第十三章 专题三 证明全等三角形的常见模型-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

9.310.4 11.解：(1)AD⊥BC,CE⊥AB, ∴.∠ADB=∠CDF=∠CEB=90. ∴.∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°. ∴.∠BAD=∠FCD. ∠ADB=∠CDF, 在△ABD和△CFD中，AD=CD, ∠BAD=∠FCD, '.△ABD≌△CFD(ASA). (2),△ABD≌△CFD,.BD=DF BC=7,AD=DC=5, .BD=BC-CD=2. ∴.DF=2. ∴.AF=AD-DF=5-2=3. 12.解：(1)证明：，CF⊥AE,BD⊥AE, ∠ADB=∠CFA=90°， .∠ABD+∠BAD=90°， ∠MAN=90°，∴.∠CAF+∠BAD=90°， .∠ABD=∠CAF. 又.AB=AC,∴.△ABD≌△CAF(AAS). (2)证明：.∠1=∠2，.∠ADB=∠CFA. :∠1=∠ABD+∠DAB, ∠1=∠BAC=∠CAF+∠DAB, ∴.∠ABD=∠CAF. 又AB=AC,∴.△ABD≌△CAF(AAS), ∴.AD=CF. (3)10 第4课时图形变换中的全等三角形 1.EC=DF(答案不唯一) 2.解：(1)证明：，AD=CF,∴.AD+DC=CF+DC 即AC=DF .AB∥DE,.∠A=∠EDC 又∠B=∠E, ∴.△ABC≌△DEF(AAS). (2).△ABC≌△DEF,.∠BCA=∠F. .∠A=50°，∠BCA=∠F=70°， .∠B=180°-∠A-∠BCA=60°. 3.C4.55°5.∠D=∠A(答案不唯一) 6.解：(1)证明：CD⊥AB,BE⊥AC, .∠ADC=∠AGB=90°， .∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠EBA=90°， ∴.∠ACD=∠EBA. (AB=FC, 在△AEB和△FAC中，∠EBA=∠ACF, BE=CA, ∴.△AEB≌△FAC(SAS),.AE=AF. (2)AE⊥AF.理由如下：由(1)知△AEB≌△FAC .∠E=∠CAF..BE⊥AC,垂足为G, .∠AGE=90°，.∠E+∠EAG=90°，.∠CAF+ ∠EAG=90°，即∠EAF=90°，∴.AE⊥AF. 7.C8.4 9.证明：(1)，AE∥DC, ∴.∠CDO=∠AEO,∠DCO=∠EAO. 在△AOE和△COD中， ∠AEO=∠CDO, ∠EAO=∠DCO,∴.△AOE≌△COD(AAS), OA=OC, ..AE=CD,OE=OD. .OB=OE+BE,OB=OD+CD,..BE=CD, ..AE=BE (2)由(1)知，AE=BE.过点E作∠AEB的平分 线，交AB于点F,则∠AEF=∠BEF, (AE=BE, 在△AEF和△BEF中，∠AEF=∠BEF, EF=EF, ∴.△AEF≌△BEF,.∠ABE=∠BAE :∠CDO=∠AEO=∠ABE+∠BAE, ∴.∠CDO=2∠ABE, 即∠BDC=2∠ABD. 由折叠可知，∠ABD=∠ABD', ∴.∠BDC=2∠ABD. 10.解：(1)证明：，∠BCA=∠ECD, .∠BCA-∠ECA=∠ECD-∠ECA. ∴.∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中， (BC=AC, ∠BCE=∠ACD, CE=CD. ∴.△BCE≌△ACD(SAS),.BE=AD. (2)相等， 理由：，∠BCA=∠ECD, ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE, .∠BCE=∠ACD. (BC=AC, 在△BCE和△ACD中，∠BCE=∠ACD, CE=CD. .△BCE≌△ACD(SAS),.BE=AD 专题三证明全等三角形的常见模型 1.证明：(1)，△ABD和△ACE都是等腰直角三 角形， ∴.AB=AD,AE=AC. 又，∠BAD=∠CAE=90°， ∴.∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠DAC=∠BAE. (AD=AB, 在△DAC和△BAE中，∠DAC=∠BAE, AC=AE, .△DAC≌△BAE(SAS). 11 (2),△DAC≌△BAE, ∴.BE=DC,∠ABE=∠ADC. 又.∠BFO=∠DFA,∠ADF+∠DFA=90°， .∠ABE+∠BFO=90°， .∠BOF=90°，即DC⊥BE (3)设点A到CD,BE所在直线的距离分别为 d1,d2. △DAC≌△BAE,.S△DAC=S△BAE, 1 即2×CDXd,=2×BEXd CD=BE,∴d1=d2,即点A到CD,BE所在直 线的距离相等. 2.解：(1).∠GAE=∠EAF (AG=AF, 在△AEG和△AEF中，∠GAE=∠FAE, AE=AE, .△AEG≌△AEF(SAS), ..EF=EG=BE+BG=BE+DF. (2)EF=BE十DF.理由如下： 如图所示，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,则 ∠ADF+∠ADG=180°. ∠B+∠ADC=180°，.∠B=∠ADG. 又.AB=AD,∴.△ABE≌△ADG(SAS), .AE=AG,∠1=∠3. :∠EAF=∠BAD. ∠1+∠2-2∠BAD. ∠3+∠2)∠BAD,即∠FAG=J 2∠BAD, .∠EAF=∠FAG. 又.AF=AF,.△AEF≌△AGF(SAS), ..EF=GF. GF=DG+DF,∴EF=BE+DF. 3.解：(1)证明：①∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90°. .AD⊥MN,BE⊥MN,∴.∠ADC=∠CEB=90°， ∴.∠BCE+∠CBE=90°，.∠ACD=∠CBE. 「∠ADC=∠CEB, 在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠CBE, AC=CB, .△ADC≌△CEB(AAS). ②由①知△ADC≌△CEB,∴.AD=CE,DC=BE, .DE=DC+CE=BE十AD. (2)DE=AD-BE. 证明：在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB=90°， ∠ACD=∠CBE, AC=CB. ∴.△ADC≌△CEB(AAS),∴.AD=CE,DC=BE, ∴.DE=CE-CD=AD-BE. (3)DE=BE-AD. 4.解：成立 证明：如图所示，将△ADF绕点AM 顺时针旋转120°得到△ABM, ∴.△ABM≌△ADF,∠ABM= ∠D=90°，∠MAB=∠FAD, AM=AF,MB=DF, .∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°， M,B,E三点共线. ,'∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+ ∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°， ∴.∠MAE=∠FAE. 又，AE=AE,AM=AF, ∴.△MAE≌△FAE(SAS), ∴.ME=EF,∴.EF=ME=MB+BE=DF+BE. 阶段检测二（13.113.3) 1.D2.C3.D4.D5.B 6.三角形的稳定性7.如果a<0,b<0,那么ab>0 5 8.2 9.解：(1)假命题 (2)添加BE∥DF.(答案不唯一) 理由：，BE∥DF,∴∠EBD=∠FDN 又∠1=∠2，∴.∠EBD-∠1=∠FDN-∠2， 即∠ABD=∠CDN,∴.AB∥CD. 10.解：(1)证明：，CF∥AB, .∠B=∠FCD,∠BED=∠F ,AD是BC边上的中线，BD=CD, .△BDE≌△CDF(AAS). (2)由(1)，得△BDE≌△CDF, ,.BE=CF=2,.AB=AE+BE=1+2=3. .AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°. 又.AD=AD,DB=DC, .△ADB≌△ADC(SAS),.AC=AB=3. 11.解：如图所示，延长EB到点G,使得BG=DF,连 接AG. D B 在△ABG和△ADF中， (AB=AD. ∠ABG=∠ADF=90°， BG=DF,专题三证明全等三角形的常见模型（答案P11) 类型1旋转模型 过程，请将余下内容补充完整. 1.如图所示，以△ABC的边AB,AC为腰分别向 解：如图②所示，延长EB到点G,使得BG= 外作等腰直角三角形ABD与等腰直角三角形 DF,连接AG. ACE,∠BAD=∠CAE=90°，连接BE和CD 在△ABG和△ADF中， 相交于点O,AB交CD于点F,AC交BE于 AB=AD, 点G ∠ABG=∠ADF=90°， 求证：(1)△DAC≌△BAE. BG=DF, (2)DC⊥BE. ∴.△ABG≌△ADF(SAS), (3)点A到CD,BE所在直线的距离相等， ∴.AG=AF,∠BAG=∠DAF. ∴.∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE. :∠EAF=2∠BAD, (2)李浩发现在如图③所示的四边形ABCD 中，若AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别 是边BC,CD上的点，且∠EAF= 2∠BAD, (1)中的结论仍然是成立的，请你写出结论 说明理由 3 类型2)对角互补模型 2.综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为 活动主题，开展了如下探究 (1)如图①所示，在四边形ABCD中，AB AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD 上的点，且∠EAF=2∠BAD.请探究线段 EF,BE,DF之间的数量关系.下面是琳琳的解题 △八年级·上册·数学·J 43 类型3)三垂模型 可证出多个几何结论，例如： 3.推理能力在△ABC中，∠ACB=90°，AC= 如图①所示，在正方形ABCD中，以A为顶点 BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点 的∠EAF=45°，AE,AF与BC,CD边分别交 D,BE⊥MN于点E. 于E,F两点，易证得EF=BE十FD (1)当直线MN绕点C旋转到如图①所示的 大致证明思路：如图②所示，将△ADF绕点A 位置时，求证：①△ADC≌△CEB;②DE= 顺时针旋转90°，得到△ABH,由∠HBE BE+AD. 180°可得H,B,E三点共线，∠HAE= (2)当直线MN绕点C旋转到如图②所示的 ∠EAF=45°，进而可证明△AEH≌△AEF, 位置时，试问DE,AD,BE具有怎样的等量关 故EF=BE+DF. 任务： 系？并加以证明， (3)当直线MN绕点C旋转到如图③所示的 如图③所示，在四边形ABCD中，AB=AD, 位置时，试问DE,AD,BE具有怎样的等量关 ∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点 系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明） 的∠EAF=60°，AE,AF与BC,CD分别交于 E,F两点.请参照阅读材料中的解题方法，你 认为结论EF=BE十DF是否依然成立？若 成立，请写出证明过程；若不成立，请说明 理由 45 50 类型4)倍角半角模型 4.阅读理解阅读以下材料，并按要求完成相应 的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射 线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成 的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型 44