精品解析：江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年八年级上学期数学10月月考试题

2025-2026学年八年级（上）数学试卷（10月份） 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的识别，，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 两个等边三角形一定全等 B. 形状相同的两个三角形全等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 全等三角形的面积一定相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等图形的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误； B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误； C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等图形，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 3. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 4. 若等腰三角形中有一个角等于70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（ ） A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 70°或55° 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】①当这个角是顶角时，顶角为70°； ②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°， 故选C 5. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解． 【详解】解：∵∠C＝∠D＝90°，AB=AB， ∴①AC＝AD，可用HL判定Rt△ABC与Rt△ABD全等； ②∠ABC＝∠ABD，可用AAS判定Rt△ABC与Rt△ABD全等； ③BC＝BD，可用HL判定Rt△ABC与Rt△ABD全等； 故选：D． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 6. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质； 根据作图步骤可知，，，然后利用证明即可． 【详解】解：由作图可知：，，， ∴， ∴，即， 故选：A． 7. 如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质，直角三角形的性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等． 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，又折叠前后图形的形状和大小不变，，易求，从而求出的度数． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则， ∴是的外角， ∴． 故选：D． 8. 如图，，、交于点，为斜边的中点，若，．则和之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证，继而证明，解得，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得与的关系，整理即可解题． 【详解】 是的中点， ∴∠CAM=∠MCA， ， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上）． 9. 若，且的周长为20，，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，先根据周长和已知边长求出的长，再根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】∵的周长为20，， ∴， ∵， ∴， 答案为：6． 10. 如图，，要使，需添加的一个条件是__（只添一个）． 【答案】(答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法“边边边 ，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”，结合题意，选择合适的方法进行判定即可求解． 【详解】解：已知， ∵， ∴，且， ∴添加，可运用“角边角”证明； 添加，可运用“边角边”证明； 添加，可运用“角角边”证明； 故答案为：(答案不唯一）． 11. 已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角新三边数量关系，掌握等腰三角形的定义，分类讨论是关键． 根据等腰三角形的定义分类讨论即可． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和10， 当腰长是，底边长为时， ∵， ∴不能构成等腰三角形； 当腰长是，底边长是时， ∵， ∴符合等腰三角形的定义， ∴这个等腰三角形的周长为， 故答案为：24 ． 12. 如图，为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的_____性． 【答案】稳定 【解析】 【分析】利用三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定． 【点睛】此题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性是解题的关键． 13. 如图，每个小方格的边长均为1，则+=________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据证明，根据，得出， 即可求出结果． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】由△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠D＝65°，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵△ABC≌△DBE，∠D＝65°， ∴∠BAC＝∠D＝65°， ∵∠ABC＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝35°， 故答案为：35°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，解题关键是掌握角平分线的定义，掌握平行线的性质． 根据角平分线定义、平行线的性质可得，进而求解． 【详解】解∶平分， 同理可得∶， 故答案为：． 16. 如图，在Rt中，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合，则的度数为________． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】根据折叠的性质即可得到结论． 【详解】解：∵将沿翻折，使点B落在点E处， ∴， ∵将沿翻折，点A恰好与点E重合， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折的性质． 17. 如图，在射线，上分别截取，连接，在、上分别截取，连接，…按此规律作下去，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形内角和定理的应用，图形的变化规律；依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等,表示出，依此类推即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 同理， ，…按此规律 ， 故答案为：． 18. 如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段最短，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 连接，过点A作于点H，再根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点M在线段上时，最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：连接，过点A作于点H，如图： ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 根据“垂线段最短”得：， 即当点M在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 故答案为：． 三、解答题（共64分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上．） 19. 如图，在中，是边上的中线．求证是的角平分线． 证明：是的中线，． 在 和 中 （ ） ∴（ ） ∴是的角平分线（ ）. 【答案】，，，，，，，全等三角形对应角相等，角平分线定义． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证即可求证． 【详解】证明：是的中线， ． 在和中 （） ∴（全等三角形对应角相等）， ∴是的角平分线（角平分线定义）． 20. 已知，，，求证． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 21. 如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点，，在正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的． （2）的面积为______； （3）在直线上找一点，使的值最小．在图形中标出点，保留作图痕迹 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）5 （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识； （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积， 故答案为：； 【小问3详解】 略 22. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，． 求证： （1）： （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 解：由（1）可得，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由，，可得，，即可得出结论； （2）由（1）可得，根据全等三角形的性质可得，再利用等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长； （）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图，中，，平分，过点作于点，在上取． （1）求证：； （2）猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ 又∵平分 ∴ 在和中 ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）利用平分，可得，即可证明和全等； （2）证明和全等，可得，即可解得 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ，理由如下 ∵， ∴ 又∵平分 ∴ 在和中 ∴ ∴ 又∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形的全等以及角平分线的性质，灵活运用所学的知识是解题的关键． 25. 如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是边上的高， ， 是斜边上的中点， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边上的中线等于斜边一半的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等， （1）连接，根据直角三角形的性质得到，进而证明，根据等腰三角形的三线合一证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质可得，再结合已知和三角形外角性质得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）的结论可知：， ， ， ， 由外角的性质得：， ， ∵， 又∵， ∴， ∴， ． 26. 如图，在中（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （1）利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离的长等于的长； （2）利用尺规作图，作出（1）中的线段． 【答案】（1） 如图所示，点P即为所求； （2） 如图所示，线段为所求． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法与性质，垂线的作法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的性质，作的角平分线交于点P即可； （2）作于点D即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平分，，， ． 27. 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在中，，，请直接写出图中两对“等角三角形”． （2）如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． （3）在中，，是等角分割线，请直接写出的度数． 【答案】（1）与；与，与 （2） 证明：在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， 则， ∵，，，， ∴为的等角分割线． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“等角三角形”以及“等角分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． （1）根据题意和三角形内角和定理即可求得“等角三角形”； （2）根据三角形内角和定理求出，根据为角平分线和“等角三角形”的定义即可证明； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 则与是“等角三角形”， ∵，， ∴， 则与是“等角三角形”， ∵，， ∴与是“等角三角形”． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，， ∵是的等角分割线， ∴， ②当时，， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，，则 那么（舍去）， 故的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级（上）数学试卷（10月份） 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 两个等边三角形一定全等 B. 形状相同的两个三角形全等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 全等三角形的面积一定相等 3. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 4. 若等腰三角形中有一个角等于70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（ ） A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 70°或55° 5. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，、交于点，为斜边的中点，若，．则和之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上）． 9. 若，且的周长为20，，，则的长为______． 10. 如图，，要使，需添加的一个条件是__（只添一个）． 11. 已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为________． 12. 如图，为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的_____性． 13. 如图，每个小方格的边长均为1，则+=________． 14. 如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为________． 15. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为______． 16. 如图，在Rt中，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合，则的度数为________． 17. 如图，在射线，上分别截取，连接，在、上分别截取，连接，…按此规律作下去，若，则______． 18. 如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为______． 三、解答题（共64分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上．） 19. 如图，在中，是边上的中线．求证是的角平分线． 证明：是的中线，． 在 和 中 （ ） ∴（ ） ∴是的角平分线（ ）. 20. 已知，，，求证． 21. 如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点，，在正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的． （2）的面积为______； （3）在直线上找一点，使的值最小．在图形中标出点，保留作图痕迹 22. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，． 求证： （1）： （2）． 23. 如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 24. 如图，中，，平分，过点作于点，在上取． （1）求证：； （2）猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 25. 如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 26. 如图，在中（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （1）利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离的长等于的长； （2）利用尺规作图，作出（1）中的线段． 27. 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在中，，，请直接写出图中两对“等角三角形”． （2）如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． （3）在中，，是等角分割线，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $