12.4分式方程（教学课件）数学冀教版2024八年级上册

分式方程 12.4 第12章 分式和分式方程 冀教版2024 八年级上册 情境●引入 1.一个两位数的十位数字是4，如果把这个两位数的个位数字与十位数字交换，那么得到的新两位数与原两位数的比值是，求原来的两位数. 设原两位数的个位数字是x，列出的方程为 . 2.某公司生产A，B两种机械设备，B种设备每台的成本是A种设备的1.5倍.若公司投人16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台.A，B两种设备每台的成本分别是多少万元？ 设生产A种设备的成本是x万元，列出的方程为 . 这些方程的分母中含有未知数 x， 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 使得分式方程等号两端相等的未知数的值，叫做分式方程的解（也叫作分式方程的根）. 你能再写出几个分式方程吗？　　 　　 　　我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 思考： 典例●精析 例1 判断下列方程是不是分式方程： (1) (2) (3) (4) 解： (1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数． (2)是分式方程，因为分母中含有未知数． (3)是分式方程，因为分母中含有未知数． (4)是分式方程，因为分母中含有未知数． 新知●探究 练习： 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 分式方程 整式方程 新知●探究 思考： 分式 方程 有理方程 根本区别 特点分析 易错警示 分母中是否含有未知数是分式方程与 整式方程的根本区别，是区分分式方程 和整式方程的依据． 整式方程和分式方程统称为有理方程． 分式方程中的分母含有未知数， 而不是一般的字母参数，如 π． ①方程中含有分母；②分母中含有未知数． 新知●探究 思考： 你能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ （5）解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 提示： 新知●探究 解方程： 方程的公分母是 整理，得 解得 所以，方程的解是 x=2 x=0.4是原分式方程的解吗？ 解：方程两边同乘 ，得 新知●探究 解方程： 解： 方程两边乘(x-1),得 x+1=-(x-3)+(x-1). 整理得 x=1. 所以，方程的解是x=1. x=1是原分式方程的解吗？ 新知●探究 当 时， 分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 当x=1时， x-1=0, 分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解. 化：在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 解： 解这个整式方程； 答：写出原方 程的解. 检：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 解分式方程的步骤 新知●探究 典例●精析 例2 解方程: 解： 方程两边乘(x+2),得 2-(2-x)=3(x+2). 解这个整式方程得 x=-3. 经检验，x=-3是原分式方程的解. 解分式方程时一定要注意验根！ 归纳总结 典例●精析 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =m 检验 x = m 是分式 方程的解 x = m 不是 分式方程的解 当 x = m 时 最简公分母是 否为零？ 否 是 解分式方程的步骤 典例●精析 例3 解方程: 解： 方程两边乘(x+1)(x-1),得整式方程 (x-1)+2(x+1)=4. 解这个整式方程得 x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0. 经检验，x=1是整式方程的根，是原分式方程的增根. 读一读 典例●精析 分式方程的增根 解分式方程为什么会出现增根呢？ 事实上，解分式方程产生增根，主要是在去分母时造成的.根据等式的性质，等式的两边同乘（或除以）一个不等于0的数，所得的结果仍是等式.而在解分式方程时，由于去分母是将方程左右两边同乘公分母，但此时还无法知道所乘的公分母的值不是0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母的值为0，就产生了增根.增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根. 典例●精析 例4 已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值. 解：去分母，得3x+3-（x-1）=x2+kx， 整理，得x2+（k-2）x-4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程得-4=0， 所以x=0不是方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5， 所以k=5时方程有增根x=1. 增根就是让原分式方程分母为0的未知数的值. 典例●精析 例5 解关于x 的方程 　　解：方程两边同乘x+2，得 m+n(x+2)=2(x+2) 去括号，得 m+nx+2n =2x+4 移项、合并同类项，得 (n-2)x = 4-m-2n 　∴　 检验：当 时，∵ ， 所以 是原分式方程的解． 把m,n当成常数，用同样的方法解分式方程.（本题为选做题） 解：， 去分母，得1-m-(x-1)=-3， 去括号，得1-m-x+1=-3， 移项，合并得x=5-m， ∵方程的解为正数， ∴5-m>0且5-m 1， 解得m<5且. 典例●精析 例6 若关于的分式方程的解是正数，的取值范围是. 为什么5-m 1？ 求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 课堂●小结 分式 方程 定义 步骤 误区 分母中含未知数的方程叫做分式方程 一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母中， 看是否为零) (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘 (3) 忘记检验 (2) 去分母后，分子是多项式时， 没有添括号 (因分数线有括号的作用) 课后●练习 　1.下列说法中，正确的是(　　) A．分母中含有未知数的式子就是分式方程 B．含有字母的方程叫做分式方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分式方程就是含有分母的方程 C 2.下列关于x的方程是分式方程的是(　　) 　 A. 　 B. C. D. D 课后●练习 A.2－（2－x）=1 B.2+（2－x）=1 C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1） 3.把分式方程 两边同乘（x－1），约去分母后，得（ ） D 4.分式方程 的解是（ ） A. x=1 B. x =－1 C. x=－14 D.无解 D 课后●练习 5.解下列分式方程： (1)； (2)． （1）解：方程两边同时乘以最简公分母得∶ 解得 检验：当 时，， ∴是原方程的的解． 课后●练习 （2）解：方程两边同时乘以最简公分母得 ， ， ， ． 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 5.解下列分式方程： (1)； (2)． 课后●练习 6.若关于的方程有增根，求实数的值． 解：该方程的最简公分母是x(x+1)， 该方程的增根为或， 方程两边同乘以x(x+1)得， 2mx-(m+1)=x+1， 当时， 2m×0-(m+1)=0+1， 解得； 当时， 2m×(-1)-(m+1)=-1+1， ， 实数的值为或． $$