13.4 三角形的尺规作图+数学活动 利用三角形全等测距离-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

13.4三角形的尺规作图（答案P13) 通基础 5.教材P60练习T2变式如图所示，已知线段a, b,用尺规作直角三角形ABC,使∠C=90°， 知识点用尺规作三角形 BC=a,AC=b,作法正确的顺序是() 1.如图所示是作△ABC的作图痕迹，则此作图 6一 的已知条件是( ①作线段BC=a;②在射线CD上截取线段 AC=b;③过点C作射线CD⊥BC;④连接点 A,B. A.①②③④ B.①③②④ A.已知三角形的三边 C.③①②④ D.②①③④ B.已知三角形的两边及夹角 6.如图所示，已知△ABC,请根据“SAS”基本事 实作出△DEF,使△DEF≌△ABC.(保留作 C.已知三角形的两角及夹边 图痕迹，不写作法) D.已知三角形的两角及一角的对边 2.根据下列条件，能作出唯一三角形的是( A.AB=3,∠C=50° B.AB=4,BC=4,AC=8 C.∠A=50°，∠B=60°，AC=4 D.∠C=90°，AB=6 3.如图①所示，已知线段a,∠1，求作△ABC,使 BC=a,∠ABC=∠BCA=∠1，张蕾的作法 ☆易错点弄错线段的长度 如图②所示，则下列说法一定正确的是( 7.如图所示，已知线段a和线段b,用尺规作 △ABC,使AC=a,AB=b,BC=2b-a. L@ A.作△ABC的依据为“ASA” B.弧EF是以AC的长为半径画的 C.弧MN是以点A为圆心，a为半径画的 D.弧GH是以CP的长为半径画的 4.以已知线段a,b(a>2b)为边作等腰三角形， ←通能力u 则( 8.下列作图属于尺规作图的是() A.只能作以a为腰的等腰三角形 A.用量角器画出∠AOB的平分线OC B.只能作以b为腰的等腰三角形 B.作∠AOB,使∠AOB=2∠a C.可以分别以a,b为腰作等腰三角形 C.画线段AB=3厘米 D.不能作符合条件的等腰三角形 D.用三角板过点P作AB的垂线 △八年级·上册·数学.JU 47 9.应用意识如图所示，△ABC被墨汁污染了，请12.如图所示，已知△ABD,AC是∠DAB的平 你重新作一个△A1B,C1,使△AB1C12 分线，平移△ABC,使点C移动到点D,点B △ABC.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图 的对应点是E,点A的对应点是F 痕迹) (1)在图中画出平移后的△FED (2)若∠DAB=70°，DC=8cm,BC=5cm, EF与AD相交于点H,则∠DHF= .CE= 通素养L 10.已知四边形ABCD是平行四边形（如图所 13.推理能力已知一个三角形的两条边长分别 示)，把△ABD沿对角线BD翻折180°得到 是2cm和4cm,一个内角为40°. △A'BD.利用尺规作出△A'BD.(要求保留 (1)如图所示为一个40°角的图，请你借助该 作图痕迹，不写作法) 图画出一个满足题设条件的三角形 (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与 (1)中所画的三角形不全等的三角形？若能， 请你在下面用尺规作图作出所有这样的三角 形；若不能，请说明理由 (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长 分别为3cm和4cm,一个内角为40°”，那么 满足这一条件，且彼此不全等的三角形共 有 个 11.如图所示，已知线段a及∠O,只用直尺和圆 规，求作△ABC,使BC=a,∠B=∠O, ∠C=2∠B.(保留作图痕迹，不写作法) 40 48 41114414144514145144 数学活动 利用三角形全等测距离（答案13》 1.如图所示，要测量河两岸上对岸两点A,B之4.如图所示，A,B两点之间被一个池塘隔开，无 间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, 法直接测量.小明设计了如下方案：在池塘同 D,使CD=BC,再在BF的垂线DE上取点 侧取C,D两点，使得AC∥BD,且AC=BD, E,使A,C,E在同一条直线上，可以得到 连接CD,量出CD的长即得AB的长，你认为 △ABC≌△EDC,得DE=AB,因此测得ED 小明的设计方案可行吗？若可行，请说明 的长就是AB的长.判定△ABC≌△EDC的 AB=CD;若不可行，请说明理由. 理由是( A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 第1题图 第2题图 2.如图所示，小李用若干长方体小木块，分别垒 5.模型观念如图所示，在河岸两侧的A,B两点 了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙 处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电 AD=24cm,CE=12cm.木块墙之间刚好可 线塔之间的距离，于是她在点B所在河岸一侧 以放进一个等腰直角三角板，点B在DE上， 的平地上取一点C,使点A,B,C在一条直线 点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵 上，另取点D,使得CD=BC=5m,然后测得 木块墙之间的距离DE为( ) ∠DCB=100°，∠ADC=65°，在CD的延长线 A.48 cm B.42 cm C.38 cm D.36 cm 上取一点E,使得∠BEC=15°，量得CE= 3.如图所示，A,B,C,D是四个村庄，B,D,C在 32m. 一条东西走向公路的沿线上，BD=1km, (1)求∠CBE的度数， DC=1km,村庄A,C间，A,D间也有公路相 (2)请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是 连，且公路AD是南北走向，AC=3km,只有 多少米 AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相 连公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得 AE=1.2km,BF=0.7km.则建造的斜拉桥 的长度至少有 △八年级·上册·数学·)H 49∴.△ABG≌△ADF(SAS), .∠BAG=∠DAF,AG=AF, 又，EF=DF+BE, ∴.EF=EB十BG=EG AE=AE, 在△AEG和△AEF中，GE=FE, AG-AF, ∴.△AEG≌△AEF(SSS), ∴.∠EAG=∠EAF. :∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°， .∴.∠EAG+∠EAF=90°， .∠EAF=45°. 12.解：(1)由题意可知AC=DB. .AC⊥AB,DB⊥AB, .∠A=∠B=90°. 又，P为AB的中点，AP=BP ∴.△ACP≌△BDP(SAS) (2)由(1)可知∠A=∠B=90° ,∠ACP=180°-∠A-∠CPA=90°-∠CPA, ∠BPQ=180°-∠CPQ-∠CPA=90°-∠CPA, ∴.∠ACP=∠BPQ. 又.CP=PQ,∴.△ACP≌△BPQ(AAS), ∴.AC=BP,AP=BQ, ..AB=AP+BP=BQ+AC, 即AC,BQ,AB之间的数量关系为AB= BQ+AC. (3)不会改变. 理由：，∠ACP=180°-∠A-∠CPA=180° &-∠CPA,∠BPQ=180°-∠CPQ-∠CPA= 180°-a-∠CPA,∴.∠ACP=∠BPQ. 又，CP=PQ,∠A=∠B,.△ACP≌△BPQ (AAS),..AC=BP,AP BQ,..AB =AP+ PB=BQ十AC,即(2)中的数量关系不会改变. 13.4三角形的尺规作图 1.A2.C3.A4.A5.B 6.解：如图所示，△DEF即为所作 7.解：作法：(1)作BC=2b-a; (2)以点B为圆心，以b为半径画弧： (3)以点C为圆心，以a为半径画弧，两弧相交于 点A； (4)连接AB,AC,则△ABC即为所求.作图如图 所示： 8.B 9.解：如图所示，△A1B1C1即为所作， SC B 10.解：如图所示，△A'BD即为所作， 11.解：如图所示，△ABC即为所作. 12.解：(1)如图所示，△FED即为所作 (2)110°3cm 13.解：(1)如图①所示.（作法不唯一） 4 cm 4 cm ≤40 540 2 cm 2 cm ① 2 (2)能，如图②所示.(3)4 数学活动利用三角形全等测距离 1.C2.D3.1.1km 4.解：可行 如图所示，连接AB,AD ,AC∥BD,.∠CAD=∠BDA, 又AC=DB,AD=DA, .△ACD≌△DBA(SAS)..AB=CD. 5.解：(1)：∠DCB=100°，∠BEC=15°， .∠CBE=180°-∠DCB-∠BEC=180°-100°- 15°=65°. 3 (2).∠ADC=65°，∴.∠CBE=∠ADC=65° ∠ACD=∠ECB, 在△DCA和△BCE中，CD=CB, ∠ADC=∠CBE. ∴.△DCA≌△BCE(ASA).∴.CA=CE=32m. ∴.AB=AC-BC=32-5=27(m). .这两个电线塔之间的距离是27m. 本章综合提升 【本章知识归纳】 ①能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形②对 应边③对应角④SSS⑤SAS⑥ASA⑦AAS 【思想方法归纳】 【例1】解：(1)SAS1AD<4 (2)证明：如图所示，延长ND至点 F,使FD=ND,连接BF,MF 点D是BC的中点，BD=CD 在△BDF和△CDN中， (DF=DN, ∠BDF=∠CDN, BD=CD, ∴.△BDF2△CDN(SAS),∴.BF=CN. .DM⊥DN,∴.∠MDN=∠MDF=90. MD=MD. 在△MFD和△MND中，∠MDF=∠MDN, FD=ND. ∴.△MFD≌△MND(SAS),.MF=MN. 在△BFM中，由三角形的三边关系，得BM+BF> MF,∴.BM+CN>MN. (3)2AD=MN,AD⊥MN. 【变式训练1】解：(1)证明：，G是AB的中点， ∴.AG=BG. ∠A=∠B, 在△AEG和△BFG中，AG=BG, ∠AGE=∠BGF, .△AEG≌△BFG(ASA). (2)①△EDG≌△FCG.证明： .△AEG≌△BFG,∴.EG=FG. .ED⊥AG,FC⊥BG,.∠EDG=∠FCG=90°. ∠EDG=∠FCG, 在△EDG和△FCG中，∠EGD=∠FGC, EG=FG. .∴.△EDG≌△FCG(AAS). ②由①得DG=CG=2cm. .'AD=ED=5 cm,..AG=AD+DG=5+2- 7(cm),.AB=2AG=2×7=14(cm),即AB的长 为14cm. (3)理由如下： EG=FG, 在△EGH和△FGC中，3∠EGH=∠FGC, HG=CG, ∴.△EGH≌△FGC(SAS), .∠EHG=∠FCG, ∴.180°-∠EHG=180°-∠FCG, .∠AHG=∠BCG. 在△AHG和△BCG中， (∠AHG=∠BCG, HG-CG, ∠AGH=∠BGC, .△AHG≌△BCG(ASA),∴.AH=BC=50米. 【例2】B解析：由题得0<t<3.5.点Q从E向C运 动时，如图所示 以P,C,M为顶，点的三角形与 △QCN全等， ∴.PC=CQ,∴.7-2t=8-3t, .t=1. B M C 当点Q从点C返回时， :以P,C,M为顶，点的三角形与△QCN全等， ∴.PC=CQ,∴.7-2t=3t-8,.t=3, 综上所述，t的值为1或3. 【变式训练2】3解析：如图所示，使△PBC与△ABC 全等的点P共3个 【例3】解：(1)相等. 理由：，EH=DH=2.5米， ED=5米，AB=DE. 由题意可知四边形CADH为长方形， ∴.CA=DH=2.5米. ,DF=2.5米，∴AC=DF. 在△ABC和△DEF中， AB=DE, ∠CAB=∠FDE=90°， AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS), ∴.BC=EF,即两个滑梯BC和EF的长度相等. (2)BC和EF所在直线垂直. 证明：如图所示，延长BC交EF 4￥ 于点M. ,∠EDF=90°， .∠DFE+∠DEF=90. D ,△ABC≌△DEF, ∴.∠ABC=∠DEF, ∴.∠ABC+∠DFE=90°，∴.∠BMF=90°， ∴.EF⊥BM,即BC和EF所在直线垂直. 【变式训练3】C 【通模拟】 1.C2.D3.A4.D5.D6.D7.75°