2025-2026学年沪教版七年级数学上学期期中综合训练卷（测试范围：第10～12章（整式的加减+整式的乘除+因式分解）

2025-2026学年七年级上学期数学期中综合训练卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2024七年级数学上册新教材第10~12章（整式的加减+整式的乘除+因式分解）。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 4．下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 5．课本第37页“阅读材料”中介绍了贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．88 D．128 6．边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．将多项式按字母y降幂排列： ． 8．请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式 ． 9．若，，则 ． 10．计算 11．计算： ． 12．已知，，则 ． 13．已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 14．若，则 ． 15．因式分解： ． 16．已知是完全平方式，那么的值为 ． 17．观察下列各式： ；…； 根据前面各式的规律可得到： 18．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）计算：． 20．（4分）计算：． 21．（4分）简便方法计算：． 22．（6分）先化简再求值：，其中． 23．（8分）对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”． (1)求三位数中最大的“幸运整数”； (2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”． 24．（10分）已知整式． (1)若整式的值与字母取值无关．写出、的值； (2)在（1）条件下求的值． 25．（10分）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 26．（12分）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； (4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 (5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上学期数学期中综合训练卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2024七年级数学上册新教材第10~12章（整式的加减+整式的乘除+因式分解）。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式乘法和除法，积的乘方和合并同类项，根据单项式乘单项式，单项式除单项式，积的乘方和合并同类项运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 2．整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义判断即可，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴整式，5，，，，，中单项式有，5，，，，共个， 故选：C． 3．若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式：．也考查了代数式的变形能力． 根据完全平方公式把等式左边展开即可得到m的值． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：B． 4．下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的概念，根据因式分解的特征逐项判断即可．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 【详解】A、是因式分解，运用平方差公式分解，符合因式分解的定义，本选项符合题意； B、不是因式分解，此选项是将前两个整式做了乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； C、不是因式分解，此选项是整式的乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； D、不是因式分解，等号右边几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； 故选：A． 5．课本第37页“阅读材料”中介绍了贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．88 D．128 【答案】D 【分析】根据题干找出展开式的系数和的规律作答即可． 【详解】解析：当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； …… 当时，展开式的系数和为． 故选：D 6．边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积．根据已知图形得出阴影部分的面积是：求出即可． 【详解】解：边长分别为和a的两个正方形，阴影部分的面积是： ， 故选：A． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．将多项式按字母y降幂排列： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，理解单项式的次数，掌握多项式按某个字母降幂（或升幂）排列的方法是解题的关键 ，注意排列时要带着各项的符号． 根据多项式，找出字母y在各项中的次数，再按降幂排列即可． 【详解】解：多项式中字母的次数依次是次，次，次，次， ∴字母y降幂排列为：， 故答案为： ． 8．请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式定义：数与字母的积叫单项式，根据题意，结合单项式定义即可得到答案，熟记单项式定义是解决问题的关键． 【详解】解：由单项式定义可得，该单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 9．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方计算，先求出的值，再根据进行计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．计算 【答案】 【分析】本题考查的是乘法公式的应用；本题先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查零次幂，绝对值．任何一个不为零的数的零次幂为1，负数的绝对值等于它的相反数，由此计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 则， 则， ， ， 则， ， ， ． 故答案为：． 13．已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的一次项系数为0求解即可． 【详解】解： ， ∵该代数式的积中不含x的一次项， ∴，解得， 故答案为：． 14．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．利用多项式乘以多项式法则展开，根据两多项式相等，则对应项系数相等，求出m、n值，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：． 15．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，运用分组分解法进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 16．已知是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：由， ∴，解得或， 故答案为：1或 17．观察下列各式： ；…； 根据前面各式的规律可得到： 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法相关的规律探究，掌握题目中的规律探究是解题的关键． 根据题目中的规律可看出，公式左边的第一项为，公式左边的第二项为x的n次幂开始降次排序，系数都为1，公式右边为问题得解． 【详解】解： … ∴， 故答案为：． 18．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，…， 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为8，12，16，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为15，21，27，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为24，32，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为35，45，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为48，60，…； …， 把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…， 故第4个“智慧优数”是16， 故答案为：16． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 20．（4分）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，解题关键在于掌握运算法则． 先根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 21．（4分）简便方法计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方差公式进行简便运算，熟练掌握知识点是解题的关键．将变形为，利用平方差公式即可求解． 【详解】解： ． 22．（6分）先化简再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则和完全平方公式是解题关键． 先计算括号内的完全平方公式、多项式乘多项式，再计算括号内的整式加减法，然后计算整式的除法，最后根据偶次方的非负性求出��，��的值，代入计算即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，，解得，， ∴原式 ． 23．（8分）对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”． (1)求三位数中最大的“幸运整数”； (2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”． 【答案】(1)903； (2)84和12． 【分析】本题考查的是整式乘法、因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键． （1）根据题意，先求得，计算知当时，，当时，，即可得出结果； （2）由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数），则当时得到两个“幸运整数”为3 ，由题意可知：，即，根据m， n为自然数，可得，将其代入计算即可． 【详解】（1）解：， ． 为自然数， 当时，， 当时，， 三位数中最大的“幸运整数”是903； （2）解：由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数）， 则时得到两个“幸运整数”为：， 由题意：． ， ， ． 为自然数， ∴或， 解方程组得：或（舍去）， ． ． 这两个“幸运整数”分别为84和12． 24．（10分）已知整式． (1)若整式的值与字母取值无关．写出、的值； (2)在（1）条件下求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，正确的去括号与合并同类项是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项，根据题意，令含的项系数为0，得出的值； （2）先去括号，裂项相减，合并同类项，然后将的值代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵多项式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：； （2）解： ； 当时，原式． 25．（10分）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 【答案】(1)提公因式法，2 (2)2024， (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法． （1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； （3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）解： ， 则需应用上述方法2024次，结果是， 故答案为：2024，； （3）解： ． 26．（12分）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； (4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 (5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【答案】(1)（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (2)155 (3)9 (4)a+2b； (5)见解析 【分析】（1）大长方形的面积=长×宽，也等于3个小正方形和3个小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式． （2）用（1）的结论变形后代入求值． （3）观察（2a+b）（a+2b）长方形找到x、y、z对应的值，代入求值． （4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大， （5）通过构造边长为k的正方形，用3个长方形的面积表示al+bm+cn，用面积直观地说明al+bm+cn<k2． 【详解】（1）解：由图2知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b）， 大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab， ∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； 由图3知，大正方形的面积=（a+b+c）2， 大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）由图3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）， 当，时， a2+b2+c2=152-2×35=155； 故答案为：155 （3）解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2， ∴长方形可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形， ∴x=2，y=2，z=5， ∴x+y+z=9； 故答案为：9 （4）解：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2， ∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接）， ∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=（a+b）2， ∴此时正方形的边长=a+b； 选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=（a+2b）2， ∴此时正方形的边长=a+2b， ∵a+b＜a+2b， ∴拼成的正方形的边长最长为a+2b； 故答案为：a+2b； （5）解：如图， 如图，构造了一个边长为k的正方形，AC=CE=EG=AG=k， 在正方形的4个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c， ∵a+m=b+n=c+l=k， ∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l， ∴3个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2， ∴． 【点睛】本题用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 试卷第8页，共16页 试卷第7页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $