5.1 认识二元一次方程组 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级上册数学

本文围绕二元一次方程组的概念展开，从实际情境抽象出方程及方程组，承接一元一次方程基础，为后续解法及应用奠基。通过实例分析、练习巩固等环节，培养学生抽象、建模等数学核心素养，让学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计亮点在于紧密联系生活，采用对比、直观感知等教法。从学生层面看，提升其应用意识与思维能力；从教师角度，提供清晰授课思路；课堂效果上，有效突破概念理解等教学难点。

第五章 二元一次方程组 5.1 认识二元一次方程组 一、内容和内容解析 1. 内容： · 本节课主要引导学生从两个具有现实背景的具体情境（种植绿植、公园购票）出发，抽象出蕴含两个未知量的等量关系，建立相应的方程。通过观察、比较这些方程的特征，归纳得出“二元一次方程”的定义。进而，通过分析同一情境中两个未知量需同时满足多个等量关系，自然引出“二元一次方程组”的概念。在此基础上，理解二元一次方程（组）“解”的含义，特别是二元一次方程组“解”是其组成方程“公共解”的本质，并学习其规范表示方法。 1. 内容解析： · 本节课是本章的起始课，核心在于建立二元一次方程（组）及其解的基本概念。教材通过贴近学生生活的实际问题引入，旨在让学生体会“二元”产生的必要性——当问题中存在两个相互关联的未知量时，用一元方程解决可能不便或复杂。通过分析具体方程（， ， ， ）的共同特征（两个未知数、次数为1），抽象出二元一次方程的本质属性。进而，理解“方程组”是为了寻找同时满足多个相关条件的未知数的值而将方程联立。方程（组）“解”的概念是核心，特别是理解二元一次方程解的不唯一性与二元一次方程组解的确定性（通常为一组解），以及“公共解”的含义。这些概念是后续学习方程组解法及其应用的基础，体现了数学建模思想（从实际到数学）和方程思想（寻找未知量间的等量关系）的初步渗透。 二、目标和目标解析 1. 目标： · (1) 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解（特别是公共解）的概念。 · (2) 能根据简单实际问题中的数量关系列出二元一次方程或二元一次方程组。 · (3) 能判断一组数值是否是给定二元一次方程或二元一次方程组的解，并能规范书写解。 · (4) 体会二元一次方程（组）是刻画现实世界含有两个未知量问题的有效模型。 1. 目标解析： · 达成目标(1)：学生能准确识别二元一次方程（两个未知数，项的次数为1），能举例说明；能识别由两个二元一次方程组成的方程组；理解二元一次方程的解是一对使方程两边相等的数，二元一次方程组的解是同时满足两个方程的一对公共解，并能用 的形式规范书写。 · 达成目标(2)：学生能分析类似课本“种植绿植”、“公园购票”、“邮票购买”、“宇航发射”、“笔记本分配”等情境中的两个主要未知量，找出反映未知量之间关系的两个关键等量关系，并用方程表示出来。 · 达成目标(3)：学生能将给定的数对代入方程（组）进行检验，判断其是否满足方程或同时满足方程组中的两个方程；能根据解的概念找出简单二元一次方程的部分解。 · 达成目标(4)：通过多个实际情境的引入和建模过程，学生能感受到当问题涉及两个相互关联的未知量时，二元一次方程（组）是一种自然而有效的数学工具，增强应用意识。 三、教学问题诊断分析 · 已有基础： 学生已熟练掌握一元一次方程的概念、解法及其应用，具备寻找等量关系的基本能力。 · 潜在困难： · 概念理解： 从“一元”到“二元”的跨越，理解引入第二个未知数的必要性和优越性；深刻理解二元一次方程“解”是一对有序数且不唯一，而方程组“解”是公共解（通常唯一）；区分“二元一次方程”和“二元一次方程组”。 · 建模能力： 从复杂情境中准确设出两个未知数，并找出两个独立的等量关系（有时等量关系隐含，如课本中小明情境的第二个方程需要转化）。 · 解的书写： 习惯用单一数值表示解，对用有序数对 规范表示二元方程（组）的解需要强化。 · 解的检验： 检验时需同时代入两个方程验证，易遗漏。 · 应对策略： · 强化对比： 通过具体实例（如公园购票问题）对比用一元方程和二元方程组解决的思路，突出二元处理的简洁性。 · 直观感知： 利用“尝试·思考”活动（课本P2），让学生大量代入数值检验，亲身体验二元一次方程解的不唯一性和寻找公共解的过程，加深对“公共解”概念的理解。 · 语言转化： 引导学生将情境中的自然语言描述（如“多2株”、“给1株”、“2倍”）精确转化为数学符号语言（等量关系）。 · 规范示范： 教师板书强调解的规范书写格式 ，并通过练习巩固。 · 诊断练习： 设计针对性练习（如判断是否为解、找部分解），及时发现并纠正理解偏差。 四、教学过程设计 (一) 情景引入 · 问题1 (课本P1 种植情境)： 小明和小颖参加种植活动。已知小明栽种的绿植比小颖多2株。如果将小颖栽种的绿植给小明1株，那么小明的绿植株数是小颖的2倍。 · (1) 这个问题涉及到哪些主要的量？(预设：小明栽的株数、小颖栽的株数) · (2) 这些量之间有哪些等量关系？(引导学生找出两个关系：① 小明株数 = 小颖株数 + 2； ② (小明株数 + 1) = 2 × (小颖株数 - 1)) · (3) 如果我们设小明栽了 株，小颖栽了 株，你能用方程表示出这些等量关系吗？(板书：① 或 ; ② ) · 问题2 (课本P1 公园购票情境)： 周末，小亮一家和朋友们共8人去公园，买门票花了34元。成人票5元/张，学生票3元/张。 · (1) 这个问题涉及到哪些主要的量？(预设：成人人数、学生人数、总费用) · (2) 这些量之间有哪些等量关系？(引导学生找出两个关系：① 成人人数 + 学生人数 = 总人数8； ② 成人票总费用 + 学生票总费用 = 总费用34元) · (3) 如果我们设有 个成人， 个学生，你能用方程表示出这些等量关系吗？(板书：① ; ② ) · 设计意图： 从学生熟悉的生活情境出发，激活已有的一元一次方程经验。引导学生关注问题中的“两个”关键未知量，并找出“两个”反映它们关系的等量关系，体会引入两个未知数的自然性和必要性。为抽象二元一次方程概念提供具体实例。板书得到的方程，为下一步观察特征做准备。 (二) 合作探究 · 思考1： 观察我们从上面两个情境中得到的方程：, , , 。这些方程有什么共同的特点？(引导学生关注：都含有两个未知数；含有未知数的项，其指数都是1) · 归纳定义： 含有 两个未知数，并且含有未知数的项的 次数都是1 的方程，叫做 二元一次方程。 · 思考2 (课本P1-P2)： 在公园购票问题得到的方程 和 中， 表示的意义相同吗？ 呢？(预设：相同，都分别表示成人人数和学生人数) · 追问： 那么，要求出成人人数 和学生人数 ，需要满足哪个方程？(预设：两个方程都需要满足) · 形成概念： 像这样，共含有两个未知数（如 和 ）的两个一次方程所组成的一组方程，叫做 二元一次方程组。把它们联立起来写作： · 同样，种植问题中的两个方程也组成一个二元一次方程组： · 设计意图： 引导学生通过观察具体方程实例，自主归纳二元一次方程的本质特征，经历概念形成过程。通过思考“, 意义是否相同”和“需要满足几个方程”，深刻理解建立“方程组”的逻辑必然性——为了寻找同时满足多个条件的未知数的值。明确二元一次方程组的定义和联立表示法。 (三) 典例分析 · 例1 (课本P2 尝试·思考 及 解的概念)： · (1) 检验下列各组 , 的值是否满足方程 ： · (是，) · (是，) · (是，) · 你还能找到其他解吗？(如 , 等，强调解的不唯一性) · (2) 检验下列各组 , 的值是否满足方程 ： · (是，) · (否，? 是！ ，满足。 注意： 也满足 ，但不满足 ? ，不满足 。此处可引发讨论，强调需代入特定方程检验) · (3) 能否找到一组 , 的值，使得它 同时 满足 和 ？ (引导学生尝试或观察：由(1)知 满足第一个方程，由(2)知它也满足第二个方程。所以 同时满足两个方程) · 定义解： · 使二元一次方程左右两边值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的 一个解。记作 。 (如 是 的一个解) · 二元一次方程组中各个方程的 公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 (如 是方程组 的解) · 例2 (课本P3 随堂练习1 邮票问题)： 小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元。两种邮票小明各买了多少枚？ · 分析： · 设未知数： 设面值50分的邮票买了 枚，面值80分的邮票买了 枚。 · 找等量关系： · 数量关系：总枚数 · 金额关系：总金额 (注意单位统一，6.3元=630分，或方程用元：) · 列方程组： · 强调： 本题重点在于根据题意设未知数、找两个等量关系并列出方程组。解方程组是后续内容。 · 例3 (课本P4 习题5.1 3(1) 宇航发射问题)： 2017年和2021年，我国成功完成宇航发射共计69次，其中2021年成功完成宇航发射的次数比2017年的3倍多1次。我国2017年和2021年成功完成宇航发射各多少次？ · 分析： · 设未知数： 设2017年成功发射 次，2021年成功发射 次。 · 找等量关系： · 总次数关系： · 倍数关系： (2021年是2017年的3倍多1次) · 列方程组： · 或 · 设计意图： 例1通过丰富的代入检验活动，让学生深刻体验二元一次方程解的不唯一性和二元一次方程组解（公共解）的确定性，牢固掌握解的概念及检验方法、书写规范。例2和例3选取课本典型应用题，训练学生从较复杂情境中抽象出两个未知量，建立两个独立的等量关系，形成二元一次方程组模型的技能。强调建模过程，暂时不要求解方程组。 (四) 巩固练习 1. (课本P3 随堂练习2) 下面四组数值中，哪些是二元一次方程 的解？ · (1) (代入：， 不是) · (2) (代入：， 是) · (3) (代入：， 不是) · (4) (代入：， 是) · 答案： (2) 和 (4) 1. (课本P3 随堂练习3) 二元一次方程组 的解是______。 · (1) (检验1： 满足；检验2：? ，不满足第二式， 不是) · (2) (检验1：，不满足第一式， 不是) · (3) (检验1： 满足；检验2：? ，满足， 是) · (4) (检验1：，不满足第一式， 不是) · 答案： (3) 1. (课本P3 习题5.1 1 物品重量) 甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg。现有甲种物品 个，乙种物品 个，共76kg。 · (1) 列出关于 的二元一次方程： 。 · (2) 若 ，则 ______。 (代入： → → → ) · (3) 若乙种物品有8个（即 )，则甲种物品有 ______ 个。 (代入： → → → ) 1. (课本P3 习题5.1 2 判断解) 下面四组数值中，哪一组是二元一次方程组 的解？ · (1) (检验1： 满足；检验2：，不满足， 不是) · (2) (检验1： 满足；检验2： 满足， 是) · (3) (检验1：，不满足第一式， 不是) · (4) (检验1：，不满足第一式， 不是) · 答案： (2) 1. (课本P4 习题5.1 4(3,4) 找解) (3) 找出一组 的值，使它们同时适合方程 和 。(提示：两式相加： → → ，代入 ： → 。 ∴ ) · (4) 根据(3)的结论，直接写出方程组 的解： 。 · 设计意图： 通过多层次练习巩固核心概念和技能。练习1、3(2)(3)、4侧重对二元一次方程解的理解、检验和求部分解。练习2、5(3)(4)侧重对二元一次方程组解（公共解）的理解、检验和简单求解（观察或简单运算）。练习3(1)和例2、例3呼应，训练列方程。所有题目均源自课本，确保基础性和针对性。 (五) 归纳总结 (表格形式) 核心概念 定义/要点 关键特征/注意事项 二元一次方程 含有 两个 未知数，并且含有未知数的项的 次数都是1 的方程。 * 两个未知数 (通常 ) * 项的次数为1 (如 , , , ) * 不一定是整式方程标准形式 (不全为0) 二元一次方程组 共含有 两个 未知数的 两个 一次方程所组成的一组方程。 * 两个方程 * 共含两个未知数 * 每个方程都是整式方程且次数为1 * 联立书写：方程方程 方程的解 使二元一次方程左、右两边的值相等的 一对 未知数的值。记作 。 * 一对 值 () * 代入方程能使等式成立 * 通常有 无数多组解 方程组的解 二元一次方程组中各个方程的 公共解。 * 是方程组中 每一个 方程的解 * 代入 每一个 方程都能使等式成立 * 通常 只有一组解 (有时无解或无穷多解) (六) 感受中考 (2024/2025真题) 1. (2024·某地改编) 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”设鸡有 只，兔有 只，根据题意可列方程组为 ( ) · A. · B. · C. · D. · 答案：A (等量关系：头数 ，足数 ) 1. (2025·某地模拟) 已知 是二元一次方程 的一个解，则 的值是 ( ) · A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 · 答案：A (代入： → → ) 1. (2024·某地) 下列各组数中，是方程组 的解的是 ( ) · A. · B. · C. · D. · 答案：C (检验：A: ; B: ; C: 且 满足; D: ) 1. (2025·某地预测) 周末，小华用40元钱购买单价分别为6元和4元的笔记本共8本。设购买单价6元的笔记本 本，单价4元的笔记本 本，根据题意列方程组正确的是 ( ) · A. · B. · C. · D. · 答案：A (等量关系：本数 ，钱数 ) · 设计意图： 链接最新中考真题或模拟题，题型紧扣本节课核心目标（列方程组、解的概念、判断解）。让学生了解中考考查方向和难度，感受所学知识的应用价值，增强学习信心和目标导向。题目情境经典（鸡兔同笼、购物）或贴近生活（买笔记本），体现数学建模思想。 (七) 小结梳理 (表格形式 - 侧重知识联系与应用) 环节 核心内容 实际应用体现 后续联系 问题起源 实际问题中存在 两个相互关联 的未知量，需要满足 多个 (≥2) 等量关系。 种植株数、购票人数费用、邮票枚数金额、年份发射次数、物品数量重量、笔记本分配等。 为用方程组解决更复杂实际问题奠定基础。 数学模型 建立 二元一次方程 (描述单一关系) → 联立建立 二元一次方程组 (描述整体关系，求公共解)。 将情境中的语言描述转化为数学符号表达式 (, )。 模型是后续学习解法（代入、加减消元）的对象。 解的含义与核心 方程解：满足单一等量关系的一对值 (不唯一)。 方程组解：同时满足所有等量关系的公共解 (通常唯一)。 检验答案是否合理（如人数为正整数、费用匹配）。 “公共解”是方程组解法的目标。 思想方法 方程思想 (找等量关系)， 建模思想 (实际问题→数学问题)， 化归思想 (后续将多元化为一元)。 贯穿所有应用情境的解决过程。 是解决各类代数问题的核心思想。 (八) 布置作业 1. 必做题: · (课本P4 习题5.1) 第1题(1)(完整写方程)，第2题(已做在练习4，复习)，第3题(2)(笔记本问题 - 模仿例2、例3列方程组)，第4题(1)(2)(找适合方程的解)，第5题(分析小明和小丽谁设对了苹果、梨的单价，说明分歧原因：关键在于谁买的苹果对应哪个方程。小明设苹果 元/kg, 梨 元/kg，则他的账单：; 小丽的账单：。所以小明的方程组 正确。小丽列反了，她把小明买的东西记成了自己的方程。分歧原因是对自己列方程时 具体代表哪种水果的单价没有明确统一，或者混淆了两人购买的具体数量。) · 整理课堂笔记，熟记二元一次方程（组）及其解的定义。 1. 探究性作业： · (生活调查) 找一找生活中（家庭购物、行程安排、资源分配等）涉及两个未知量并且存在两个等量关系的例子，尝试用语言描述清楚，并设出未知数，列出可能的关系式（不要求一定是方程或一定能求解）。 五、教学反思 (课后填写) 学科网（北京）股份有限公司 $$