC=EF. (2)AB∥DE,ACDF. 理由：由(1)，得△ABC≌△DEF, ∴.∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE, ∴.AB∥DE,AC∥DF. 第十四章实数 14.1平方根 第1课时平方根 1.A2.D3.B4.D5.06.B7.A8.D 9.解：(1)因为（±8）2=64，所以64的平方根为士8， 即士√64=士8. (2)因为（土0.4）2=0.16，所以0.16的平方根为 士0.4，即士√0.16=±0.4. 8旧为20是月（±》-所以20的平 方根为士号，即±20=士 。1 9 (4)因为(-15)2=225，且（±15）2=225， 所以(-15)2的平方根是±15，即士√(-15)=士15. (5)因为() =25,且（士5）2-25， /1 5 所以（日）的平方根是士5，即±() =±5. 10.±711.D12.D13.A14.D15.5 16.±0.917.±3 18.解：1)222=18x2=36,x=±6. (2)1-x=士5，x=1士5，x=-4或x=6. 19.解：把x=-3代入方程，得-1+3m=5, 解得m=2.把m=2代入代数式， 5 得4-4+169=169. .169的平方根是士13，.代数式m2一2m+169 的平方根是士13. 20.解：(1)当x-5≥0，即x≥5时，x-5有平方根. (2)当x+5≥0，即x≥一5时，x十5有平方根. (3)当5-x≥0，即x≤5时，5-x有平方根. 21.解：a,b互为相反数，a2=b2. .c,d互为倒数，.cd=1. .m是9的平方根，，.m=士3. .a2-b2+(cd)3÷(1-2m+m2)=0+1÷(1- 1 m)2= (1-m)2 当m=3时，原式=4 1 当知=一3时，原式= 22.解：(1)d=7×√16-12=14（厘米）. (2)7×√-12=35，解得t=37,即冰川约是在37年 前消失的 第2课时算术平方根 1.C2.D3.A4.B5.9±936.5 7翻：0用为8+-君}=86-得) 6/ 所以8+(》】 17 的算术平方根是 61 即+（←- (2)因为√(-0.25)2=√/0.25=0.25=0.52， 所以√(-0.25)的算术平方根是0.5. 8.B9.A 10解：1)根据1-0，其中d=8km.-10 2251 、4 t>0,.t=15 答：这场雷刚大约能持镂言 ②根据气00其中1=2h,d=3600 d>0,∴.d=60. 答：这场雷雨区域的直径大约是60km. 11.5±512.C13.B14.B15.D16.A 17.D18.219.1.44±2 20.解：由题意可知这个正数的另一个平方根是一5，所 以2a1=-5,解得a=一2. (1)由平方根的性质，得(2a-1)+(a+4)=0,解 得a=-1.所以2a-1=-3.因为(-3)2=9，所以 这个正数为9. (2)由题意，得两个平方根2a一1与a十4相等或互 为相反数.①若2a一1=a十4，解得a=5,2a-1= 9,新以m=92=81. ②若(2a-1)十(a+4)=0,解得a=-1,2a- 1=-3,所以m=(-3)2=9. 21.解：(1)5 (2)n (3)1+3+5+7+9+…+10I=√51=51. 14.2立方根 1.B2.C3.C4.-1,0,15.C6.-2026 7.解：(1)(2x+3)3-125=0,(2x+3)3=125, ∴.2x+3=5,解得x=1. (2)27(x-1)3+125=0, 27(x-1)3=-125, c-w=罗 5 2 x-1=-3x=-3 8±29.B10.A1.C12.A13414.二 15.±216.-117.2 18.解：由题意，得 6士4=2解得a=1, la+2=3, b=-2, ∴.2a-3b=2+6=8,∴.2a-3b的立方根是2. 19.解：乙纸盒的体积是63+127=343(cm3),343= 7,所以乙纸盒的棱长为7cm, 丙纸盒的体积是63+513=729(cm3),/729=9,所 以丙纸盒的棱长为9cm, 9-7=2(cm). 答：乙纸盒比丙纸盒的棱长小2cm. 20.解：由题意，得题中所给出几个数的立方根都是两 位数，根据题中所给的（2)可知：19683， 9175616和9753571的个位数字分别为7,6和1. 19683去掉后三位得到19,175616去掉后三位 得到175,753571去掉后三位得到753， 23<19<33,53<175<6,93<753<103, ∴.19683,9175616和/75357I的十位数字分别为 2,5和9. ∴.9/19683=27，/175616=56,9/753571=91. 14.3实数 第1课时实数的概念 1.D2.A 3.解：无理数：{π，一3.151551555…（每相邻两个1之 间依次多一个5)，9，一5，…； 有理数：(-0.555，-27,0,3.1415926，-2 7 (π-2)°，…}. 4.D5.C6.①③② 7.解：(1)由题意，得 年秘 y=±1. (2)当x=2,y=1时，y+5=6,是无理数. 当x=2,y=-1时，y十5=√4=2，是有理数. 6