精品解析：山东省青岛市市南区青岛超银中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度第一学期阶段学习成果质量反馈 九年级数学学科 (考试时间：120分钟；满分120分) 本试题共三道大题，含24道小题．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．其中，选择题要求用2B铅笔正确涂写在“客观题答题区”． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. 2x+1=0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，依次判断四个选项，即可求解，本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是：明确一元二次方程判定的三个关键点，未知数的数量，未知数的最高次数，整式方程． 【详解】解：、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； 、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； 、分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：． 2. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，多边形的周长等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质得到，（），（），，根据勾股定理得到（），根据多边形的周长即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， （）， （）， ， 在中，根据勾股定理，可得： （）， 菱形的周长 （）， 故选：． 3. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∵原方程为， ∴是原方程的一个近似解， 故选：D． 4. 如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形AECF是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF， 又∵点E、F为线段BD的两个三等分点， ∴BE＝FD， ∴BO＝OD， ∵AO＝OC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形； ∵四边形AECF为菱形，且周长为20， ∴AE＝5， ∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点， ∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4， 由勾股定理得，AO＝＝＝3， ∴AC＝2AO＝2×3＝6， ∴S四边形ABCD＝BD•AC＝×24×6＝72； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键． 5. 如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，用含x的式子表示出的长，矩形的面积等于长乘宽，由此可得答案． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 故， 故选B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 一组邻边相等的平行四边形是矩形 C. 菱形有四条对称轴 D. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质和正方形的判定逐一分析即可． 【详解】A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形），故错误； B．一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误； C．菱形有两条对称轴，故错误； D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故正确． 故选：D． 【点睛】此题考查的是四边形的综合题，掌握平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质和正方形的判定是解决此题的关键． 7. 秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选D． 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质．根据，可以求得的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的度数为， 故选：D． 9. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可． 试题解析：分两种情况： （1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程， 得：32-12×3+k=0 解得:k=27 将k=27代入原方程， 得：x2-12x+27=0 解得x=3或9 3，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去； （2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0， 此时：144-4k=0 解得：k=36 将k=36代入原方程， 得：x2-12x+36=0 解得：x=6 3，6，6能够组成三角形，符合题意． 故k的值为36． 故选B． 考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解． 10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB延AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF；③FC∥AG；④S△GFC=14.4；其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】选项①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．选项②错误．可以证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．选项③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．选项④正确．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可． 【详解】解：如图，连接DF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°， 由折叠可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF， ∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF， ∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL）， ∴∠GAF=∠GAD， ∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确， 设GD=GF=x， 在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2， ∴(4+x)2=82+(12-x)2， ∴x=6， ∵CD=BC=BE+EC=12， ∴DG=CG=6， ∴FG=GC， 易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误， ∵GF=GD=GC， ∴∠DFC=90°， ∴CF⊥DF， ∵AD=AF，GD=GF， ∴AG⊥DF， ∴CF∥AG，故③正确， ∵S△ECG=×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2， ∴FG：EG=3：5， ∴S△GFC=×24==14.4，故④正确， 故①③④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若关于x的方程x2＋ax﹣2＝0有一个根是﹣1，则另一个根是____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出另一根即可． 【详解】解：∵关于x的方程x2＋ax﹣2＝0有一个根是﹣1，设另一根为m， ∴﹣1×m＝﹣2， 解得：m＝2， 则另一根为2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则，． 12. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据医院二次方程的定义和根的判别式的定义得到，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：且． 13. 如图所示，已知矩形的对角线与相交于点O，于点E，且，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．先证明是线段的垂直平分线，推出是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 15. 如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接AP，如图所示， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE＝AB＝3， 由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°， ∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°， 在Rt△AFP和Rt△ADP中， ， ∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL）， ∴PF＝PD， 设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x， 在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2， ∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 16. 如图，点是线段上的动点，cm，°，°，连接是线段的中点，连接，则的最小值是________cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知条件可得、 、都是直角三角形，设，由30度直角三角形性质和勾股定理可得，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而可得，由二次函数的最值求出的最小值． 【详解】解：∵°，°， ∴， ∴，，， 设，则， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵在中，是线段的中点， ∴， ∴，即：， ∴当时，取最小值为， 此时取最小值， 故答案为：． 三、解答题 17. 如图，已知：线段和．求作：菱形，使对角线，． 【答案】 解：如图，菱形即为所求，使对角线，． 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与作图，先画作一个角，再作的角平分线与以为圆心长度为半径的弧交于点，再作的垂直平分线与的两边分别交于，，连接四边形，则四边形为菱形． 【详解】略 18. 解方程 （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】（）利用公式法求解即可； （）利用配方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； （）利用公式法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，； 【小问3详解】 解： 或 ∴，； 【小问4详解】 解：由， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 19. 如图，矩形中，与相交于点．若，，求矩形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形为矩形，得出，，又因为，则，利用勾股定理求出，最后求出面积即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等，矩形的对角线相等且互相平分，题目比较典型，难度适中． 【详解】解: 四边形为矩形， ，， ， ， 在中，， ， ， 矩形的面积是． 20. 聚焦“书香青岛”品牌建设，我市持续推进全民阅读．在年开展“阅动山东·书行青岛”读书月活动前夕，书店购进大量书签，一种书签平均每天可售出张，每张赢利元．为了尽快减少库存，书店老板决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种书签的售价每降价元，那么平均每天可多售出张．老板要想平均每天赢利元，每张书签应降价多少元？ 【答案】每张书签应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每张书签应降价元，则每张盈利元，平均每天可售出张，利用总利润每张的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】解∶设每张书签应降价元，则每张盈利元，平均每天可售出张， 根据题意得∶． 整理得∶． 解得， 又∵要尽快减少库存， ∴ 答∶每张书签应降价元． 21. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ （2） 选择条件①，四边形为矩形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克元的价格收购了千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为元； ④这批苹果最多保存天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． （1）多少天后这批苹果的市场价为每千克元? （2）求天后一次性全部售出所得的利润为多少元? （3）若天后一次性出售所得利润为元，求的值． 【答案】（1）天 （2）元 （3）天 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系列出一元二次方程是解题关键． （1）设存放天后按当天价格一次性出售，利用销售价格储存时间，即可求出结果； （2）利用利润销售单价销售数量冷藏费用总成本，进行计算即可； （3）利用利润销售单价销售数量冷藏费用总成本，可得关于的一元二次方程，进行计算，再根据题意进行取舍即可． 【小问1详解】 解：设存放天后按当天价格一次性出售， 根据题意，天后这批苹果的市场价为每千克元， ， 解得：， 答：天后这批苹果的市场价为每千克元； 【小问2详解】 天后的价格为：（元）， 天要损坏的苹果有（千克）， 天的冷藏费用为（元）， 天后一次性全部售出所得的利润： （元）， 答：天后一次性全部售出所得的利润为元； 【小问3详解】 天后的价格为：（元）， 天要损坏的苹果有（千克）， 天的冷藏费用为（元）， ， 整理得：， ， ，， 批苹果最多保存天， ． 23. 【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，D是的边上的一点．若，则__________； （2）如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【小问1详解】 解：如图，过点A作AE⊥BC， 则， ∵AE=AE， ∴． 【小问2详解】 解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 24. 已知：如图，在中，，，．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点．同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为（），解答下列问题： （1）当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）当为何值时，； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值； （4）当为何值时，为等腰三角形？请直接写出答案． 【答案】（1）； （2）； （3）当的值为或时，； （4）当为或或时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（）先由勾股定理求出，由四边形为平行四边形得，即，则，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可； （）当，则，证明，根据性质得，然后代入求值即可； （）过作交于点，则，根据性质得，代入得，然后由，，，则，然后解方程即可求解； （）分三种情况当时，当时，当时，再根据勾股定理和相似三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 如图，由题意得，，，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在某一时刻，使，理由如下： 如图，过作交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得得，，，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，整理得：， 解得：，， ∴当的值为或时，； 【小问4详解】 解：如图，当时，过作交于点， 同理， ∴， 由（）得得，，，则， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 解得：； 如图，当时，过作交于点， 同理可得：，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， 综上：当为或或时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期阶段学习成果质量反馈 九年级数学学科 (考试时间：120分钟；满分120分) 本试题共三道大题，含24道小题．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．其中，选择题要求用2B铅笔正确涂写在“客观题答题区”． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. 2x+1=0 C. D. 2. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形周长为（ ） A. B. C. D. 3. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 4. 如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 144 5. 如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 一组邻边相等的平行四边形是矩形 C. 菱形有四条对称轴 D. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 7. 秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB延AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF；③FC∥AG；④S△GFC=14.4；其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若关于x的方程x2＋ax﹣2＝0有一个根是﹣1，则另一个根是____． 12. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______． 13. 如图所示，已知矩形的对角线与相交于点O，于点E，且，则______． 14. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 15. 如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________． 16. 如图，点是线段上的动点，cm，°，°，连接是线段的中点，连接，则的最小值是________cm． 三、解答题 17. 如图，已知：线段和．求作：菱形，使对角线，． 18. 解方程 （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）； （4）． 19. 如图，矩形中，与相交于点．若，，求矩形的面积． 20. 聚焦“书香青岛”品牌建设，我市持续推进全民阅读．在年开展“阅动山东·书行青岛”读书月活动前夕，书店购进大量书签，一种书签平均每天可售出张，每张赢利元．为了尽快减少库存，书店老板决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种书签的售价每降价元，那么平均每天可多售出张．老板要想平均每天赢利元，每张书签应降价多少元？ 21. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 22. 为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克元的价格收购了千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为元； ④这批苹果最多保存天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． （1）多少天后这批苹果的市场价为每千克元? （2）求天后一次性全部售出所得的利润为多少元? （3）若天后一次性出售所得利润为元，求的值． 23. 【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，D是的边上的一点．若，则__________； （2）如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 24. 已知：如图，在中，，，．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点．同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为（），解答下列问题： （1）当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）当为何值时，； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值； （4）当为何值时，为等腰三角形？请直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $