21.2二次根式的乘除知识归纳与题型突破2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级上册

21.2二次根式的乘除知识归纳与题型突破2025-2026学年 华东师大版九年级上册 知识归纳： 知识点一：二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: 　　（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 知识点二：二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。 要点诠释： 　　(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. 　　(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质: 　　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 要点诠释： 　　运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 知识点三：最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 题型突破： 题型一：最简二次根式的判断 1．下列根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2.下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 3.下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.在、、、中最简二次根式是 ． 5.将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 题型二：化为最简二次根式 1.化简： ； ． 2.化简： ， ． 3.化简： (1) (2) (3) 题型三：根号内、外的因式互移 1.对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 2.把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 3.求把根号外数放到根号内的值 题型四：二次根式的乘法运算 1．计算： ． 2．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 3．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型五：二次根式的乘除混合运算 1．计算∶ (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3.计算：． 4.计算：． 【答案】 21.2二次根式的乘除知识归纳与题型突破2025-2026学年 华东师大版九年级上册 知识归纳： 知识点一：二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: 　　（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 知识点二：二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。 要点诠释： 　　(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. 　　(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质: 　　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 要点诠释： 　　运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 知识点三：最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 题型突破： 题型一：最简二次根式的判断 1．下列根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 4.在、、、中最简二次根式是 ． 【答案】 5.将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 【答案】， 题型二：化为最简二次根式 1.化简： ； ． 【答案】 2.化简： ， ． 【答案】 3.化简： (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 题型三：根号内、外的因式互移 1.对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.求把根号外数放到根号内的值 【答案】 题型四：二次根式的乘法运算 1．计算： ． 【答案】/ 2．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 3．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）2；（3）；（4）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型五：二次根式的乘除混合运算 1．计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） ； （2） ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式      ． 3.计算：． 【答案】解：原式2 ． 4.计算：． 【答案】解：原式 ＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $