13.3.4 全等三角形的判定4 课件 2025--2026学年冀教版八年级数学上册

冀教（2024）版数学8年级上册 第十三章 全等三角形 13.3.4 全等三角形的判定4 1.会从图形变换的角度，认识两个可能全等的 三角形的位置关系； 2.会综合运用本节学过的基本事实及相关定理 证明两个三角形全等. 结合冀教版等初中数学教材的编排，13.3.4全等三角形的判定4多聚焦**三角形全等与图形变换的综合应用**，核心是通过平移、旋转、轴对称等图形变换，识别隐藏的全等条件，再运用前面学的SSS、SAS等判定定理证明全等，以下是适配课堂教学的幻灯片分页内容： # 幻灯片分页内容：13.3.4 全等三角形的判定4（全等与图形变换） ## 第1页：导入——从图形变换看全等 - 旧知回顾：复习SSS、SAS、ASA、AAS四种全等三角形判定方法，提问“生活中很多全等三角形的位置看起来很特殊，它们可能通过什么方式得到？” - 情境展示：呈现三组图形，分别是平移得到的两个三角形、旋转得到的两个三角形、轴对称得到的两个三角形，让学生观察图形特点。 - 引出主题：本节课学习全等三角形判定的综合应用——探究图形变换（平移、旋转、轴对称）中的全等三角形，掌握从变换角度找全等条件的方法。 ## 第2页：基础认知——图形变换与全等的关系 ### 1. 核心结论 - 经过**平移、旋转、轴对称**变换后的三角形，与原三角形全等。因为这三种变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 ### 2. 直观辨析 |变换类型|图形特征|示例说明| | ---- | ---- | ---- | |平移|对应边平行且相等，对应角相等|将△ABC沿BC方向平移5cm得到△DEF，△ABC≌△DEF| |旋转|对应边夹角等于旋转角，对应点到旋转中心距离相等|将△ABC绕点C旋转90°得到△DEC，△ABC≌△DEC| |轴对称|对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等|△ABC与△A'BC关于直线BC对称，△ABC≌△A'BC| ## 第3页：平移变换中的全等判定 ### 1. 典型例题 - 例题1：如图，点A、D、B、E在同一直线上，AD=BE，AC∥DF，AC=DF，求证BC=EF。 证明步骤： 1. 由平移特征推导条件：∵AD=BE，∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE；又∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF（两直线平行，同位角相等）； 2. 套用SAS判定：在△ABC和△DEF中，$\begin{cases}AB=DE \\∠A=∠EDF \\AC=DF\end{cases}$，∴△ABC≌△DEF（SAS）； 3. 得出结论：由全等性质得BC=EF。 ### 2. 解题技巧 - 平移后的三角形，常可通过线段和差推导对应边相等，利用平行线性质推导对应角相等，进而匹配全等判定条件。 ## 第4页：旋转变换中的全等判定 ### 1. 典型例题 - 例题2：如图，∠1=∠2=∠3，AB=AD，求证BC=DE。 证明步骤： 1. 由旋转特征推导条件：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE；又∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠E=∠C（三角形内角和为180°推导）； 2. 套用AAS判定：在△ABC和△ADE中，$\begin{cases}∠BAC=∠DAE \\∠C=∠E \\AB=AD\end{cases}$，∴△ABC≌△ADE（AAS）； 3. 得出结论：由全等性质得BC=DE。 ### 2. 解题技巧 - 旋转后的三角形，常通过角的和差推导对应角相等，公共顶点处的角往往是关键，同时注意旋转前后不变的对应边和对应角。 ## 第5页：轴对称变换中的全等判定 ### 1. 典型例题 - 例题3：如图，△ABC与△A'BC关于直线BC对称，D是BC上一点，求证△ABD≌△A'BD。 证明步骤： 1. 由轴对称特征推导条件：∵△ABC与△A'BC关于BC对称，∴AB=A'B，∠ABD=∠A'BD； 2. 套用SAS判定：在△ABD和△A'BD中，$\begin{cases}AB=A'B \\∠ABD=∠A'BD \\BD=BD（公共边）\end{cases}$，∴△ABD≌△A'BD（SAS）； ### 2. 解题技巧 - 轴对称后的三角形，对称轴上的线段常为公共边，对称轴两侧的对应角、对应边直接相等，可快速凑齐全等条件。 ## 第6页：综合变换——多变换组合中的全等 ### 1. 拓展例题 - 例题4：已知△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，△ADE由△ABC绕点A旋转得到，连接BE、CD，求证BE=CD。 证明步骤： 1. 推导对应条件：由旋转知∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD； 2. 证明全等：在△ABE和△ACD中，$\begin{cases}AB=AC \\∠BAE=∠CAD \\AD=AE\end{cases}$，∴△ABE≌△ACD（SAS）； 3. 得出结论：∴BE=CD。 ### 2. 思路总结 - 面对多变换组合的图形，先拆分单一变换的特征，再聚焦不变的对应边和对应角，选择合适的判定定理证明全等。 ## 第7页：易错点辨析与分层练习 ### 1. 高频易错点 - 易错1：忽略图形变换的隐含条件，如旋转后的对应边相等、轴对称后的对应角相等，盲目寻找条件； - 易错2：混淆变换类型导致角或边的对应关系出错，如误将旋转角当作对应角； - 易错3：证明后未利用全等性质推导最终结论，仅停留在判定全等的步骤。 ### 2. 分层练习 - 基础题：△ABC沿AC平移得到△DEF，AB=5cm，∠B=60°，求DE的长度和∠E的度数（答案：DE=5cm，∠E=60°）； - 提高题：如图，△ABC绕点B旋转后得到△DBE，AB=DB，BC=BE，求证∠ACB=∠DEB（提示：用SAS证△ABC≌△DBE）。 ## 第8页：课堂小结 - 核心逻辑：平移、旋转、轴对称不改变图形的形状和大小，是找全等三角形隐含条件的重要依据； - 解题流程：识别图形变换类型→推导对应边/角相等→选择SSS、SAS等定理判定全等→运用全等性质解决问题； - 后续衔接：下节课将学习直角三角形特有的全等判定方法，可思考直角三角形经图形变换后，全等条件有何特殊性。 学习目标 1. 判断下列条件是否能证明△ABC≌△DEF.请给出理由. ① AB=DE，AC=DF，BC=EF ② AB=DE，BC=EF，∠C=∠F ③ AC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F ④ BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F ⑤ AB=DE，BC=EF，∠B=∠E 情景导入 2.（1）若已知AB=DC，试说明△ABC≌△DCB. ①以“SSS”为依据，还需添加一个条件为______； ②以“SAS”为依据，还需添加一个条件为______ ； （2）若已知∠ABC=∠DCB，试说明△ABC≌△DCB. ①以“ASA”为依据，还需添加一个条件为______ ； ②以“AAS”为依据，还需添加一个条件为______ . 情景导入 1.画出我们常见的两个三角形全等图形（至少3个），并说出这两个三角形是经过怎样的图形变化（旋转、平移、轴对称）得到的，请自己剪出两个全等的三角形进行拼图． 学生活动一 【一起探究】 探究新知 2.观察老师给出的每组中的两个三角形，请你说出其中一个三角形经过怎样的变换后，能够与另一个三角形重合 探究新知 1. 如图，C是线段AB的中点，CD＝BE，CD∥BE. 求证:∠D＝∠E. 学生活动二 【一起探究】 探究新知 证明：∵C是线段AB的中点 ∴AC=CB 又∵CD∥BE ∴∠ACD=∠CBE 在△ACD和△CBE中，AC=CB ∵ ∠ACD=∠CBE，CD=BE ∴△ACD≌△CBE（SAS） ∴∠D=∠E 探究新知 2.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°， AB=AC，AD=AE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么关系？ 探究新知 F BE = CD 且 BE ⊥ CD 证明： 延长BE交CD于点F， 在△ ABE 和△ ACD 中 AB = AC ∵ ∠ BAC =∠ DAE AD = AE ∴△ ABE ≌△ ACD （AAS） ∴ BE = CD ∵∠ BEC 是△ ABE 和△ CEF 的外角 ∴∠ BEC =∠ ABE+ ∠ BAE =∠ ACD+ ∠ CFE ∴∠ CFE= ∠ BAE ∴ BE ⊥ CD 探究新知 3.如图2，在△ABE和△DEC中，∠AEB=∠DEC=90º， AE＝BE，DE＝CE，连结BD、CD. 求BD与AC 关系？ 若将△DCE绕点E旋转一定的角度后， 以上结论还成立吗？并说明理由. 你有什么发现，试着用图形变化的角度说说 探究新知 探究新知 （第1题） 1. 如图，小敏做了一个角平分仪 ，其 中，，将仪器上的点 与 的顶点重合，调整和 ，使它们 分别落在角的两边上，过点， 画一条射线 ，就是 的平分线.此角平分仪的画 图原理是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 13 （第2题） 2. 如图，已知 ， ，下列哪一个选项不 能用于判定 的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 14 3.如图，， ， ，且，， 在同一直线上. （1）填空：观察可知，将 绕 点___逆时针旋转，可与 _____重 合； 考试考法 15 （2）求证： ； 考试考法 16 【证明】 , ,即 . 在和 中， ， . 考试考法 17 （3）若 ， ，点是 的中点，连接 ，则 的度数为____. 考试考法 18 4.如图，在四边形中,,分别是边, 上一点， ,, . 考试考法 19 （1）求证: ; 【证明】 ， , . 在和中， ， . 考试考法 20 （2）连接,若平分.求证: . 考试考法 21 由（1）知， . 平分， . 在和中， ， . 返回 考试考法 22 5. 如图，交于点，交于点， 交 于点， ， ， ，给出下列结论，其中正确的结论有 ( ) C ； ； ； ； . A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 考试考法 23 思考策略 课堂小结 图形变化观点找全等 不变性（条件、方法、结论） 复杂图形——基本图形 谢谢观看！ $