精品解析：江西省景德镇市乐平市第三中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章预备知识. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的非空真子集共有（ ）个 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先化简A合，再求解即可. 【详解】， 所以所求非空真子集共有个. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【详解】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 3. 命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出答案即可. 【详解】因为命题“”是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，为“”. 故选：C 4. 使不等式成立的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断． 【详解】， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 6. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件作出图，根据图分析喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数. 【详解】根据条件作出图如下： 根据条件可知：喜欢运动的人有人，喜欢篮球和乒乓球的人一共有人， 所以既喜欢篮球也喜欢乒乓球的人数为人， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人， 故选：C. 【点睛】本题考查利用图解决集合中的容斥定理问题，主要考查学生对图的理解，难度较易. 7. 关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得一元二次不等式的解集，结合端点的大小列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，即不等式的解集为，显然不成立， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：C. 8. 若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义判断A；根据全称命题的否定判断B；根据必要不充分条件的定义判断C，D. 【详解】解：对于A，“”“”， 由不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意，则”的否定是“存在，则，故B正确； 对于C，当“且”成立，则“”成立， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，故C错误； 命题：且，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值可判断A；配方法求最值可判断B；应用基本不等式“1”的代换求最值可判断C；常量分类再利用的范围可判断D. 【详解】对于A：，由，则，当且仅当时,等号成立，故A错误； 对于B：因为，，所以， 由，所以当时，有最小值，故B正确； 对于C：由， 当且仅当即，时,等号成立，故C错误； 对于D：由，因为，所以， ，可得，所以，故D正确. 故选： BD. 11. 定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别计算，，判断B选项是否正确，然后计算与，判断D选项是否成立. 【详解】∵，，故A正确； ∵定义且， ∴，，故B正确； ，故C错误； ，所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题．解答时，根据题意化简集合，然后结合新定义计算法则计算即可得出答案． 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两集合相等，其中元素相等，结合集合的确定性、互异性，分析即可得答案. 【详解】由，则两集合的元素相等， 由，可得，即， 所以，解得或1， 当时不满足互异性，故舍去， 或，解得（舍）， 所以. 故答案为： 13. 若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据x的范围，可得y的范围，由题意即可，代入计算，即可得答案. 【详解】令， 因为，所以，则， 由恒成立，得的最小值， 又， 所以，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 14. 下列命题中： ①若，则的最大值为； ②当时，； ③的最小值为； ④当且仅当均为正数时，恒成立. 其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号) 【答案】①② 【解析】 【分析】根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】①若，则的最大值为 ，正确 ②当时， ，时等号成立，正确 ③的最小值为， 取 错误 ④当且仅当均为正数时，恒成立 均为负数时也成立. 故答案为① ② 【点睛】本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，集合，． （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数a的取值构成的集合． 【答案】（1），或或； （2） 【解析】 【分析】（1）进行交集、并集和补集的运算即可； （2）根据即可得出，解出的范围即可． 【小问1详解】 ，， ，或， 或或； 【小问2详解】 ，且，则，解得， 实数的取值构成的集合为 16. 设全集，集合，非空集合 （1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，从而列出不等式组，进而可求得实数的取值范围； （2）根据求解即可. 【小问1详解】 因为是的充分条件， 所以， 又，即，解得. 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题“，则”是真命题，故. 因为，且， 所以，解得； 综上所述，实数的取值范围. 17. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. （1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值． 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小，最小值为7万元 【解析】 【分析】（1）表达出，从而得到不等式，求出，得到答案； （2）利用基本不等式求出最小值，并得到等号成立的条件，即x的值. 【小问1详解】 由题意得， 令即， 整理得：， 即， 解得， 所以设备占地面积x的取值范围为； 【小问2详解】 ，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以设备占地面积为时，y的值最小，最小值为7万元. 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围； （3）求关于不等式：的解． 【答案】（1） （2） （3）当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式可得答案. （2）分类讨论，结合二次不等式的解集求参数的取值范围. （3）分类讨论，解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 当时， . 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式. 若即，不等式可化为，恒成立； 若即，由得解集为， 所以. 综上.所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 由 若，则不等式可化为； 若，则不等式可化为； 若，则不等式可化为. 当即时，不等式的解为或； 当即时，不等式的解为； 当即时，不等式的解为或. 综上：当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 19. 已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3）中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 【答案】（1）； （2）不存在这样的，理由如下： 假设集合是仅含一个元素的单元素集合， 则，即：， 由于，故该方程无解， 所以不能是仅含一个元素的单元素集； （3）是，证明：因为，，则，则， 所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可. 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等. 所以集合中含元素个数一定是个. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，故； （2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案； （3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可. 【详解】（1）因为若，则，， 所以，，， 所以. （2）不存在这样的，理由略； （3）是，证明略. 【点睛】本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章预备知识. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的非空真子集共有（ ）个 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知集合，，则（ ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 3. 命题，则是（ ） A. B. C. D. 4. 使不等式成立的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 7. 关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（    ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 已知实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 11. 定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则_______． 13. 若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_______． 14. 下列命题中： ①若，则的最大值为； ②当时，； ③的最小值为； ④当且仅当均为正数时，恒成立. 其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，集合，． （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数a的取值构成的集合． 16. 设全集，集合，非空集合 （1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 17. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. （1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值． 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围； （3）求关于不等式：的解． 19. 已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3）中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $