2.1认识实数 举一反三讲义2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

2.1认识实数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】不是有理数的数 4 【题型2】几何中的无理数 5 【题型3】无理数近似值的确定 6 【题型4】无理数的整数部分和小数部分 6 【题型5】利用“夹逼法”估计无理数大小 7 【题型6】无理数的识别 7 【题型7】无理数的分类 8 【题型8】实数定义及相关概念 9 【题型9】实数有关性质 9 【题型10】实数与数轴 10 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1.（2025•长沙模拟）下列各数中，不是无理数的是（　　） A． B． C． D．π 【知识点2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 1.（2025春•清新区期中）下列结论中正确的个数为（　　） （1）零是绝对值最小的实数；（2）数轴上所有的点都表示有理数；（3）无理数就是带根号的数；（4）的立方根为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2025•泉州模拟）下列实数中，负数是（　　） A．-2 B．0 C．1 D． 【知识点3】实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 1.（2025•平舆县三模）的相反数是（　　） A． B． C． D． 2.（2025•城区校级三模）的相反数是（　　） A． B．- C．- D． 【知识点4】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025•双塔区校级模拟）实数m,n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．|m|＜|n| B．m+n＞0 C．m-n＜0 D．mn＞0 2.（2025春•浦城县期中）如图，点A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的数紧靠着（点A与数2重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点A恰好与数轴上点A′重合．则点A′对应的实数是（　　） A．π-2 B．-π+2 C．-2π-3 D．-π-2 【知识点5】实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春•天心区校级月考）在0，-，-1，这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．- C．-1 D． 2.（2025春•昭通月考）下列实数中，最大的是（　　） A．-3 B．0 C． D． 【题型1】不是有理数的数 【典型例题】下列不是有理数的是（ ） A. B. 9.818118111811118（每两个8之间1的个数逐渐增加1） C.0.666666... D.0 【举一反三1】一个长方形面积为6，长是宽的两倍，则宽为( ) A.整数 B.分数 C.有理数 D.不是有理数 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=,BC=2,则AB的长为( ) A.整数 B.分数 C.不是有理数 D.不能确定 【举一反三3】公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,意思是一切量 都可以用整数或整数的比(分数)表示.后来,这一学派的希帕索斯发现，边长为l的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示(如图).由此引发了第一-次数学危机。这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指( ) A.正数 B.负数 C.有理数 D.无理数 【题型2】几何中的无理数 【典型例题】下列正方形的边长为无理数的是( ) A.面积为9的正方形 B.面积为16的正方形 C.面积为169的正方形 D.面积为6的正方形 【举一反三1】公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数.此正方形对角线长度为（ ） A.1 B. C. D.2 【举一反三2】已知正方形的面积为1,该正方形的下列几何量的数值中，不是有理数的是( ) A.边长 B.周长 C.面积 D.对角线 【举一反三3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【举一反三4】下列正方形的边长为无理数的是( ) A.面积为9的正方形 B.面积为16的正方形 C.面积为169的正方形 D.面积为6的正方形 【题型3】无理数近似值的确定 【典型例题】介于下列哪两个整数之间( ) A.0与1 B.1与2 C.2与3 D.3与4 【举一反三1】面积为2的正方形的边长在( ) A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 【举一反三2】介于下列哪两个整数之间( ) A.0与1 B.1与2 C.2与3 D.3与4 【举一反三3】实数n、m是连续整数，如果n＜＜m，那么m＋n的值是(　　) A.7 B.9 C.11 D.13 【举一反三4】若m是无理数，且l<m<2,请写出一个符合条件的m= 　           【举一反三5】若m是无理数，且l<m<2,请写出一个符合条件的m= 　           【举一反三6】写出一个大于2且小于4的无理数：          ． 【题型4】无理数的整数部分和小数部分 【典型例题】无理数的小数部分是( ) A.  B.2 C.  D.3 【举一反三1】无理数的整数部分是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【举一反三2】无理数的小数部分是    【举一反三3】大家知道，当 (x>0)时，x的值不是有理数,而是无理数,因此x的整数部分和小数部分我们不可能全部写出来.因为12<2<22,所以x的整数部分是1.根据以上内容,解答下面的问题:  (1)若,则x的整数部分m=     ; (2)若,则y的整数部分n=       ; (3)若m,n是一个三角形的两条边长，第三条边长是5,判断此三角形的形状. 【题型5】利用“夹逼法”估计无理数大小 【典型例题】估计的范围为( ) A.7.0和8.0之间 B.8.0和8.5之间 C.8.5和9.0之间 D.9和10之间 【举一反三1】最接近的整数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【举一反三2】整数a满足,则a的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三3】最接近的整数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【举一反三4】估计的范围为( ) A.3.5和4之间 B.4和4.5之间 C.4.5和5之间 D.5和5.5之间 【题型6】无理数的识别 【典型例题】下列说法中正确的是（　　） A.带根号的数是无理数 B.无理数不能在数轴上表示出来 C.无理数是无限小数 D.无限小数是无理数 【举一反三1】下列各数：﹣1，，1.1212212221…（每两个1之间增加1个2），﹣3.1415，，﹣0.，其中无理数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】在下列各数，π，﹣1，0.1212中，无理数是　    　． 【举一反三3】把下列各数填入相应的集合内：227，π，643，1.141 41，，|－7|，363，，. 【题型7】无理数的分类 【典型例题】下列说法正确的个数为( ) ①有理数与无理数的差都是有理数; ②无限小数都是无理数; ③无理数都是无限小数: ④两个无理数的和不一定是无理数; ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【举一反三1】下列说法正确的是( ) A.带根号的数都是无理数 B.无理数一定是无限小数 C.无限小数一定是无理数 D.无理数与无理数相加的和一定是无理数 【举一反三2】下列说法正确的是( ) A.所有无限小数都是无理数 B.无理数分为正无理数、负无理数、0 C.是分数 D.无理数与有理数的和仍是无理数 【举一反三3】下列说法正确的个数为( ) ①有理数与无理数的差都是有理数; ②无限小数都是无理数; ③无理数都是无限小数: ④两个无理数的和不一定是无理数; ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【举一反三4】下列六种说法正确的个数是( ) ①无限小数都是无理数; ②正数、负数统称有理数; ③无理数的相反数还是无理数; ④无理数与无理数的和一定还是无理数; ⑤无理数与有理数的和一定是无理数: ⑥无理数与有理数的积一定仍是无理数. A.1 B.2 C.3 D.4 【题型8】实数定义及相关概念 【典型例题】实数，，0，中，最大的数是（ ） A. B. C.0 D. 【举一反三1】下列实数是无理数的是 （） A. B. C. D. 【举一反三2】下列说法正确的是（ ） A. 整数和分数统称为有理数 B. 正数和负数统称为实数 C. 整数、有限小数和无限小数统称为有理数 D. 无限小数就是无理数 【举一反三3】下列实数是无理数的是 （） A. B. C. D. 【举一反三4】下列说法： ①一个无理数的相反数一定是无理数；②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数； ③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；④实数的倒数是． 其中，正确的说法有（       ） A.①② B.①③ C.①②③ D.①③④ 【题型9】实数有关性质 【典型例题】实数的倒数是（       ） A.23 B. C. D. 【举一反三1】的绝对值是（       ） A. B. C. D. 【举一反三2】的绝对值是（       ） A. B. C. D. 【举一反三3】下列说法中错误的是（          ） A.任何实数的绝对值都是非负数 B.不带根号的数是有理数 C.实数包括有理数和无理数 D.实数与数轴上的点之间是一一对应的 【举一反三4】的相反数是___，﹣π的绝对值是___，＝___． 【举一反三5】的相反数是______． 【举一反三6】的相反数是___，﹣π的绝对值是___，＝___． 【题型10】实数与数轴 【典型例题】如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是与和，则点所对应的实数是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三1】如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点所表示的数是（    ）    A. B.－2 C. D. 【举一反三2】如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是与和，则点所对应的实数是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三4】如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为2，若以点A为圆心，正方形的边长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E在点A左侧），则点E所表示的数为（    ）    A. B. C. D. 【举一反三5】如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 _____． 【举一反三6】如图，数轴上的点P，A表示的数分别为−1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______． 【举一反三7】如图，把一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数为        【解析】根据勾股定理得正方形对角线长， ∴OA=， 则点A对应的数是， 【举一反三8】实数，，在数轴上的位置如图所示，化简__________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1认识实数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】不是有理数的数 7 【题型2】几何中的无理数 8 【题型3】无理数近似值的确定 9 【题型4】无理数的整数部分和小数部分 11 【题型5】利用“夹逼法”估计无理数大小 12 【题型6】无理数的识别 12 【题型7】无理数的分类 14 【题型8】实数定义及相关概念 16 【题型9】实数有关性质 18 【题型10】实数与数轴 19 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1.（2025•长沙模拟）下列各数中，不是无理数的是（　　） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据无理数的定义去甄别即可． 【解答】解：A、是有理数，正确，符合题意； B、是无理数，故该项错误，不符合题意； C、是无理数，故该项错误，不符合题意； D、π是无理数，故该项错误，不符合题意； 故选：A． 【知识点2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 1.（2025春•清新区期中）下列结论中正确的个数为（　　） （1）零是绝对值最小的实数；（2）数轴上所有的点都表示有理数；（3）无理数就是带根号的数；（4）的立方根为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据“实数与数轴，无理数的定义，立方根的定义”进行一一判断． 【解答】解：零是绝对值最小的实数，故（1）正确； 数轴上所有的点都表示实数，故（2）错误； 无理数不一定是带根号的数，如π，故（3）错误； 的立方根为，故（4）错误； 综上，结论中正确的有1个， 故选：A． 2.（2025•泉州模拟）下列实数中，负数是（　　） A．-2 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类作答即可． 【解答】解：A、-2是负数，故A符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，故B不符合题意； C、1是正数，故C不符合题意； D、是正数，故D不符合题意． 故选：A． 【知识点3】实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 1.（2025•平舆县三模）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【解答】解：-的相反数是． 故选：B． 2.（2025•城区校级三模）的相反数是（　　） A． B．- C．- D． 【答案】B 【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，由此即可求解． 【解答】解：的相反数是-． 故选：B． 【知识点4】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025•双塔区校级模拟）实数m,n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．|m|＜|n| B．m+n＞0 C．m-n＜0 D．mn＞0 【答案】B 【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质解决此题． 【解答】解： A．由图可知，-2＜n＜0＜m＜4，得|m|＞|n|，那么A错误． B．由图可知，-2＜n＜0＜m＜4，得m+n＞0，那么B正确． D．由图可知，-2＜n＜0＜m＜4，得m-n＞0，那么C错误． D．由图可知，-2＜n＜0＜m＜4，得mn＜0，那么D错误． 故选：B． 2.（2025春•浦城县期中）如图，点A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的数紧靠着（点A与数2重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点A恰好与数轴上点A′重合．则点A′对应的实数是（　　） A．π-2 B．-π+2 C．-2π-3 D．-π-2 【答案】B 【分析】设点A′所对应的数为m,依题意得点A到A′的距离为硬币的周长，由此可得AA′=|2-m|=π，据此可求出m. 【解答】解：设点A′所对应的数为m, ∵硬币的直径为1个单位长度， ∴硬币的周长为1×π=π个单位长度， 又∵点A所对应的数2， 依题意得：AA′=|2-m|=π， ∵m＜2， ∴2-m=π， ∴m=2-π， ∴点A′所对应的数为2-π． 故选：B． 【知识点5】实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春•天心区校级月考）在0，-，-1，这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．- C．-1 D． 【答案】B． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵＜-1＜0＜， ∴最小的数是：． 故选：B． 2.（2025春•昭通月考）下列实数中，最大的是（　　） A．-3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】首先根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，可排除A、B选项，然后比较和的大小即可． 【解答】解：首先根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，进行判断如下： ， 故选：D． 【题型1】不是有理数的数 【典型例题】下列不是有理数的是（ ） A. B. 9.818118111811118（每两个8之间1的个数逐渐增加1） C.0.666666... D.0 【答案】B 【解析】因为整数和分数统称为有理数，是分数，所以是有理数；0.666666...是无限循环小数，属于分数，所以是有理数；0是整数，所以是有理数；9.818118111811118（每两个8之间1的个数逐渐增加1）既不是整数也不是分数，故不是有理数. 【举一反三1】一个长方形面积为6，长是宽的两倍，则宽为( ) A.整数 B.分数 C.有理数 D.不是有理数 【答案】D 【解析】由长方形面积=长宽，设宽为x，则可得，可求，不是有理数 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=,BC=2,则AB的长为( ) A.整数 B.分数 C.不是有理数 D.不能确定 【答案】B 【解析】由勾股定理得，是分数，也是有理数，故答案选B 【举一反三3】公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,意思是一切量 都可以用整数或整数的比(分数)表示.后来,这一学派的希帕索斯发现，边长为l的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示(如图).由此引发了第一-次数学危机。这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指( ) A.正数 B.负数 C.有理数 D.无理数 【答案】D 【解析】由整数或整数的比表示的数是有理数，不能用整数或整数的比表示的数是无理数 【题型2】几何中的无理数 【典型例题】下列正方形的边长为无理数的是( ) A.面积为9的正方形 B.面积为16的正方形 C.面积为169的正方形 D.面积为6的正方形 【答案】D 【解析】A面积为9的正方形的边长为3, 3是有理数,不合题意; B面积为16的正方形的边长为4， 4是有理数,不合题意; C.面积为169的正方形边长为13，13是有理数,不合题意; D面积为8的正方形中,故正方形的边长为，是无理数,符合题意; 【举一反三1】公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数.此正方形对角线长度为（ ） A.1 B. C. D.2 【答案】B 【解析】正方形的边长为1，根据勾股定理得对角线 ，既不是整数也不是分数，不是有理数，故答案为B 【举一反三2】已知正方形的面积为1,该正方形的下列几何量的数值中，不是有理数的是( ) A.边长 B.周长 C.面积 D.对角线 【答案】D 【解析】正方形的面积为1,该正方形的边长为1，周长为4,根据勾股定理得对角线 ，既不是整数也不是分数，不是有理数，故答案为D 【举一反三3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】根据勾股定理可求， , 三条边长度均为无理数，故选D 【举一反三4】下列正方形的边长为无理数的是( ) A.面积为9的正方形 B.面积为16的正方形 C.面积为169的正方形 D.面积为6的正方形 【答案】D 【解析】A面积为9的正方形的边长为3, 3是有理数,不合题意; B面积为16的正方形的边长为4， 4是有理数,不合题意; C.面积为169的正方形边长为13，13是有理数,不合题意; D面积为8的正方形中,故正方形的边长为，是无理数,符合题意; 【题型3】无理数近似值的确定 【典型例题】介于下列哪两个整数之间( ) A.0与1 B.1与2 C.2与3 D.3与4 【答案】C 【解析】因为4＜5＜9，所以2＜＜3. 【举一反三1】面积为2的正方形的边长在( ) A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 【答案】B 【解析】面积为2的正方形边长是2，因为1＜2＜4，所以1＜＜2. 【举一反三2】介于下列哪两个整数之间( ) A.0与1 B.1与2 C.2与3 D.3与4 【答案】C 【解析】因为4＜5＜9，所以2＜＜3. 【举一反三3】实数n、m是连续整数，如果n＜＜m，那么m＋n的值是(　　) A.7 B.9 C.11 D.13 【答案】C 【解析】因为n、m是连续整数，如果n＜＜m，所以n＝5，m＝6，所以m＋n＝11. 【举一反三4】若m是无理数，且l<m<2,请写出一个符合条件的m= 　           【答案】都可以，答案不唯一 【解析】因为m是无理数，且l<m<2 故， 答案不唯一 【举一反三5】若m是无理数，且l<m<2,请写出一个符合条件的m= 　           【答案】都可以，答案不唯一 【解析】因为m是无理数，且l<m<2 故， 答案不唯一 【举一反三6】写出一个大于2且小于4的无理数：          ． 【答案】任何一个都可以。答案不唯一 【解析】因为m是无理数，且2<m<4，故4<m2<16 故任何一个都可以。所以答案不唯一 【题型4】无理数的整数部分和小数部分 【典型例题】无理数的小数部分是( ) A.  B.2 C.  D.3 【答案】A 【解析】因为4＜7＜9所以2＜＜3，所以的整数部分为2,小数部分是故选A 【举一反三1】无理数的整数部分是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】因为36＜40＜49所以6＜＜7，所以的整数部分为6，故选C 【举一反三2】无理数的小数部分是    【答案】 【解析】因为9＜15＜16，所以3＜＜4，所以的整数部分为3，小数部分是 【举一反三3】大家知道，当 (x>0)时，x的值不是有理数,而是无理数,因此x的整数部分和小数部分我们不可能全部写出来.因为12<2<22,所以x的整数部分是1.根据以上内容,解答下面的问题:  (1)若,则x的整数部分m=     ; (2)若,则y的整数部分n=       ; (3)若m,n是一个三角形的两条边长，第三条边长是5,判断此三角形的形状. 【答案】（1）因为9＜40＜16所以3＜＜4，所以的整数部分为3，故m=3 （2）因为16＜17＜25所以4＜＜5，所以的整数部分为4，故n=4 （3）因为m=3，n=4，且m,n是一个三角形的两条边长，第三条边长是5， 故，根据勾股定理逆定理得这是一个直角三角形 【题型5】利用“夹逼法”估计无理数大小 【典型例题】估计的范围为( ) A.7.0和8.0之间 B.8.0和8.5之间 C.8.5和9.0之间 D.9和10之间 【答案】C 【解析】因为64<76<81所以8<<9，又因为，所以 ,故选C 【举一反三1】最接近的整数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】因为≈1.732，所以最接近的整数是2. 【举一反三2】整数a满足,则a的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】因为19<25<29所以,故a=5 【举一反三3】最接近的整数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】因为≈1.732，所以最接近的整数是2. 【举一反三4】估计的范围为( ) A.3.5和4之间 B.4和4.5之间 C.4.5和5之间 D.5和5.5之间 【答案】C 【解析】因为16<23<25所以4<<5，又因为，所以,故选C 【题型6】无理数的识别 【典型例题】下列说法中正确的是（　　） A.带根号的数是无理数 B.无理数不能在数轴上表示出来 C.无理数是无限小数 D.无限小数是无理数 【答案】C 【解析】A．带根号的数是无理数，举出反例如，故不正确 B．无理数不能在数轴上表示出来，数轴上能表示任何一个无理数，故不正确 C．无理数是无限小数 ，无理数是无限不循环小数，即无理数都是无限小数，故正确 D．无限小数是无理数 循环小数1.333…是无限循环小数，属于有理数.，故不正确 故选：C． 【举一反三1】下列各数：﹣1，，1.1212212221…（每两个1之间增加1个2），﹣3.1415，，﹣0.，其中无理数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】﹣1是整数，属于有理数； ﹣3.1415是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ﹣0.是循环小数，属于有理数； 无理数有，1.1212212221…（每两个1之间增加1个2）共2个． 故选：B． 【举一反三2】在下列各数，π，﹣1，0.1212中，无理数是　    　． 【答案】π，﹣1． 【解析】，0.1212是有理数；π，﹣1是无理数． 故答案为：π，﹣1． 【举一反三3】把下列各数填入相应的集合内：227，π，643，1.141 41，，|－7|，363，，. 【答案】解：有理数集合{227，643，1.141 41, |－7|，，363}； 无理数集合{π，363，， }． 【题型7】无理数的分类 【典型例题】下列说法正确的个数为( ) ①有理数与无理数的差都是有理数; ②无限小数都是无理数; ③无理数都是无限小数: ④两个无理数的和不一定是无理数; ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】A 【解析】①有理数与无理数的差都是有理数;有理数与无理数的差都是无理数; ②无限小数都是无理数;无理数是无限不循环小数，无限循环小数是无限小数，但不是无理数，故不正确 ③无理数都是无限小数:正确 ④两个无理数的和不一定是无理数;正确 ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.零是有理数，不是无理数，故错误 正确的是③④，共有2个正确的，故选A 【举一反三1】下列说法正确的是( ) A.带根号的数都是无理数 B.无理数一定是无限小数 C.无限小数一定是无理数 D.无理数与无理数相加的和一定是无理数 【答案】B 【解析】A.带根号的数都是无理数，是有理数，故不正确 B.无理数一定是无限小数，正确 C无限小数一定是无理数，无理数是无限不循环小数，无限循环小数是无限小数，但不是无理数，故不正确 D.无理数与无理数相加的和一定是无理数，其和可以是有理数 ，也可以是无理数是故不正确 答案为B 【举一反三2】下列说法正确的是( ) A.所有无限小数都是无理数 B.无理数分为正无理数、负无理数、0 C.是分数 D.无理数与有理数的和仍是无理数 【答案】D 【解析】A.所有无限小数都是无理数，无理数是无限不循环小数，无限循环小数是无限小数，但不是无理数，故不正确 B.无理数分为正无理数、负无理数、0，0是有理数，故不正确 C.是分数，带的都是无理数，故不正确 D.无理数与有理数的和仍是无理数，正确 【举一反三3】下列说法正确的个数为( ) ①有理数与无理数的差都是有理数; ②无限小数都是无理数; ③无理数都是无限小数: ④两个无理数的和不一定是无理数; ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】A 【解析】①有理数与无理数的差都是有理数;有理数与无理数的差都是无理数; ②无限小数都是无理数;无理数是无限不循环小数，无限循环小数是无限小数，但不是无理数，故不正确 ③无理数都是无限小数:正确 ④两个无理数的和不一定是无理数;正确 ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.零是有理数，不是无理数，故错误 正确的是③④，共有2个正确的，故选A 【举一反三4】下列六种说法正确的个数是( ) ①无限小数都是无理数; ②正数、负数统称有理数; ③无理数的相反数还是无理数; ④无理数与无理数的和一定还是无理数; ⑤无理数与有理数的和一定是无理数: ⑥无理数与有理数的积一定仍是无理数. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】①无限小数都是无理数;无理数是无限不循环小数，无限循环小数是无限小数，但不是无理数，故不正确 ②正数、负数统称有理数; 正数、0和负数统称有理数; 故不正确 ③无理数的相反数还是无理数; 正确 ④无理数与无理数的和一定还是无理数;正确 ⑤无理数与有理数的和一-定是无理数:可能是无理数，也可能是有理数， 故不正确 ⑥无理数与有理数的积一定仍是无理数.可能是无理数，也可能是有理数， 比如0乘以任何无理数都得0，0是有理数，是故不正确 故③④正确。有2个正确的，答案为B 【题型8】实数定义及相关概念 【典型例题】实数，，0，中，最大的数是（ ） A. B. C.0 D. 【答案】D 【解析】解：由题意得， 故最大的数为， 故选：D． 【举一反三1】下列实数是无理数的是 （） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】是无理数，其余都是有理数，故选A 【举一反三2】下列说法正确的是（ ） A. 整数和分数统称为有理数 B. 正数和负数统称为实数 C. 整数、有限小数和无限小数统称为有理数 D. 无限小数就是无理数 【答案】A 【解析】整数和分数统称为有理数。故A正确 正数，0和负数统称为实数，故B不正确 整数、有限小数和无限循环小数统称为有理数，故C不正确 无限不循环小数就是无理数，故D不正确 所以说法正确的是A 【举一反三3】下列实数是无理数的是 （） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】是无理数，其余都是有理数，故选A 【举一反三4】下列说法： ①一个无理数的相反数一定是无理数；②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数； ③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；④实数的倒数是． 其中，正确的说法有（       ） A.①② B.①③ C.①②③ D.①③④ 【答案】B 【解析】一个无理数的相反数一定是无理数，故①正确； 一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数，但积不一定是无理数，如0乘以无理数得0，是有理数，故②错误；一切实数都可以进行开立方运算，正确；只有非负数才能进行开平方运算，正确，故③正确； 当m=0时，m没有倒数；实数的倒数是；则说法④错误；综上，正确的说法有①③，故选：B． 【题型9】实数有关性质 【典型例题】实数的倒数是（       ） A.23 B. C. D. 【答案】D 【解析】可以根据得的倒数是；故选D． 【举一反三1】的绝对值是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】的绝对值是．故选：B．、 【举一反三2】的绝对值是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】的绝对值是．故选：B．、 【举一反三3】下列说法中错误的是（          ） A.任何实数的绝对值都是非负数 B.不带根号的数是有理数 C.实数包括有理数和无理数 D.实数与数轴上的点之间是一一对应的 【答案】B 【解析】A，任何实数的绝对值都是非负数，故说法正确， B，不带根号的数不一定是有理数，如带的数，故说法错误． C，实数包括有理数和无理数，故说法正确， D，实数与数轴上的点之间是一一对应的，故说法正确， 故说法中错误的是B． 【举一反三4】的相反数是___，﹣π的绝对值是___，＝___． 【答案】- 3 【解析】的相反数是：-，-π的绝对值是：π， =3．故答案为：-，π，3． 【举一反三5】的相反数是______． 【答案】 【解析】的相反数是∴的相反数是答案为： 【举一反三6】的相反数是___，﹣π的绝对值是___，＝___． 【答案】- 3 【解析】的相反数是：-，-π的绝对值是：π， =3．故答案为：-，π，3． 【题型10】实数与数轴 【典型例题】如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是与和，则点所对应的实数是（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∶设点所表示的数是n， ∵、两点对应的实数分别是与和， ∴， ∵，点表示的实数是，点在点的右侧， ∴ ∴， ∴， ∴点所对应的实数是． 故选∶B． 【举一反三1】如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点所表示的数是（    ）    A. B.－2 C. D. 【答案】C 【解析】根据勾股定理可求 圆的半径为：， ∵点在原点的左侧，故为负数 ∴点所表示的数为：． 故选：C． 【举一反三2】如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图： 由题意根据勾股定理得：， 设点表示的数为，则2到A的距离为 则， 解得． 即点表示的数为． 故选：． 【举一反三3】如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是与和，则点所对应的实数是（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∶设点所表示的数是n， ∵、两点对应的实数分别是与和， ∴， ∵，点表示的实数是，点在点的右侧， ∴ ∴， ∴， ∴点所对应的实数是． 故选∶B． 【举一反三4】如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为2，若以点A为圆心，正方形的边长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E在点A左侧），则点E所表示的数为（    ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】：∵正方形的面积为5， ∴， ∵原点到A的距离为2， ∴点E 表示的数即为原点到E的距离为． 故选：D 【举一反三5】如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 _____． 【答案】 【解析】由题意根据勾股定理，求得圆弧的半径长为， 因为点在表示数2的点的左侧，所以 2到点A的距离为，点表示的数是，故答案为：． 【举一反三6】如图，数轴上的点P，A表示的数分别为−1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为_______． 【答案】 【解析】在Rt△PAB中，，，∴， ∵，∴，∴点C表示的数为：．故答案为：． 【举一反三7】如图，把一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数为        【解析】根据勾股定理得正方形对角线长， ∴OA=， 则点A对应的数是， 【答案】 【解析】根据勾股定理得正方形对角线长， ∴OA=， 则点A对应的数是， 【举一反三8】实数，，在数轴上的位置如图所示，化简__________． 【答案】-b-c 【解析】由题意可得：，， ∴；故答案为：-b-c； 学科网（北京）股份有限公司 $