12.4分式方程（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

12.4分式方程 题型一  分式方程的定义 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 5．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知关于x的方程的解为，则A处可能为（    ） A． B． C． D． 7．下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 8．若关于x的方程的解为，则m的值为 ． 题型二  解分式方程 1．对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．方程的解为 ． 3．我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为 ． 4．解方程： (1) (2) 5．解方程：． 6．在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 7．解方程：． 8．解下列分式方程： (1)； (2)． 9．解分式方程： (1) (2) 10．解分式方程：． 11．解方程：． 12．解方程： (1)； (2)． 13．解方程：． 14．解方程． 15．解方程：． 题型一 根据分式方程解的情况求值 1．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 2．已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 3．若关于的方程的解为整数，且不等式组无解，则这样的非负整数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 5．已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 6．若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 7．已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 8．关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（   ） A． B． C． D． 9．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 10．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为 ． 题型二 分式方程无解问题 1．若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 2．若关于的分式方程有增根，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 3．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 4．已知关于的方程有增根，则的值为 ． 5．已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 6．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 7．如果关于的分式方程有增根，则的值是 ． 8．若关于x的方程有增根，则m的值是 ． 9．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 1．若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之积是 ． 2．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 3．【感知】 ． 【应用】（1）计算：． 【拓展】（2）填空：________（n为整数）， ________． （3）方程的解为________． 4．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 5．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 6．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.4分式方程 题型一  分式方程的定义 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是分式方程； B、它不是分式方程； C、它是分式方程； D、它不是分式方程． 故选：C 2．下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意； B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意． 故选：D． 3．下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此求解即可． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 4．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 5．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 6．已知关于x的方程的解为，则A处可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解，将代入原方程中解得A的值，然后将分别代入各式中判断是否等于求得的A的值即可． 【详解】解：已知关于x的方程的解为， 则， 那么， 检验：是该分式方程的解， 那么当时，，则A不符合题意， 当时，，则B符合题意， 当时，，则C不符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：B． 7．下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个分析即可判断． 【详解】解：是整式方程，不是分式方程，故①不符合题意； 是分式方程，故②符合题意； 是分式方程，故③符合题意； 是整式方程，不是分式方程，故④不符合题意； 综上所述，是分式方程的有②③． 故答案为：②③． 8．若关于x的方程的解为，则m的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查根据分式方程的解，求参数的值，先将分式方程化为整式方程，再把代入，求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 把代入，得：， ∴； 故答案为：7． 题型二  解分式方程 1．对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据定义的新运算，将转化为分式方程，解方程并检验即可. 【详解】解：根据题意，运算， 代入得：， 移项得：， 两边取倒数：， 解得：， 解得：， 检验：当时，分母， 因此，的值为， 故选：A 2．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 3．我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，根据新定义的法则，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意：， ∵， ∴， 解得：； 经检验，是原方程的解，且满足题意； 故答案为：． 4．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键： （1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：； （2）方程去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， 原方程的解为：． 5．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将方程两边同乘，转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 6．在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 7．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，最后检验即可，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴ ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原分式方程的解为：． 8．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解； (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程． （1）按照去分母，得到整式方程，再求得整式方程的解，然后检验即可得解； （2）按照去分母，得到整式方程，再求得整式方程的解，然后检验即可得解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增解， ∴原方程无解； （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 9．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 把代入得：， ∴是原方程的增根，原方程无解． 10．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 11．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的解法：解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解,解分式方程一定注意要验根． （1）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可； （2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的增根；原方程无解． 13．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以去分母，得， 解这个整式方程，得． 检验：把代入，得， 所以，是原方程的解． 14．解方程． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 15．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 方程两边都乘以，得：， 解得：， 检验：时，， 所以是分式方程的根． 题型一 根据分式方程解的情况求值 1．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据方程的解为非负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得，解得， 分式方程的解为非负数， ，， 又分母不为0， ，即， ， 综上可知，且． 故选：D． 2．已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 3．若关于的方程的解为整数，且不等式组无解，则这样的非负整数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，解不等式组，先求出，由于解为整数，则，，2，，4，，则，0，3，，5，，根据不等式组无解得， 最后得出非负整数为，0，3，进而可得出答案 【详解】解：， 去分母得：， ， 由于解为整数，则，，2，，4，， 则，0，3，，5，， 由于无解， 则， 由于，即， 则，0，3，，， ∴非负整数为，0，3， 故选：A 4．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数，解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数． 【详解】解： 方程两边同乘以得： 解得： ∵关于x的分式方程的解为负数， 且 即且 解得：且 故选：C． 5．已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程的知识，首先解分式方程，得到，根据解为非负数以及，即可确定的取值范围． 【详解】解：， 移项，得 ， 两边同时乘以，得 ， 解得 ， 根据题意，为非负数，即，解得 ， 又因为，即， 将其代入，得，解得， 所以，需同时满足且． 故选：D． 6．若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解确定参数的取值范围，解一元一次不等式；首先将分式方程转化为整式方程，求解后结合分式方程有解的条件（分母不为零且系数不为零）确定参数m的取值范围． 【详解】解：原方程可改写为， 方程两边同乘（注意），得：， 整理得：， 解得：； 因为分母，即， 依题意，，即， 解得：， 综上，且； 故选：D． 7．已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围． 【详解】解：两边同乘公分母得：， 展开整理得：， 解得：； 由题意，解，即：， 由于分子为负，分母需为正， 故，即； 当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除； 当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除； 综上，需满足且， 故选：B． 8．关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，求不等式的解集，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，用含a的是式子表示分式方程的解，再根据解为负数，解不等式即可求解． 【详解】解：去分母得， 整理得 即且， 解得：， ∵解为负数， ∴或， 解得或， 符合的数值为， 故选：A． 9．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，掌握求解的方法是关键； 分式方程先去分母化为整式方程，得到方程的解为，再根据题意可得且，进而可得关于m的不等式，进一步求解即可得． 【详解】解：分式方程去分母，得， 解得， ∵方程的解是非负数， ∴且， ∴且， 解得：且； 故答案为：且． 10．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】2或3或7 【分析】本题考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定a的取值范围．根据不等式组无解确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得； ∵ 去分母得：， 整理，得， ∵方程有整数解， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴符合题意的整数a的值为， ∵是增根， 此时， 解得， ∴符合条件的所有整数a为． 故答案为：2或3或7． 题型二 分式方程无解问题 1．若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程有增根的含义是解题关键．先解分式方程得，再根据增根得出，即可求出m的值． 【详解】解：原方程为 ， 两边同乘，去分母得：， 解得：， 分式方程有增根， ， ， ， 故选：A． 2．若关于的分式方程有增根，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的增根问题，掌握“已知增根的情况下求解参数的值”是解本题的关键． 分式方程的增根是使最简公分母为零的根．首先确定增根为，再将原方程转化为整式方程，代入增根求解的值． 【详解】解：原方程中，分母为和，最简公分母为．当时，分母为零，故增根为． 将方程两边同乘，得： 展开并整理得： 将增根代入，得：， 解得． 故选A． 3．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 4．已知关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：． 5．已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程无解问题，去分母，将方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； 方程无解，分两种情况： ①当整式方程无解时，则：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或； 故答案为：或． 6．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的无解，熟练掌握分母等于零时分式方程无解是解答本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解： 由分式方程无解，得到， 解得， 将代入， 故答案为：5． 7．如果关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式的方程解的情况求参数的值，先解分式方程，再根据分式方程解的情况列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解分式方程增根的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．若关于x的方程有增根，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程的解，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母为0，所以增根是，把增根代入化为整式方程的解，即可求出m的值． 【详解】解：， 方程两边都乘得：， 解得：， ∵原方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：2． 9．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】1或4 【分析】本题考查了分式方程无解问题．分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解分两种情况，分别求m的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， 分式方程无解， 当分式方程有增根时，，则，此时，解得：； 当整式方程无解时，，解得：， 综上可知，的值为1或4， 故答案为：1或4． 1．若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为正数，确定的取值范围且，进而得到且，根据为正整数，确定出的取值，相乘即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， ， ， 解②得：， ， 关于的一元一次不等式组至少有两个整数解， ， 解得， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为正整数， 且， 解得且， 且， 由∵为正整数， ∴或 则所有满足条件的整数的值之积是， 故答案为：． 2．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得：， 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或，且， 可得，． ∴． 3．【感知】 ． 【应用】（1）计算：． 【拓展】（2）填空：________（n为整数）， ________． （3）方程的解为________． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查分式的运算，数字类规律探究，解方程方程，解题的关键是得到： （1）利用规律，进行计算即可； （2）根据分式的减法法则，进行计算即可； （3）利用（2）中规律进行求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ； （3） ， ， ， ∴， 解得：； 经检验是原方程的解； 故原方程的解为：． 4．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要查了分式的混合运算，解分式方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据异分母分式减法法则计算即可； （2）根据新定义，列出方程，即可求解； （3）根据题意可得，再由新定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴A与B是互为“差离分式”，差离值为2； （2）解：由题意可得：， 即， ∴， 即， ∴， 解得：； （3）解： ； ∵P与Q互为“差离分式”，， ∴， ∴， ∴． 5．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了解分式方程，分式的运算，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：在串联电路上，在并联电路上，理由如下： 证明：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： 6．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$