精品解析：山东省临沂市外国语学校2025-2026学年高一上学期第一次质量调研考试数学试题

临沂外国语学校高一年级第一次质量调研考试 一、单选题 1. 下列各组对象能构成集合的是（ ） A. 中国著名的数学家 B. 高一（2）班个子比较高的学生 C. 不大于5的自然数 D. 约等于3的实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据构成集合中元素的确定性判断各项即可. 【详解】A：著名数学家的标准不明确，不能构成集合； B：个子比较高的标准不明确，不能构成集合； C：不大于5的自然数有，能构成集合； D：约等于3的实数的精度不明确，不能构成集合. 故选：C 2. 已知集合，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 1或0 C. 0 D. 或0 【答案】C 【解析】 【分析】根据或，求出，保留符合元素互异性的值即可. 【详解】 若，即时，，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，即（舍去）或时，， 故. 故选：C. 3. 下列四组中表示同一集合的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 4. 设全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可化解集合A，然后由补集概念可得答案. 【详解】因或，则. 又，则. 故选：B 5. 已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A. 32 B. 4 C. 5 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】由条件确定集合A的元素个数，再求集合A的真子集个数. 【详解】∵ ∴为12的正约数，又， ∴ ，4，3，2，0 ∴集合， ∴ 集合A的真子集个数为31， 故选：D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义去判断即可. 【详解】因为或， 所以， 不能推出， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据得到答案. 【详解】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 故选：B. 二、多选题 8. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 命题“，使得”是假命题 C. 是的充要条件 D. 是集合中只有一个元素的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】取即知A错误；对于，可求得的范围，可知B正确；由子集概念与集合运算性质可知C正确；取即可知D错误； 【详解】解：对于A项：因为时，，所以命题“，”是假命题，故A错误； 对于B项：因为，，所以命题“，使得”是假命题，故B正确； 对于C项：，即是的充要条件，故C正确； 对于D项：因为当时，即，所以，所以，所以D错误； 故选：BC. 9. 已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式性质判断ABC，举反例判断D. 【详解】对于A，因为，所以，又，所以，故选项A错误； 对于B，因为，所以，所以，又，所以，故选项B正确； 对于C，因为，所以，所以，又，所以， 故选项C正确； 对于D，当，时，，，则，不满足，故选项D错误. 故选：BC. 10. 下列判断错误的是（ ） A. 函数的最小值为7 B. 函数的最小值为7 C. 函数的最小值为7 D. 函数的最小值为7 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 三、填空题 11. 用或填空：0________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空集性质，元素和集合关系求解 【详解】空集不含任何元素，所以. 故答案为： 12. 若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，列不等式求的取值范围. 【详解】因为“”为假命题， 所以“”为真命题， 即方程没有实数根， 所以，故， 所以的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，令，将转化为关于的分式，再利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 四、解答题 14. （1）已知：设，，，求和. （2）已知集合，，，求和. 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并补集运算，即可求解； （2）先求出集合，再结合集合的交并补集运算，即可求解； 【小问1详解】 由集合，，所以， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 由题可得， 又因为，所以， 又因为集合，所以， 所以. 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，由交集与空集的意义可求解； （2）由题意可得是的真子集，列出所满足的不等式，进而求解即可. 【小问1详解】 由，可得，所以， 又，，所以或， 所以或， 所以实数m的取值范围为或； 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 由（1）可得，且等号不同时成立，解得， 所以实数m的取值范围为． 16. 某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个. （1）据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？ （2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到元.公司计划投入万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，该削笔器的年销售量至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价？ 【答案】（1）90元；（2）20万，30元. 【解析】 【分析】 （1）设每件零售价为元，由题意可得，从而可求出的取值范围，进而可求得答案； （2）由题意可得当时，有解，即当时，有解，然后利用基本不等式可求出的最小值，从而可得到答案 【详解】（1）设每件零售价为元，由题意可得即， ，∴. 故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为90元. （2）当时，有解， 当时，有解， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴，因此，该削笔器的年销售量至少达到20万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器售价30元. 17. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. （3）已知，，，若恒成立，则实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解； （2）分和两种情况，结合一元二次不等式的恒成立问题列式求解； （3）根据题意可知等价于，利用基本不等式可知的最小值为8，代入解二次不等式即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 可知，且和是关于的方程的两个实数根， 则，解得. 【小问2详解】 因为关于的不等式恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 若恒成立，等价于， 因为，，， 则， 当且仅当，即时取等号， 可知的最小值为8， 可得，即，解得：， 所以实数的取值范围. 18. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用二次函数的性质，即可求解； （2）根据条件得到，利用韦达定理得，，再根据题设有，从而得到，即可求解； （3）利用基本不等式得到，从而将问题转化成在恒成立，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 当时， 当时，函数有最大值，最大值为2. 【小问2详解】 设，，由题知，是方程的两个相异根， 则，得到， 由韦达定理知，，令，得到， 所以，又， 所以，解得，故的值为1或. 【小问3详解】 因为，则，当且仅当时取等号 由题有在恒成立，即恒成立， 又，则，即，解得， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂外国语学校高一年级第一次质量调研考试 一、单选题 1. 下列各组对象能构成集合的是（ ） A. 中国著名的数学家 B. 高一（2）班个子比较高的学生 C. 不大于5的自然数 D. 约等于3的实数 2. 已知集合，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 1或0 C. 0 D. 或0 3. 下列四组中表示同一集合的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A. 32 B. 4 C. 5 D. 31 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 8. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 命题“，使得”是假命题 C. 是的充要条件 D. 是集合中只有一个元素的充要条件 9. 已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列判断错误的是（ ） A. 函数的最小值为7 B. 函数的最小值为7 C. 函数的最小值为7 D. 函数的最小值为7 三、填空题 11. 用或填空：0________． 12. 若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为________． 13. 已知，则的最小值为___________. 四、解答题 14. （1）已知：设，，，求和. （2）已知集合，，，求和. 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16. 某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个. （1）据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？ （2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到元.公司计划投入万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，该削笔器的年销售量至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价？ 17. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. （3）已知，，，若恒成立，则实数的取值范围. 18. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $