精品解析：四川省德阳市第五中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题

德阳五中高2025级高一上学期9月月考数学试题 本试卷共4页，共19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出后可判断的关系. 【详解】由集合，， 得． 又因为集合，所以．故选C． 【点睛】判断两个集合是否具有包含关系，只需根据子集的定义检验即可，此类问题为容易题. 2. 已知命题：“”，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式，验证选项选出答案即可. 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知， 命题：“”的否定是， 选项B正确. 故选：B. 3. 已知集合满足，那么这样的集合的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 当时， C. 当时，的最小值为2 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断. 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 5. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 “存在，使得”为真命题，可得，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出. 【详解】解：因为“存在，使得”为真命题， 所以， 因此上述命题得个充分不必要条件是. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 6. 已知下列四个命题： （1）若 ； （2）若，则 ； （3）若 ； （4）若，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质和作差法依次判断选项即可. 【详解】对于(1)，由，得， 由不等式的性质知，，故命题(1)正确； 对于(2)，由知，，由不等式的性质知，，故命题(2)正确； 对于(3)，， 若同号，由得， 若异号，由得，故命题(3)错误； 对于(4)，由，得，则，故命题(4)正确. 故选：C. 7. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，，故可得不等式的解集中的三个整数为，据此可求参数的取值范围. 【详解】设，则， 故的解集中有整数1，而， 故不等式的解集中的三个整数为，故， 所以，故， 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合可求. 【详解】， 因，则， 若，则为空集，符合题意； 若，则，则或，得或， 综上，实数的值为或或. 故选：ABC 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 若不等式的解集为，则 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由特称命题的否定可判断选项正误；对于B，由基本不等式可判断选项正误；对于C，由二次不等式与二次方程关系结合韦达定理可判断选项正误；对于D，由必要，充分条件定义可判断选项正误. 【详解】对于A，“，使得”的否定是“，都有，故A正确； 对于B，由基本不等式，，当且仅当， 即时，取等号，故B正确； 对于C，不等式的解集为， 则的根为，由韦达定理， ，则，故C正确. 对于D，时，可得，，可得或， 则，得不到，则“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：ABC 11. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 已知，，则 D. 已知，若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解AB，利用整体法，结合不等式的性质求解C，利用作差法即可求解D. 【详解】对于A,由，故，故A错误， 对于B，由于，所以， 又，所以， 又，故，故， 因此，故B错误， 对于C,由于，结合，， 则，故C正确， 对于D, ，由于，， 故，即，故D正确， 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 定义集合运算：.已知集合，则集合有______个真子集. 【答案】15 【解析】 【分析】根据题中定义，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，则集合有个真子集. 故答案为：15 13. 疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为___________. 【答案】29 【解析】 【分析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C，设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，作出维恩图求解即可. 【详解】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C， 设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为， 根据题意可作维恩图如图： 依题意必有均为自然数， 所以，， 故这三天参加的志愿者总人数为： 当时，总人数最少，最少人数为. 故答案为：29. 14. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的性质即可求解. 【详解】记，则在上恒成立 故且，解得， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，15题13分，16题、17题每题15分，18题、19题每题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 比较下列两个代数式的大小 （1）和 ； （2）已知， 和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法和配方法来判断大小即可； （2）利用作差法和因式分解，再来判断大小即可. 【小问1详解】 由， 则，当且仅当时取等号； 【小问2详解】 由， 因为，所以， 又因为，所以， 即有， 则有. 16. 求下列各式的最值 （1）已知，求的最大值. （2）当时，求的最大值； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可 【小问1详解】 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 【小问2详解】 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为； 17. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或；（2） 【解析】 【分析】（1）先由求出集合，再根据集合间的基本关系计算即可. （2）由“”是“”的充分不必要条件，即可得出，再根据集合间的基本关系计算即可. 【详解】解：（1）， ， 或， 或， ， 或； （2）是的充分不必要条件， ， 若是空集，则， 解得：， 若不是空集， 即：或 ， 解得：. 综上所述：. 【点睛】易错点点睛：当时，易忽略是空集的情况. 18. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 （2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损 【解析】 【分析】（1）每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本； （2）写出该单位每月的获利关于的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答. 【小问1详解】 由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； 【小问2详解】 该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 19. 设函数， （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集． （3）若，，，求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，． （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集与一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求解； （2）把不等式转化为，对进行分类讨论，求出不同情况下的解集； （3）把不等式进行变形，再利用基本不等式进行求解. 【小问1详解】 由不等式的解集为可得： 方程的两根为1，3且， 由根与系数的关系可得：，，所以 【小问2详解】 由得， 又因为，所以不等式 化为，即， 当时，原不等式变形为，解得 当时，，原不等式． 若，原不等式． 此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故 当时，不等式的解为； 当时，，不等式或； 当时，，不等式或 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 【小问3详解】 由已知得，，又则 当且仅当，即时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳五中高2025级高一上学期9月月考数学试题 本试卷共4页，共19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：“”，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合满足，那么这样的集合的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 当时， C. 当时，的最小值为2 D. 当时， 5. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知下列四个命题： （1）若 ； （2）若，则 ； （3）若 ； （4）若，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 3 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 若不等式的解集为，则 D. “”是“”的必要不充分条件 11. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 已知，，则 D. 已知，若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 定义集合运算：.已知集合，则集合有______个真子集. 13. 疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为___________. 14. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____ 四、解答题：本大题共5小题，15题13分，16题、17题每题15分，18题、19题每题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 比较下列两个代数式的大小 （1）和 ； （2）已知， 和. 16. 求下列各式的最值 （1）已知，求的最大值. （2）当时，求的最大值； 17. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 18. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 19. 设函数， （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集． （3）若，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $