培优点2 平面向量中的范围与最值问题（8大题型）讲义-2026年新高考数学大一轮复习之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

培优点2 平面向量中的范围与最值问题 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 6 题型一：定义法 6 题型二：基底法 6 题型三：万能建系法 8 题型四：极化恒等式 8 题型五：等和线、等差线、等商线 9 题型六：矩形大法、平行四边形大法 10 题型七：三角向量不等式法 11 题型八：向量投影法 12 04 课时精练 13 平面向量中的范围与最值问题是高考热点与难点，常涉及向量的模、数量积、夹角等。解题关键在于建立函数关系或利用数形结合，常用方法有定义法、坐标法、基底法及几何意义法，需灵活运用二次函数、不等式等知识求解。 技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 （2）坐标法 第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步：将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 技巧二．极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得： ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 技巧三．矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：． 技巧四．等和线 1、向量等和线的定义 给定一组基底，则平面内的任一向量都唯一分解，记为． 若点在直线上或在平行于的直线上，则为定值，反之也成立，我们把直线及与直线 平行的直线称为等和线． 如图（其中为与平行的直线，点在上，交于点，分别为与的交点） 注意：等和线的位置影响的取值： （1）当等和线恰为直线时，； （2）当等和线在点和直线之间时，； （3）当直线在点和等和线之间时，； （4）当等和线过点时，； （5）当等和线与直线在点的两侧时，； 解题关键：先找到系数和等于1的等和线，把它和基底起始点的距离定义为1倍远，看目标等和线的远近和方向，离起始点越远，值的绝对值越大，几倍远，的绝对值就是几，正负由方向决定． （方向定正负，倍数定值）． 2、向量等和线的证明 如图，已知点在与平行的直线上，且． 记直线与直线相交于点，因为三点共线，所以存在实数使得， 则根据向量共线定理可知，记（定值）， 则，于是，当点在直线上运动时，始终有 ，于是恒成立． 技巧五．平行四边形大法 1、中线长定理 2、平行四边形大法 技巧六．向量对角线定理 题型一：定义法 【例题1】已知向量满足，，则的最小值与最大值的和是（    ） A． B． C． D．4 【例题2】已知平面向量满足，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是两个非零向量，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（    ） A．为定值16 B．为定值32 C．最大值为32 D．与的位置有关 【变式3】（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型二：基底法 【例题3】在中，，,点为的中点，点为的中点，若，则的最大值为 ． 【例题4】（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示 ；若，则的最小值为 . 【变式4】（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5】如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：万能建系法 【例题5】在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 【例题6】已知平面向量满足，则的最小值是 ． 【变式6】在中，.P为所在平面内的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7】（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 题型四：极化恒等式 【例题7】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【例题8】已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式8】已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式9】（多选题）（2025·黑龙江大庆·模拟预测）圆的相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（   ）    A．当时，面积的最大值为 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．当时，四边形面积的最大值为8 题型五：等和线、等差线、等商线 【例题9】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆为圆上任一点，若，则的最大值为 ． 【例题10】（2025·浙江宁波·二模）已知矩形中，，，动点、分别在射线、上运动，且满足.对角线交于点，设，则的最大值是 . 【变式10】已知点在以为圆心的圆弧上运动，，．若，其中，则的最大值是 ． 【变式11】如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 题型六：矩形大法、平行四边形大法 【例题11】已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ． 【例题12】如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________. 【变式12】如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________. 【变式13】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型七：三角向量不等式法 【例题13】（2025·高三·浙江金华·开学考试）已知向量满足，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【例题14】（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式14】已知平面向量满足，．若对任意平面向量都有成立，则实数的最大值是（    ）． A． B．1 C． D．2 【变式15】已知向量满足，，若对任意实数都有，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 题型八：向量投影法 【例题15】已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例题16】已知，是半径为2的圆上的两点，动点满足，则的最小值为（   ） A． B． C．－1 D．－2 【变式16】已知在直角梯形中，，，，，设是的中点，是梯形内或边界上的一个动点，则的最大值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 1．已知向量，，其中，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．在中，，D为所在平面内的动点，且，则最小值为（   ） A． B． C． D． 3．设圆的半径为为圆上的动点，且圆心到弦的距离为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 4．已知非零向量满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知向量，，，，对于任意的向量，都有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（    ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的边上有一点，边上有一点（，不与顶点重合）且，若是边长为的等边三角形，则的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知点A、B、P在上，则下列命题中正确的是（    ） A．，则的值是 B．，则的值是 C．，则的范围是 D．，且，则的范围是 9．已知在中，，若的最小值是2，则对于内一点的最小值是 ． 10．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ． 11．已知平面向量、、、，且，若，，则的最小值为 . 12．若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时， ． 13．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 . 14．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 . 15．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为 . 16．2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．贴窗花是春节的常见习俗，如图①是一种窗花，可将其视为如图②的正八边形，已知是其边上任意一点，，则的最大值为 ．    17．设向量，，满足，，，则的最大值为 ． 18．（2025·高三·江西南昌·期中）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ． 19．已知梯形ABCD中，,，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为 . 20．、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是 ． 21．已知和是互相垂直的两个单位向量，且，则的最大值为 ． 22．若，，，则的最大值是 . 23．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为 ． 24．已知，且关于x的函数在R上有两个极值，则向量与的夹角的范围是 ． 25．（2025·甘肃·一模）已知单位向量满足，则的范围是 . 26．（2025·重庆·三模）已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是 ． 27．（2025·高三·上海宝山·期末）已知半径为3和5的两个圆和内切于点，点分别在两个圆和上，则的范围是 28．已知，，则的范围是 . 29．（2025·河南新乡·二模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座，，点P为摩天轮的座舱，则的范围为 ． 30．若向量满足，且对任意的单位向量，求的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $培优点2平面向量中的范围与最值问题 目录 01重点解读 02思维升华… 3 0仍典型例题… 6 题型一：定义法 6 题型二：基底法 题型三：万能建系法…。 12 题型四：极化恒等式 16 题型五：等和线、等差线、等商线 19 题型六：矩形大法、平行四边形大法 23 题型七：三角向量不等式法 26 题型八：向量投影法… 28 04课时精练 4,3] 1/49 01 重点解读 平面向量中的范围与最值问题是高考热点与难点，常涉及向量的模、数量积、夹角等。解题关键在于 建立函数关系或利用数形结合，常用方法有定义法、坐标法、基底法及几何意义法，需灵活运用二次函数、 不等式等知识求解。 2/49 02 思维升华 技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法： (1)定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 (2)坐标法 第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步：将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 (3)基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 (4)几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 技巧二.极化恒等式 (1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： D 1a+b2+1a-bP=20a2+1b2) (2)极化恒等式： 上面两式相减，得： a+-(a-] ①平行四边形模式：a-6=[4C-D8】 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方 3/49 差的1 ②三角形模式：a-万=AM-D8(aM为BD的中点) B 技巧三.矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等己知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点， 证明：0A2+0C2=0B2+0D2. 技巧四.等和线 1、向量等和线的定义 给定一组基底{OA,OB},则平面内的任一向量OP都唯一分解，记为OP=10A+uOB(2,u∈R). 若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则入+H=k为定值，反之也成立，我们把直线AB及与 直线 AB平行的直线称为等和线. 如图k= OP OA OB (其中I为与AB平行的直线，点P在1上，OP交AB于点Q,A,B,分别 09 OA OB 为OA,OB与I的交点) 注意：等和线的位置影响k的取值： (1)当等和线恰为直线AB时，k=1: (2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，)： (3)当直线AB在点0和等和线之间时，k∈(1，+o): (4)当等和线过点0时，k=0: (5)当等和线与直线AB在点O的两侧时，k<0: 解题关键：先找到系数和等于1的等和线，把它和基底起始，点的距离定义为1倍远，看目标等和线的 远近和方向，离起始点越远，k值的绝对值越大，几倍远，k的绝对值就是几，正负由方向决定 (方向定正负，倍数定k值)· B 4/49 2、向量等和线的证明 如图，已知点P在与AB平行的直线I上，且OP=1OA+μOB(2,4∈R). 记直线OP与直线AB相交于点Q,因为A,Q,B三点共线，所以存在实数入'，使得 00=2'0A+u'0B, 则根据向量共线定理可知心+4=1，记OP-O4=k(定值)， 00 OA 则OP=kO0=k2'OA+kμ'OB,于是入+H=k2'+k知=k,当点P在直线1上运动时，始终有 OP_O4=k,于是元+4=k恒成立. 00 OA 技巧五.平行四边形大法 1、中线长定理 2id=hug+o-Dgr 2、平行四边形大法 +cf-P)c 2 技巧六.向量对角线定理 AC.BD=(AD'+BC)-(4B'+CD) 5/49 03 典型例题 题型一：定义法 【例题1】已知向量a,满足d=1,=2,则a++a-的最小值与最大值的和是() A.4-25 B.4+2V5 C.25 D.4 【答案】B 【解析】设向量a,b的夹角为日，则ab=a5cos0=2cos0, 可得a-=Va-6}=va2+62-2a-6=5-4cos6, a+=a+=Va++2a.6=5+4o0, 则a+万+la-=v5+4cos0+5-4cos0, 令y=√5+4cos0+5-4c0s0,可得y2=10+2W25-16cos20∈[16,20]， 则(a+6+a-列=25，(（a+6+a-6列=4， 即a++ā-的最小值与最大值的和是4+25 故选：B 【例题2】已知平面向量ā，6，c满足=4，==2，a6=4,则(a+c)-c的最大值为() A.6 B.25+4 C.2W6+2 D.45 【答案】D 【1oa-的支列e,右可-号 a.b41 则可设a=(4,0),万=1,5)，c=(2cos0,2sin0)(0≤0<2x, ..(a+E)(B-@)=(4+2cos0,2sin0)(1-2cos0,3-2sin0) =4-6cos0-4eos0+25sn0-4sin20=25sn0-6cos0=45sin0-）, 则当0-骨受，即0-爱时，s如0-司副取得最大值1， 此时（ā+c)(6-c取得最大值4V5 6/49 故选：D 【变式1】已知a,3是两个非零向量，且a-=a-36=2,则a-2+的最大值为() A.√2 B.2W2 C.32 D.2 【答案】B 【解析】由题意，令a-26=m,方=n,所以m-=a-36=2,m+=ā-=2， 所以m-=m+,由向量加法、减法的几何意义可得m上， 所以m+=m+=4, 所以a-26+5=m+≤V2(m+）=2W2，当且仅当网=同=V2,且m1n时取等号， 所以ā-26+的最大值为22 故选：B 【变式2】(2025·黑龙江大庆·一模)如图，在等腰ABC中，AB=AC=5,BC=6,点P是边BC上的 动点，则APAB+AC)() A.为定值16 B.为定值32 C.最大值为32 D.与P的位置有关 【答案】B 【解析】如图，取BC的中点为D,连接AD, B P D 因为ABC为等腰三角形，所以AD⊥BC,又AB=AC=5,BC=6, 所以AD=√52-32=4 所以AP.(AB+AC)=2AP.AD=2 APADcos∠PAD=2AD=32 所以APAB+AC为定值32 故选：B 7/49 【变式3】(2025·北京丰台·一模)在平行四边形ABCD中，E为边BC上的动点，O为△ABD外接圆的 圆心，2D6=DA+DB,且DO=DA=2,则DO.DE的最大值为() A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】由2DO=DA+DB可知O为AB的中点，又因为O为△ABD外接圆的圆心， 所以△ABD为直角三角形，DA⊥DB,所以DADB=O, 又因为DO=DA=2所以AB4所以DB=25, 又因为E为边BC上的动点，所以BE=入BC,2[O,1 DO-DE-(DA+DB)(DB+BE)-(DA+DB)(DB+ABC) =0i+00s-0=06-An)-p-AD4 25-4)=02-40=6-22, 因为2∈[0,1]，所以-21∈[-2,0]即6-2e[4,6] 所以DODE的最大值为6 故选：C 题型二：基底法 【例题3】在ABC中，∠A=60°， BC=3,点D为AB的中点，点E为CD的中点，若BF=!BC,则 2 AE.AF的最大值为一， 【答案】 39 【解析】 E A B 如图，设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 8/49 因点D为AB的中点，点E为CD的中点，BF=BC,∠A=60, 则征=（而+0）=西+C, 2 F=6+F-而+号c=6+c-号亚+4C. 则亚亚=丽+号0丽+0若丽+高丽c+名c 12 6 因BC=3,由余弦定理，b2+c2-2 be cos60°=a2=9,即b2+c2=9+bc, 于是正不-言9+o+4c=子c, 33 6 28 因b2+c2=9+bc≥2bc,可得bc≤9，当且仅当b=c=3时等号成立， 此时f-3+3bcs x939 3,3 28 28 8 即当b=c=3时，4E4的最大值为 故答案为： 39 【例题4】(2025·天津河北·二模)如图，已知矩形ABCD的边AB=3,AD=2,点P,Q分别在边BC, CD上.若BP=PC,C0=2QD,则用AB和AD表示PQ=;若∠PAQ=45°，则AP·AQ的最小值为 0 B 【答案】 2B+14D12(V2- 3 【解析】由BP=PC,C0=2QD,则BP=BC=AD,QD=CD=BA, 由PQ=40-AP=(D+D0-(B+B的=A0+写4-B-4D=号4B+号D, 若Z☑BP=8G0e且ann人入e(学，o3径，则ZDi08 6’41 所以aP卡3,1A0非2 cos0 cos(-0) 9/49 所以MP:A0-AP‖A01osPA0=3 2 x 6 cos0 cos(0)2 cos0+sin0 cos0 6 12 cos20+1 sin20= 2m28++1:而20+子∈[经2p+ ππ 2 2 44 420+42 4 所以PA0的最小值为2+ 12 =12W2-0 政答案为知号丽+号0：15- 【变式4】(2025·上海黄浦·三模)设0x、0y是平面内相交成a(0<a<π)的两条射线，e、6分别是 与Ox、0y同向的单位向量，定义平面坐标系x0y为α一仿射坐标系，在a-仿射坐标系中，若 OP=xG+,则记OP=(x川.已知在如图所示的牙仿射坐标系中，B、C分别在轴、y轴正半轴上， 且BC=2,点D、E、F分别为OC、BD、BC的中点，则OE.OF的最大值为(） B A.V74+9 B.V74+8 C.74-9 D. V74-9 4 5 5 4 【答案】A 解折】由题意，66上G,6)则G色861os1分 设0B=me,0C=ne,则BC=0C-OB=ne-me1, BCP=(ne;-me )2=n2e-2mnee;+me=m2+n-2mn=4, 2 →2 +=4，不笏设m-号0=20：a=2sm0期=2co0+3血0 2 整理得：(m- 2 因点D、F分别为OC、BC的中点， 则o0-0c-56.0r-06+20c-受9+5， 同理可得0E-08+0-g+5, 2 2 放o呢.0F-停+3-受+号9-g0mg+3nm6+w8） 2 …2 8 10/49