4.2.2 第2课时 对数的换底公式及应用 课件-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数换底公式及推论，通过复习对数运算性质，以“log₂3×log₃2”等跨底数运算问题为切入点，搭建从同底数运算到不同底数运算的学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于从具体试算log₃5推导公式，培养数学眼光，通过多方法解题（如例1中法1用常用对数、法2用推论）发展数学思维，结合放射性物质剩余量、机器价值等实际问题用数学语言表达现实。学生能提升运算与应用能力，教师可借助清晰结构和丰富例题提高教学效率。

4.2.2 第2课时 对数的换底公式 及应用 作者编号：32100 1.掌握换底公式及其推论. 2.能熟练运用对数的运算性质和换底公式进行化简求值，并解决一些实际问题. 学习目标 作者编号：32100 对数的运算性质 思考：log24×log39可化为2×2=4，那你会化简log23×log32吗? 对于底数不同的对数运算，如何进行并简化呢？ 性质1： loga(MN)=logaM + logaN 性质2： loga=logaM - logaN 性质3： logaMn = n logaM a>0，且a≠1，M>0，N>0 复习导入 作者编号：32100 数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或为底的对数，就能方便地求出这些对数. 试一试：你能用常用对数表示log35吗？ 新课讲授 作者编号：32100 1.你能用常用对数表示log35吗？ 解：设 t＝log35，则 3t＝5. 两边取常用对数，得 lg 3t＝lg 5， 即 t lg 3＝lg 5， 所以 t＝. 故 log3 5＝ . 试一试： 新课讲授 作者编号：32100 2. 证明：logaN＝ ，其中a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1 证明 :设 t＝logaN，则at＝N. 两边取以c为底的对数，得 logc(at)＝logcN， 即 t logca＝logcN， 所以 t ＝ . 故 logaN ＝ . 试一试： 对数换底公式 作者编号：32100 试一试： 3.你能利用换底公式证明下列等式吗？ 作者编号：32100 要点归纳 logaN＝ ，其中a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1 对数的换底公式： 作者编号：32100 （1）log89×log332； 解：（1）原式＝ × ＝ × ＝ . (2)(log43＋log83)(log32＋log92). 例1 计算： （2）法1： 法2： 作者编号：32100 1.计算： log23×log34×log45×log56×log67×log78＝________. 3 练一练 推论：logab·logbc·logcd＝logad (a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1). 作者编号：32100 2.已知log23＝a，log25＝b，则log1815＝( ) 练一练 B 作者编号：32100 例2 解： 作者编号：32100 相同时段内增加(或减少)上一个时段的百分率为定值问题，一般由条件得出指数等式，通过取对数，再利用换底公式求解. 知识归纳 作者编号：32100 3.一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问约经过多少年这台机器的价值为8万元？(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2) 练一练 解： 作者编号：32100 针对以下内容，谈谈你的收获： 1.对数换底公式及其重要推论 2.换底公式与实际应用问题 课堂总结 作者编号：32100 1.设log34·log48·log8m=log416，则m的值为（ ） A. B. 9 C. 18 D.27 解析：log34·log48·log8m= 又log416=2，所以log3m=2，∴m=32=9. B 当堂练习 作者编号：32100 （ ） B 当堂练习 作者编号：32100 3.截至1999年底，我国人口约13亿.如果此后的人口年平均增长率为1%，那么约经过________年后，我国人口数将达到18亿. 33 解：设经过x年后，我国人口数达到18亿. 当堂练习 作者编号：32100 (1)logab·logba＝1；(2)logab＝； (3)loganbn＝logab(n≠0)，其中a，b均为不等于1的正数. 提示　(1)logab·logba＝·＝1. (2)由于logba≠0，由(1)得logab＝. (3)loganbn＝＝＝logab. (1)公式成立的条件是使每一个对数式都有意义. (2)对数换底公式的重要推论： ①logaN＝(N>0，N≠1，a>0，a≠1)； ②loganbm＝logab(a>0，a≠1，b>0). 原式＝(log43＋log83)(log32＋log92) ＝(log23＋log23)(log32＋log32)＝log23×log32＝. 原式＝＝·＝×＝. 原式＝×××××＝＝3. A. B. C.－a＋b－1 D.a＋b－1 log1815＝＝＝，故选B. 假设经过x年，该物质的剩余量是原来的.由题意可知＝， ∴x＝log＝＝＝≈≈4. 故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留整数，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 得x＝＝＝≈10. 所以约经过10年这台机器的价值为8万元. 设经过x年，这台机器的价值为8万元. 则8＝20(1－0.087 5)x，即0.912 5x＝0.4， 等号两边同时取常用对数， ＝log23＋log2＝log2＝log28＝log223＝3. 2.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y＝ A.3 B.8 C.4 D.log48 由2x＝3，∴x＝log23. ∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋2log22 由13(1＋0.01)x＝18，得x＝log1.01＝≈32.704 7. $