第十三章 全等三角形 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

本章综合提升（答案P14) /H11/11/·本章知识归纳。 /1//1//I ① 全等三角形的② 相等； 全等三角形的③ 相等 全等三角 全等三角 形的概念 形的性质 4 全等 5⑤ 三角形 G ⑦ 全等三角 三角形的 形的判定 尺规作图 思想方法归纳 141i144111111 D是BC的中点，分别以AB,AC为直角边向 △ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN,其中 1.转化思想 ∠BAM=∠NAC=90°，AB=AM,AC=AN, 链接本章 连接MN,请直接写出AD与MN的数量与位置 利用全等三角形的对应边相等、对应角 关系 相等，把未知的线段或角转化为已知的线段 或角. 【例1】探究拓展(1)阅读理解：如图①所 示，在△ABC中，若AB=3,AC=5.求BC边上 的中线AD的取值范围.小聪同学是这样思考 的：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.利 用全等将边AC转化到BE,在△BAE中利用三 角形三边关系即可求出中线AD的取值范围，在 这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定 方法是“ ”,中线AD的取值范围 是 (2)问题解决：如图②所示，在△ABC中，点 D是BC的中点，DM⊥DN,DM交AB于点M, DN交AC于点N.求证：BM+CN>MN. (3)问题拓展：如图③所示，在△ABC中，点 50 【变式训练1【基础巩固】(1)如图①所示，已2.分类讨论思想 知AB与EF相交于点G,∠A=∠B,G是AB 人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统 的中点，求证：△AEG≌△BFG. 一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按 【深入探究】(2)如图②所示，在(1)的条件 照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每 下，过点E,F分别作ED⊥AG,FC⊥BG于点 一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问 D,C,若AD=DE. 题的思想方法就是分类讨论， ①试判断△EDG与△FCG是否全等，并证 爱链接本章 明你的结论 ①当全等三角形的对应关系不明确时， ②当ED=5cm,CG=2cm时，求AB 需要分类讨论；②当需要添加条件使三角形 的长. 全等时，根据给出的条件，根据不同的判定 【拓展探究】(3)如图③所示，要测量河流 定理，添加条件 AH的长，因为无法测河流附近的点A,可以在 AH外任取一点G,在AH的延长线上任取一点 【例2】（石家庄期中）如图所示，点C在线 E,连接EG,HG,并且延长HG到点C,使GC= 段BD上，AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D, HG;延长EG到点F,使GF=EG,连接FC并 延长到点B,使点G,A,B在同一条直线上，若测 ∠ACE=90°，且AC=7cm,CE=8cm,点P从 量出BC=50米，则河流AH=50米，请说明 点A开始以2cms速度沿AC向终点C运动， 理由。 同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段 EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P 到达终点时，P,Q同时停止运动.过P,Q分别 作BD的垂线，垂足分别为M,N.设运动的时间 为ts,当以P,C,M三点为顶点的三角形与 △QCN全等时，t的值为( B M C A.1 B.1或3 C.2或4 D.1或4 【变式训练2】如图所示，在方格纸中，以BC 为一边作△PBC(点P不与点A重合)，使之与 △ABC全等，则这样的点P有 个 △八年级·上册·数学.J小 51 3.模型思想 【变式训练3】模型观念如图所示，某同学 通过对现实问题或情境进行抽象，解决类似 把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻 问题的方法与策略、意识与观念 璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办 链接本章 法是( 无法直接测量的距离或角度，通过构造全 等三角形模型，转化为可直接测量的距离或 角度 A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①②去 【例3】应用意识如图所示，小明在游乐场 玩两层型滑梯，每层滑梯的高度相同(EH= 通模拟》 1i111Ei1E1EE111111111111E11 HD),都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC 1.(沧州期末)如图所示，已知∠1=∠2，若用 和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案： “AAS”证明△ACB≌△BDA,还需加上条 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 件( 测量工具 长度为6米的卷尺 A.AD=BC B.BD=AC ①测量出线段FD的长度； 测量步骤 C.∠D=∠C D.∠DAB=∠CBA ②测量出线段AB的长度 测量数据 DF=2.5米，AB=5米 (1)根据小明的测量方案和数据，判断两个 滑梯BC和EF的长度是否相等，并说明理由， (2)猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线 第1题图 第2题图 的位置关系，并加以证明. 2.(廊坊期中)如图所示，AD是△ABC的中线， 点E,F分别是AD和AD延长线上的点，且 DE=DF,连接BF,CE,下列说法不一定正确 的是( A.BF=CE B.△ABD和△ACD的面积相等 C.BF∥CE D.∠ACE=∠DCE 3.(保定高碑店月考)打碎的一块三角形玻璃如 图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻 璃，最省事的方法是( A.带①②去 B.带②③去 C.带③④去 D.带②④去 52 4.(廊坊期中)如图所示，已知∠AOB,以点O为8.（保定高碑店月考）如图所示，操场上有两根旗 圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于 杆AC,BD,它们之间的距离AB为12m,小 点D,E,再分别以点D,E为圆心，大于2DE 强从点B沿BA走向点A,当他到达点M时， 他测得CM和DM的夹角为90°，且CM= 的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C, DM.已知旗杆AC的高为3m,小强行走的速 作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线.作 度为0.5m/s. 图依据是( ) (1)请你求出另一旗杆BD的高， A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS (2)小强从点M到达点A还需要多长时间？ D E B 第4题图 第5题图 5.(石家庄期中)如图所示，在△PAB中，∠A= ∠B,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点，且 AM=BK,BN=AK.若∠MKN=44°，则 ∠P的度数为() A.98 B.96 C.94 D.92 6.(保定唐县期末)判断一张纸带的两边a,b是 否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方 案：对于方案I,Ⅱ，下列说法正确的是( ) 方案Ⅲ 方案1 9.(张家口期中)如图①所示，已知△ABC 先沿AB折叠，展开后再 沿图中虚线折叠并展 沿CD折叠，若测得 开，若测得∠1=∠2，则 ② AO=BO,CO=DO,则 a//b. (1)在图①中作△ABC关于直线AC的对称图 a//b. 形△ACD. A.I可行，Ⅱ不可行 B.I不可行，Ⅱ可行 (2)在(1)的条件下，在图②中，用尺规作 C.I,Ⅱ都不可行 D.I,Ⅱ都可行 △A'B'D',使∠B'=∠B,A'B'=AB,B'D'= 7.(石家庄期中)如图所示，已知△ABC≌ BD.(不写作法，保留作图痕迹) △DEF,∠ABC=35°，∠ACB=70°，则∠D= (3)在(2)的条件下，作∠B'=∠B的尺规作图 依据是 .(填“SSS”“SAS”或“AS”) △八年级·上册·数学.J小HH 53 10.（沧州月考)已知在△ABC和△CDE中， 通中考 LLI11E111141112111E1111 CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=&, AE与BD相交于点F. 11.(河北中考)下列图形具有稳定性的是( (1)如图①所示，当a=90时，求证： ①△ACE≌△BCD. B ②AE⊥BD. 12.(河北中考)如图所示，∠A=∠B=50°，P为 (2)如图②所示，当a=60°时，求出∠AFB的 AB的中点，点M为射线AC上（不与点A重 度数 合)的任意一点，连接MP并延长交射线BD (3)如图③所示，直接写出∠AFD的度数 于点N,设∠BPN=a. 为 .(用含a的式子表示) (1)求证：△APM≌△BPN (2)当MN=2BN时，求a的度数， 13.(河北中考)如图所示，点B,F,C,E在直线1 上(F,C之间不能直接测量)，点A,D在1两 侧，测得AB=DE,AC=DF,BF=EC. (1)求证：△ABC≌△DEF (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由. 54(2).∠ADC=65°，∴.∠CBE=∠ADC=65° ∠ACD=∠ECB, 在△DCA和△BCE中，CD=CB, ∠ADC=∠CBE. ∴.△DCA≌△BCE(ASA).∴.CA=CE=32m. ∴.AB=AC-BC=32-5=27(m). .这两个电线塔之间的距离是27m. 本章综合提升 【本章知识归纳】 ①能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形②对 应边③对应角④SSS⑤SAS⑥ASA⑦AAS 【思想方法归纳】 【例1】解：(1)SAS1AD<4 (2)证明：如图所示，延长ND至点 F,使FD=ND,连接BF,MF 点D是BC的中点，BD=CD 在△BDF和△CDN中， (DF=DN, ∠BDF=∠CDN, BD=CD, ∴.△BDF2△CDN(SAS),∴.BF=CN. .DM⊥DN,∴.∠MDN=∠MDF=90. MD=MD. 在△MFD和△MND中，∠MDF=∠MDN, FD=ND. ∴.△MFD≌△MND(SAS),.MF=MN. 在△BFM中，由三角形的三边关系，得BM+BF> MF,∴.BM+CN>MN. (3)2AD=MN,AD⊥MN. 【变式训练1】解：(1)证明：，G是AB的中点， ∴.AG=BG. ∠A=∠B, 在△AEG和△BFG中，AG=BG, ∠AGE=∠BGF, .△AEG≌△BFG(ASA). (2)①△EDG≌△FCG.证明： .△AEG≌△BFG,∴.EG=FG. .ED⊥AG,FC⊥BG,.∠EDG=∠FCG=90°. ∠EDG=∠FCG, 在△EDG和△FCG中，∠EGD=∠FGC, EG=FG. .∴.△EDG≌△FCG(AAS). ②由①得DG=CG=2cm. .'AD=ED=5 cm,..AG=AD+DG=5+2- 7(cm),.AB=2AG=2×7=14(cm),即AB的长 为14cm. (3)理由如下： EG=FG, 在△EGH和△FGC中，3∠EGH=∠FGC, HG=CG, ∴.△EGH≌△FGC(SAS), .∠EHG=∠FCG, ∴.180°-∠EHG=180°-∠FCG, .∠AHG=∠BCG. 在△AHG和△BCG中， (∠AHG=∠BCG, HG-CG, ∠AGH=∠BGC, .△AHG≌△BCG(ASA),∴.AH=BC=50米. 【例2】B解析：由题得0<t<3.5.点Q从E向C运 动时，如图所示 以P,C,M为顶，点的三角形与 △QCN全等， ∴.PC=CQ,∴.7-2t=8-3t, .t=1. B M C 当点Q从点C返回时， :以P,C,M为顶，点的三角形与△QCN全等， ∴.PC=CQ,∴.7-2t=3t-8,.t=3, 综上所述，t的值为1或3. 【变式训练2】3解析：如图所示，使△PBC与△ABC 全等的点P共3个 【例3】解：(1)相等. 理由：，EH=DH=2.5米， ED=5米，AB=DE. 由题意可知四边形CADH为长方形， ∴.CA=DH=2.5米. ,DF=2.5米，∴AC=DF. 在△ABC和△DEF中， AB=DE, ∠CAB=∠FDE=90°， AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS), ∴.BC=EF,即两个滑梯BC和EF的长度相等. (2)BC和EF所在直线垂直. 证明：如图所示，延长BC交EF 4￥ 于点M. ,∠EDF=90°， .∠DFE+∠DEF=90. D ,△ABC≌△DEF, ∴.∠ABC=∠DEF, ∴.∠ABC+∠DFE=90°，∴.∠BMF=90°， ∴.EF⊥BM,即BC和EF所在直线垂直. 【变式训练3】C 【通模拟】 1.C2.D3.A4.D5.D6.D7.75° 8.解：(1)如图所示， ,CM和DM的夹角为90°， D .∠1+∠2=90°. ,∠DBA=90°， .∠2+∠D=90°， .∠1=∠D. 在△CAM和△MBD中， ∠A=∠B, ∠1=∠D, CM=MD, ..△CAM≌△MBD(AAS), ∴.AM=DB,AC=MB. .'AC=3 m,..MB=3 m, .AB=12m,∴.AM=9m,∴.DB=9m. (2)9÷0.5=18(s). 答：小强从点M到达点A还需要18秒. 9.解：(1)如图所示，△ACD为所求作的图形. (2)如图所示，△A'B'D'为所求作的图形. (3SSS 10.解：(1)证明：①，∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE, 即∠ACE=∠BCD. 又.CA=CB,CE=CD, ∴.△ACE≌△BCD(SAS) ②设AE,BC交于点O,如图① 所示 △ACE≌△BCD, ∴.∠CAF=∠CBD. .∠CAF+∠COA=90°， ∠COA=∠FOB, '∠CBD+∠FOB=90°， ∴.∠AFB=180°-（∠CBD+∠FOB)=90°， 即AE⊥BD. (2)设AE,BC交于点G,如图②所示 ∠ACB=∠DCE, .∠ACB+∠BCE=∠DCE+ ∠BCE,即∠ACE=∠BCD. 又'CE=CD,AC=BC, .△ACE≌△BCD(SAS). ∠CAE=∠CBD ,∠AGC=∠BGF, .∠ACB=∠AFB. ∠ACB=a=60°，∠AFB=60. (3)180°-a 【通中考】 11.A 12.解：(1)证明：，P是AB的中点， ∴.PA=PB. 在△APM和△BPN中， ∠A=∠B, PA=PB, .△APM≌△BPN(ASA). ∠APM=∠BPN, (2)由(1)，得△APM≌△BPN, ∴.PM=PN..MN=2PN. .MN=2BN,.BN=PN,过点N作∠PNB的 平分线交PB于点E,则∠PVE=∠BNE (PN=BN, 在△PNE与△BNE中，∠PNE=∠BNE, NE=NE, ∴.△PNE≌△BNE(SAS),.∠BPN=∠B, ..a=∠B=50°. 13.解：(1)证明：BF=CE, ∴.BF+FC=FC+CE,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， AB=DE, AC=DF,.△ABC≌△DEF(SSS). BC=EF. (2)AB∥DE,ACDF. 理由：由(1)，得△ABC≌△DEF, ∴.∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE, ∴.AB∥DE,AC∥DF. 第十四章实数 14.1平方根 第1课时平方根 1.A2.D3.B4.D5.06.B7.A8.D 9.解：(1)因为（±8）2=64，所以64的平方根为士8， 即士√64=士8. (2)因为（土0.4）2=0.16，所以0.16的平方根为 士0.4，即士√0.16=±0.4. 8旧为20是月（±》-所以20的平 方根为士号，即±20=士 。1 9 (4)因为(-15)2=225，且（±15）2=225， 所以(-15)2的平方根是±15，即士√(-15)=士15. (5)因为() =25,且（士5）2-25， /1 5 所以（日）的平方根是士5，即±() =±5. 10.±711.D12.D13.A14.D15.5 16.±0.917.±3 18.解：1)222=18x2=36,x=±6. (2)1-x=士5，x=1士5，x=-4或x=6. 19.解：把x=-3代入方程，得-1+3m=5, 解得m=2.把m=2代入代数式， 5