13.3 全等三角形的判定-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

13.3全等三角形的判定 第1课时 利用“边边边”判定两个三角形全等（答案P10) C.三角形两边之和大于第三边 * 通基础》恤 D.两点确定一条直线 知识点1边边边(SSS) 6.应用意识如图所示，建高楼常需要用塔吊来 1.如图所示，已知AB=DC,若利用“SSS”来判 吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这 定△ABC≌△DCB,则需添加的条件是( ) 是应用了三角形的 性 A.AE-DE B.AC=DB C.BE=CE D.BC=CB 日塔品 日 知识点3全等三角形的判定“SSS”的应用 第1题图 第2题图 7.应用意识工人师傅常用角尺平分一个任意 2.如图所示，D为AE延长线上一点，且AB= 角，做法是：如图所示，在∠AOB的边OA,OB AC,EB=EC,BD=CD,则图中全等三角形 上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺的两边 共有( 相同的刻度分别与M,N重合，得到∠AOB的 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 平分线OP,做法中用到三角形全等的判定方 3.一个三角形的三边长为5，x,14,另一个三角 法是 形的三边长为5,10，y,如果由“SSS”可以判定 两个三角形全等，则x十y的值为( A.15 B.19 C.24 D.25 4.如图示，点A,E,F,D在同一直线上，AF= DE,AB=CD,BE=CF,求证：△ABE≌△DCF. 8.(邢台期中)如图所示，M为比赛出发点，P,Q B 两点为标志物，且到M点的距离相等，选手小 h, 明从M点出发，计划沿∠PMQ的平分线骑摩 托车行驶，若小明沿射线MN行驶，在N点处 经红外线设备测得他到标志物P,Q两点的距 离相等，判断小明的行驶路线是否偏离预定路 线，并说明理由. 知识点2三角形的稳定性 5.安装空调一般会采用如图所示的 空 方法固定，其依据的几何原理 是() 二角形支架 A.三角形的稳定性 B.三角形内角和为180° △八年级·上册·数学.J小H 35 ☆易错点不能挖掘图中的隐含条件而出现失误13.如图所示，点A,D,C,F在同一条直线上， 9.如图所示，若AB=CD,AD=CB,∠ABC= AD=CF,AB=DE,BC=EF. 25°，求∠CDA的度数. (1)求证：△ABC≌△DEF. (2)若∠A=60°，∠B=80°，求∠F的度数 通能力◆m 通素养 10.创新意识在如图所示的3×3网格图中， 14.应用意识如图所示，工人师傅要检查人字架 △ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线 的∠B和∠C是否相等，但他的手边没有量 的交点)，则与△ABC有一条公共边且全等 角器，只有一把刻度尺.他是这样操作的： (不含△ABC)的所有格点三角形的个数 ①分别在BA和CA上取BE=CG;②在BC 是 上取BD=CF;③量出DE的长为a米，FG 的长为b米.若a=b,则说明∠B和∠C是 相等的，他的这种做法合理吗？请说明理由. 第10题图 第11题图 R 11.几何直观如图所示，CA=CB,AD=BD,M,N 分别是AC,BC的中点，若△ADM的面积为，) 则图中阴影部分的面积为 12.如图所示，点B,C,E在同一直线上，且 AB=AD,AC=AE,BC=DE,若∠1+ ∠2十∠3=96°，则∠3的度数为 36 第2课时利用“边角边”判定两个三角形全等（答案P10) ←通基础mw恤 案的依据.现需要回答横线上符号表示的 内容： 知识点1边角边(SAS) (1)先在地上取一个可以直接到达A点和 1.如图所示，AB=BD,BC=BE,要使△ABE≌ B点的点C; △DBC,需添加条件() (2)连接BC并延长到点E,使得△； A.∠A=∠D B.∠C=∠E (3)连接AC并延长到点D,使得V; C.∠D=∠E D.∠ABD=∠CBE (4)连接○并测量出它的长度，就是水池的宽 度AB; (5)上述方案的依据是◇ 其中错误的选项是( 第1题图 第2题图 2.如图所示，已知BC=EF,AF=DC,A,F,C, D四点在同一条直线上.要利用“SAS”来判定 △ABC≌△DEF,下列四个条件：①∠A A.△代表CE=BCB.V代表CD=CA ∠D:②∠ACB=∠DFE;③AB∥DE;④BC∥ C.O代表DE D.◇代表SSS EF.可以利用的是() 5.应用意识如图所示，将两根钢条AA',BB'的 A.①②B.②④ C.②③ D.①④ 中点固定在一起，使AA',BB'可以绕着点O 3.如图所示，在正六边形ABCDEF中，AM= 自由转动，就做成了一个测量工件，则A'B'的 BN,连接MF,AN交于点P. 长等于内槽宽AB,那么判定△OA'B'≌ 求证：△AMF≌△BNA. △OAB的依据是 ☆易错点利用“SAS”证明三角形全等，角必须 为两边夹角 6.如图所示，AD与BC交于点O,OC=OD,添 加一个条件后能使用“SAS”基本事实判定 △AOC≌△BOD的是( 知识点2全等三角形的判定“SAS”的应用 4.如图所示，小亮要测量水池的宽度AB,但没有 A.AC=BD B.OA=OB 办法直接测量，聪明的他设计了如下方案及方 C.∠A=∠D D.∠C=∠B △八年级·上册·数学·)H 37 通能力 11EE12111111114111111 通素养 LL1L11EL1114112111E11121 7.如图所示，已知AB=AD,BC=DE,且 10.推理能方如图①所示，在四边形ABCD ∠CAD=20°，∠B=∠D=30°，∠EAB= (AD<BC)中，AD∥BC,∠B=90°，AD= 120°，则∠ACG的度数为( 10cm,AB=12cm,动点P在线段AB上以 2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q 以vcm/s的速度由点B向点C运动.设点 P的运动时间为ts. (1)PB= cm.(用含t的式子表示) A.80° B.70° C.60° D.509 (2)当v=2,t=1时. 8.结论开放如图所示，B是AD的中点，AC= ①△ADP与△BPQ全等吗？为什么？ DE,请添加一个条件，使得△ABC≌△DBE, ②求证：DP⊥PQ. 可以添加的条件是 (写出一个即可) (3)如图②所示，若“AD∥BC,∠B=90”改 为“∠A=∠B=a(a为钝角)”，其他条件不 变，当点P,Q运动到某处时，有△ADP与 △BPQ全等，求出此时v,t的值， 9.(廊坊期中)下面是一道习题： 如图所示，AD是△ABC的中 线，AB=4,AC=3,求AD的 ② 取值范围. B 请将下面的解题过程补充完整 解：如图所示，延长AD至点 E,使ED=AD,连接BE .AD是△ABC的中线， ∴.CD= 在△ACD和△EBD中， AD=ED, ∠ADC= =BD, ∴.△ACD≌△EBD (填判定定理，用 字母表示)， ∴.BE=AC= 在△ABE中，根据“三角形三边关系”可知： <AE< 又.AE=2AD, <AD< 38 第3课时 利用“角边角”和“角角边”判定两个三角形全等（答案P10) 通基础 LE11F1111111411111441141112114 通能力 知识点1角边角(ASA) 6.如图所示，已知∠C=∠D,AC=AD,增加下 1.如图所示，虽然三角形被纸板挡住了一部分， 列条件： 但是小明仍能画出一个能与这个三角形完全 ①AB=AE;②BC=ED;③∠1=∠2； 重合的三角形，其数学依据是( ④∠B=∠E. A.ASA B.SAS C.SSS D.SSA 其中能使△ABC≌△AED的条件有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第1题图 第2题图 第6题图 第7题图 2.如图所示，BC=EC,∠1=∠2，要利用“ASA” 7.(邯郸期中)如图所示是风筝框架的示意图.已 判定△ABC≌△DEC,则需添加的条 知∠B=∠E,∠A=∠D,AC=DF,BE=15, 件是 FC=3,则BC的长为() 知识点2角角边(AAS) A.6 B.9 C.10.5D.12 3.如图所示，AC与BD相交于点O,AB=CD, 8.应用意识为测量一池塘两端A,B间的距离. ∠A=∠D,不添加辅助线，判定△ABO≌ 甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案. △DCO的依据是() 甲：如图①所示，先过点B作AB的垂线BF, A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 再在射线BF上取C,D两点，使BC=CD,接 着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线 于点E,则测出DE的长即为A,B间的距离. 乙：如图②所示，先确定直线AB,过点B作射 线BE⊥AB,在射线BE上找可直接到达点A 第3题图 第4题图 的点D,连接DA,作∠BDA=∠BDC,使DC 4.(保定二模)如图所示，已知∠ACB=∠ACD, 交直线AB于点C,则测出BC的长即为A,B 下列条件中，添加后仍不能判定△ABC≌ 间的距离.下列判断正确的是( △ADC的是() A.AB=AD B.BC=DC A乃 C.∠CAB=∠CADD.∠B=∠D 5.如图所示，在△ABC和△CED中，点B,C,E D 在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACD,AC ⑦ CD,若AB=2,BE=6,则DE的长为( ) A.只有甲同学的方案可行 B.只有乙同学的方案可行 C.甲、乙同学的方案均可行 A.8 B.6 C.4 D.2 D.甲、乙同学的方案均不可行 △八年级·上册·数学·) 39 9.运算能力如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB= 通素养 IW1UIlH1ll☑l7/HHHH 90°，BC=2cm,CD⊥AB于点D,在AC上取 一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交 12.探究拓展(1)如图①所示，∠MAN=90°，射 CD的延长线于点F.若EF=5cm,则AE= 线AE在这个角的内部，点B,C分别在 ∠MAN的边AM,AN上，且AB=AC, cm. CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证： △ABD≌△CAF. (2)类比探究： 如图②示，点B,C分别在∠MAN的边 AM,AN上，点D,F在∠MAN内部的射线 10.如图所示，已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分 AE上，∠1，∠2分别是△ABD,△CAF的外 别为点D,E,BE,CD交于点O,连接AO.如 角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC 果AO平分∠BAC,那么图中全等三角形共 求证：AD=CF. 有 对 (3)拓展应用： 如图③所示，在△ABC中，AB=AC,AB> BC.点D在边BC上，CD=2BD,点E,F在 线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC 的面积为30，则△ACF与△BDE的面积之 和为 11.几何直观如图所示，在△ABC中，AD⊥BC 于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点 F,且AD=CD, (1)试说明：△ABD≌△CFD. (2)已知BC=7,AD=5,求AF的长. 40 第4课时 图形变换中的全等三角形（答案P11) 通基础 EEBB1114 4.如图所示，AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE,∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数 知识点1平移型全等三角形 为 1.如图所示，在△ABC中，D,E,F分别是AB,5.如图所示，AB=DB,∠1=∠2，请添加一个条 BC,AC上的点，已知DF∥BC,EF∥AB,请补 件 ,能判断△ABC≌△DBE. 充一个条件： ,使 △ADF≌△FEC. B 6.如图所示，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为D, B E BE⊥AC,垂足为G,AB=CF,BE=AC. 2.(秦皇岛期中)如图所示，点A,D,C,F在同一 (1)求证：AE=AF. 条直线上，AB∥DE,∠B=∠E,AD=CF. (2)AE与AF有何位置关系？请说明理由. (1)求证：△ABC≌△DEF (2)若∠A=50°，∠F=70°，求∠B的度数 知识点2旋转型全等三角形 通能力wuu 3.运算能力如图所示，在△ABC中，∠CAB= 7.如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE= 65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到 AF,下列结论：①EM=FN;②NC=FN; △AB'C'的位置，使CC'∥AB,则旋转角的度 ③∠FAN=∠EAM:④△ACN≌△ABM.其 数为( 中正确的有() A.35° B.40° C.50° D.65 第3题图 第4题图 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 △八年级·上册·数学·J) 41 8.如图所示，AB=12cm,CA⊥AB于点A,DB⊥ 通素养 BEIEHB214442221748177344 AB于点B,且AC=4cm,点P从点B开始以 1cms的速度向点A运动；点Q从点B开始以 10.探究拓展如图①所示，在△ABC中，BC= 2cms的速度向点D运动.P,Q两点同时出发， AC,在△CDE中，CE=CD,现将两个三角 当运动 s时，△CAP≌△PBQ. 形的点C重合，且使∠BCA=∠ECD,连 D 接BE,AD (1)求证：BE=AD, (2)若将△DEC绕点C旋转至如图②，③所 示的情形时，其余条件不变，BE与AD还相 P 9.在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于 等吗？利用图③说明理由. 点O,过点A作AE∥CD交BD于点E,OA= OC,OB=OD+CD. (1)如图①所示，求证：AE=BE. (2)如图②所示，将△ABD沿AB折叠，点D 的对应点为D',求证：∠BDC=2∠ABD', 42BC,∴.∠AEF=∠CDF=90°，.CE⊥AB. (2).△ABD≌△CFD,∴.AD=DC=5,BD= DF.,BC=7,,∴.BD=BC一CD=2,.AF= AD-DF=5-2=3. 16.解：如图所示.（答案不唯一） T- 、 2 3: 13.3全等三角形的判定 第1课时利用“边边边”判定两个三角形全等 1.B2.C3.C 4.证明：AF=DE,∴.AF-EF=DE-EF, 即AE=DF. (AB=DC. 在△ABE和△DCF中，AE=DF, BE=CF, ..△ABE≌△DCF(SSS). 5.A6.稳定7.SSS 8.解：小明的行驶路线没有偏离预定路线， 理由：如图所示，连接PV,QV, 由题意，得PN=QN,PM=QM. 又.'MN=MN,.∴.△PMN≌△QMN(SSS), ,.∠PMN=∠QMN, ∴.MN是∠PMQ的平分线， .小明的行驶路线没有偏离预定路线。 9.解：连接AC.在△ABC和△CDA中， AC=CA, RAB=CD, BC=DA. .△ABC≌△CDA(SSS), .∠CDA=∠ABC=25°. 10.411.312.48 13.解：(1)证明：，AD=CF, ..AD+CD=CF+CD,AC=DF. AB=DE, 在△ABC和△DEF中，BC=EF, AC=DF. ∴.△ABC≌△DEF(SSS). (2)由(1)，得△ABC≌△DEF,∴.∠F=∠ACB. ∠A=60°，∠B=80°， .∠ACB=180°-60°-80°=40°，.∠F=40°. 14.解：他的这种做法合理. 理由：在△BED和△CGF中，BE=CG,BD= CF,DE=FG,则可得△BED≌△CGF, ∠B=∠C. 第2课时利用“边角边”判定两个三角形全等 1.D2.B 3.证明：，六边形ABCDEF是正六边形， .AB=AF,∠FAM=∠ABN. AF=BA, 在△AMF和△BNA中，∠FAM=∠ABN, AM=BN, ∴.△AMF≌△BNA(SAS). 4.D 5.SAS 6.B 7.A 8.∠A=∠D(答案不唯一) 9.BD /EDB CD (SAS)3 1 7 0.5 3.5 10.解：(1)(12-2t) (2)①△ADP与△BPQ全等.理由如下： 当v=2,t=1时，AP=2cm,PB=10cm,QB= 2 cm. ∴AD=PB,AP=QB. ADBC,∠B=90°， ∴.∠A=180°-∠B=90°，.∠A=∠B. (AD=PB, 在△ADP和△BPQ中，∠A=∠B, AP=BQ, .△ADP≌△BPQ(SAS). ②证明：，△ADP≌△BPQ,.∠ADP=∠BPQ. .∠ADP+∠APD=90°， .∠APD+∠BPQ=90°， ∴.∠DPQ=90°，∴.DP⊥PQ. (3),∠A=∠B=a, ∴.△ADP和△BPQ全等，分△ADP≌△BPQ或 △APD≌△BPQ两种情况. 当△ADP≌△BPQ时， AP=BQ,AD=PB,即2t=t,10=12-2t,解得 v=2,t=1; 当△APD≌△BPQ时，AP=BP,AD=BQ,即 21=12-2,10=t,解得-94=8. 10 综上所述，)=2，t=1或v=31=3. 第3课时利用“角边角”和“角角边” 判定两个三角形全等 1.A2.∠B=∠E 3.D4.A5.C6.B7.B 8.C解析：方案一：由题意，得AB⊥BC,DE⊥CD, ∴.∠ABC=∠EDC=90°. I∠ACB=∠ECD, 在△ABC和△EDC中，BC=DC, I∠ABC=∠EDC, .△ABC≌△EDC(ASA),.AB=ED. .测出DE的长即为A,B间的距离. 方案二：AB⊥BD,.∠ABD=∠DBC=90 「∠ABD=∠CBD, 在△ABD和△CBD中，{BD=BD, ∠BDA=∠BDC, .△ABD2△CBD(ASA),.AB=BC. .测出BC的长即为A,B间的距离， 两个同学的方案均可行. 9.310.4 11.解：(1)AD⊥BC,CE⊥AB, ∴.∠ADB=∠CDF=∠CEB=90. ∴.∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°. ∴.∠BAD=∠FCD. ∠ADB=∠CDF, 在△ABD和△CFD中，AD=CD, ∠BAD=∠FCD, '.△ABD≌△CFD(ASA). (2),△ABD≌△CFD,.BD=DF BC=7,AD=DC=5, .BD=BC-CD=2. ∴.DF=2. ∴.AF=AD-DF=5-2=3. 12.解：(1)证明：，CF⊥AE,BD⊥AE, ∠ADB=∠CFA=90°， .∠ABD+∠BAD=90°， ∠MAN=90°，∴.∠CAF+∠BAD=90°， .∠ABD=∠CAF. 又.AB=AC,∴.△ABD≌△CAF(AAS). (2)证明：.∠1=∠2，.∠ADB=∠CFA. :∠1=∠ABD+∠DAB, ∠1=∠BAC=∠CAF+∠DAB, ∴.∠ABD=∠CAF. 又AB=AC,∴.△ABD≌△CAF(AAS), ∴.AD=CF. (3)10 第4课时图形变换中的全等三角形 1.EC=DF(答案不唯一) 2.解：(1)证明：，AD=CF,∴.AD+DC=CF+DC 即AC=DF .AB∥DE,.∠A=∠EDC 又∠B=∠E, ∴.△ABC≌△DEF(AAS). (2).△ABC≌△DEF,.∠BCA=∠F. .∠A=50°，∠BCA=∠F=70°， .∠B=180°-∠A-∠BCA=60°. 3.C4.55°5.∠D=∠A(答案不唯一) 6.解：(1)证明：CD⊥AB,BE⊥AC, .∠ADC=∠AGB=90°， .∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠EBA=90°， ∴.∠ACD=∠EBA. (AB=FC, 在△AEB和△FAC中，∠EBA=∠ACF, BE=CA, ∴.△AEB≌△FAC(SAS),.AE=AF. (2)AE⊥AF.理由如下：由(1)知△AEB≌△FAC .∠E=∠CAF..BE⊥AC,垂足为G, .∠AGE=90°，.∠E+∠EAG=90°，.∠CAF+ ∠EAG=90°，即∠EAF=90°，∴.AE⊥AF. 7.C8.4 9.证明：(1)，AE∥DC, ∴.∠CDO=∠AEO,∠DCO=∠EAO. 在△AOE和△COD中， ∠AEO=∠CDO, ∠EAO=∠DCO,∴.△AOE≌△COD(AAS), OA=OC, ..AE=CD,OE=OD. .OB=OE+BE,OB=OD+CD,..BE=CD, ..AE=BE (2)由(1)知，AE=BE.过点E作∠AEB的平分 线，交AB于点F,则∠AEF=∠BEF, (AE=BE, 在△AEF和△BEF中，∠AEF=∠BEF, EF=EF, ∴.△AEF≌△BEF,.∠ABE=∠BAE :∠CDO=∠AEO=∠ABE+∠BAE, ∴.∠CDO=2∠ABE, 即∠BDC=2∠ABD. 由折叠可知，∠ABD=∠ABD', ∴.∠BDC=2∠ABD. 10.解：(1)证明：，∠BCA=∠ECD, .∠BCA-∠ECA=∠ECD-∠ECA. ∴.∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中， (BC=AC, ∠BCE=∠ACD, CE=CD. ∴.△BCE≌△ACD(SAS),.BE=AD. (2)相等， 理由：，∠BCA=∠ECD, ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE, .∠BCE=∠ACD. (BC=AC, 在△BCE和△ACD中，∠BCE=∠ACD, CE=CD. .△BCE≌△ACD(SAS),.BE=AD 专题三证明全等三角形的常见模型 1.证明：(1)，△ABD和△ACE都是等腰直角三 角形， ∴.AB=AD,AE=AC. 又，∠BAD=∠CAE=90°， ∴.∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠DAC=∠BAE. (AD=AB, 在△DAC和△BAE中，∠DAC=∠BAE, AC=AE, .△DAC≌△BAE(SAS). 11