第十七章 专题九 巧用勾股定理解决问题+阶段检测五 (17.1～17.3)-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（冀教版2024）

专题九巧用勾股定 类型1》用勾股定理解决折叠问题 1.如图所示，折叠长方形的一边AD,使点D落 在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC= 10cm,则EF=() A.4 cm B.3 cm C.5 cm D.6 cm 2.(唐山期末)如图所示，在△ABC中，把∠B沿 DE所在直线折叠使点B与点C重合，折痕为 DE,连接CE (1)若BE=13,AE=5,AC=12,求证： ∠A=90°. (2)若∠A=90°，AC=6,BD=5,求△AEC的 周长 类型2)用勾股定理解决面积问题 3.如图所示，所有阴影部分的四边形都是正方 形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A,B,C的面积依次为6,10,7，则正方形D的 面积为( A.11 B.16 C.17 D.23 126 理解决问题（答案P31) 类型3)用勾股定理解决最短距离问题 4.如图所示，圆柱形玻璃杯 高为12cm,底面周长为蚂蚁4 18cm,在杯内离杯底4cm 蜂密( 的点C处有一滴蜂蜜，此时 一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂 蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 为() A.14 cm B.15 cm C.16 cm D.17 cm 类型4)运用勾股定理解决实际问题 5.新情境校车安全是近几年社会关注的重大问 题.某数学活动小组设计了如下检测校车速度 的实验：如图所示，先在公路1旁边选取一点 C,再在笔直的公路l上确定点D,使CD与1 垂直，测得CD=30米，在l上点D的同侧取点 A,B,使∠CAD=30°，∠CBD=60°.已知本路段 对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A 到B用时4秒，求这辆校车在AB段是否超速. (参考数据：√5≈1.73，√2≈1.41,1m/s= 3.6km/h) 4144441451114344 阶段检测五(17 一、选择题 1.已知一个等腰三角形的一个内角为75°，则其 顶角为( A.30° B.75° C.105° D.30°或75° 2.(重庆奉节期末)下列条件中，不能判定△ABC 为直角三角形的是( ) A.a=1.5,b=2,c=2.5 B.a:b:c=5:12:13 C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 3.如果将长为6cm,宽为5cm的长方形纸片折 叠一次，那么这条折痕的长不可能是() A.8 cm B.5√2cm C.5.5 cm D.1 cm 4.(唐山期中)如图所示，以Rt△ABC的三边为 直角边分别向外作等腰直角三角形，若AB= 2,则图中阴影部分的面积为( A.2 B.3 C.4 D.5 第4题图 第5题图 5.下几何直观如图所示，△ABC≌△DEC,点E 在AB边上，∠B=70°，则∠DCA的度数 为() A.30° B.40° C.50° D.60° 6.如图所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°.△ABD 是等腰三角形，AB=BD=4,CB⊥BD交AD于 点E,BE=1,则AC的长为( ) A.43 B.2/17 c号 D.6 △八年级·上册·数学.J小1 1~17.3)(答案P31) B a 第6题图 第7题图 7.如图所示，直线l上有三个正方形a,b,c.若 a,c的面积分别为3和4，则b的面积 为( A.3 B.4 C.5 D.7 二、填空题 8.推理能力如图所示，在△ABC中，∠ABC= 60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC 的平分线BE交AD于点F,则图中共有等腰 三角形 个 B D D 第8题图 第9题图 9.如图所示，已知△ABC是等边三角形，点B, C,D,E在同一条直线上，且CG=CD,DF= DE,则∠E= 0 10.如图所示，已知线段BC,分别以点B和点C 为圆心，大于2BC的长为半径画弧，两弧相 交于E,F两点，连接CE,过点E作射线 BA.若在△BCE中，∠C=15°，BE=4,则 BE边上的高为 D 第10题图 第11题图 11.(保定期末)如图所示，在△ABC中，∠ACB= 90°，∠A=30°，BC=6.将△ABC沿DE折 叠，使点A与点B重合，连接CD, (1)AB= (2)△CDE的周长为 127 12.(保定期中)如图所示，AB=AC=2√2， ∠BAC=90°，在线段BC上有一动点D,连 接AD,过点A作AE⊥AD,且AD=AE,连 接DE. B (1)BC的长为 (2)当BD=1时，DE的长为 三、解答题 13.如图所示，直线BN平行于△ABC的边AC, 延长AC到点M,∠BCM和∠CBN的平分 线交于点D,过点D作DE∥BN交BC于点 E,连接AE.若AB=AC,求证：AE⊥BC 14.如图所示，△ABC是等边三角形，点D,E,F 分别在BC,AB,CA的延长线上，且BE= AF=CD.求证：△DEF是等边三角形. 128 5.应用意识汉江是长江最长的支流之一，源头 在秦岭南麓，从西向东流经多个县域.如图所 示，在汉江笔直的河流一侧有一旅游地A,江 边有两个景点B,C,其中BA=BC.由于某 种原因，从A到B的路现在不通，为让游客 有更好的体验，现决定在江边新建一个景点 D(B,C,D三点在同一直线上)，并修建一条 公路AD,测得AC=6.5千米，DC=2.5千 米，AD=6千米 (1)判断△ACD的形状，并说明理由， (2)求原路线AB的长. B ------------------------- 411414414144511451514 0..BC=DC+BD=40+16=56(m). 即这栋楼的高度为56m. 14.解：(1)n2-12n2+1 (2)以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 理由：，a=n2-1,b=2,c=n2+1, .a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-22+1+ 4n2=n4十2n2十1=(n2十1)2. .c2=(n2+1)2, .a2+b2=c2 ∴.根据勾股定理的逆定理，得以a,b,c为边的三角 形是直角三角形 专题九巧用勾股定理解决问题 1.C 2.解：(1)证明：由折叠可得△BDE≌△CDE, ∴.CE=BE=13. 在△ACE中，CE=13,AC=12,AE=5, .AC2+AE2=122+52=169,CE2=169, .AC2+AE2=CE2,.∠A=90°. (2)由折叠可得△BDE≌△CDE, ..BD=CD=5,..BC=BD+DC=10. ∠A=90°，AC=6, 在Rt△ABC中， 根据勾股定理，得AB2+AC2=BC2, .AB=√/102-62=8. ,CE=BE,.△AEC的周长为AE+CE+AC= AB+AC=8+6=14. 3.D4.B 5.解：在Rt△ACD中，，∠ADC=90°，∠CAD=30°， CD=30米，.AC=2CD=60米， AD=√JAC2-CD=30W5米. ∠CBD=60°， ∴.∠BCA=∠BAC=30°，∴AB=BC 在Rt△BCD中，.'∠BCD=30°， ∴BC=2BD. ,BD2+CD2=BC2,.BD2+302=(2BD)2, 解得BD=10√3米， .AB=AD-BD=20W3≈34.6（米）. ,校车从A到B用时4秒， ∴.速度为34.6÷4≈8.65（米秒）. 8.65×3.6=31.14(千米时). ,31.14<40,.这辆校车在AB段不超速。 阶段检测五（17.1~17.3) 1.D2.D3.A4.C5.B6.C7.D 8.39.1510.2 11.(1)12(2)6+4/3 12.(1)4(2)10解析：(1)在△ABC中，AB= AC=2√2，∠BAC=90°， .BC=√JAB+AC2=√/(2√2)2+(22)2=4. (2)如图所示，连接CE. ,在△ABC中，AB=AC= 2√2，∠BAC=90°， .∴.∠ABC=∠ACB=45°， ∠BAD+∠DAC=90°. .AD⊥AE,∴.∠DAE=90°， .∠CAE+∠DAC=90°，∴.∠BAD=∠CAE. (AB=AC, 在△BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE, AD=AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS), ∴.CE=BD=1,∠ACE=∠ABD=45°， .∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°. CD=BC-BD=4-1=3, ∴.DE=√CD+CE2=√32+1'=/10. 13.证明：DEBN,∴∠NBD=∠BDE. ,BD平分∠CBN,.∠NBD=∠DBE, .∠BDE=∠DBE,EB=ED .AM∥BN,∴.DE∥AM, ∴.∠EDC=∠DCM. .CD平分∠BCM,∴.∠DCM=∠ECD, ∴∠EDC=∠ECD, .EC=ED,∴.EB=EC .AB=AC,.AE⊥BC. 14.证明：，△ABC为等边三角形， ∴.∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC, ∴.∠EAF=∠EBD=120°. .BE=CD, ∴.BE+AB=BC+CD,即AE=BD. 在△BDE和△AEF中， (BE=AF, ∠EBD=∠EAF, BD=AE, .△BDE≌△AEF(SAS),∴.EF=ED 同理可得△AEF≌△CFD, ∴.EF=FD,∴.EF=ED=FD, ∴△DEF为等边三角形. 15.解：(1)△ACD是直角三角形.理由如下： .AC=6.5千米，DC=2.5千米，AD=6千米， .AD2+DC2=62十2.52=42.25，AC2=6.52= 42.25, .AD2+DC2=AC2,∴.△ACD是直角三角形. (2)由(1)可知AD⊥BC, 设BD=x千米，则BA=BC=(x十2.5)千米. 在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2, .62+x2=(x+2.5)2, 解得x=5.95,.AB=8.45千米。 17.4直角三角形全等的判定 1.B2.B